5.1: Alcance lineal

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Como antes, vamos a\(V\) denotar un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\). Dados vectores\(v_1,v_2,\ldots,v_m\in V\), un vector\(v\in V\) es una combinación lineal de\((v_1,\ldots,v_m)\) si existen escalares\(a_1,\ldots,a_m\in\mathbb{F}\) tales que

\[ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_m v_m.\]

Definición 5.1.1: Lineal Span

El tramo lineal (o simplemente span) de\((v_1,\ldots,v_m)\) se define como

\[ \Span(v_1,\ldots,v_m) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_m v_m \mid a_1,\ldots,a_m \in \mathbb{F} \}.\]

Lema 5.1.2: Subespacios

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y\(v_1,v_2,\ldots,v_m\in V\). Entonces

\(v_j\in \Span(v_1,v_2,\ldots,v_m)\).
\(\Span(v_1,v_2,\ldots,v_m)\)es un subespacio de\(V\).
Si\(U\subset V\) es un subespacio tal que\(v_1,v_2,\ldots v_m\in U\), entonces\(\Span(v_1,v_2,\ldots,v_m)\subset U\).

Prueba

La propiedad~1 es obvia. Para Property~2, tenga en cuenta que\(0\in\Span(v_1,v_2,\ldots,v_m)\) y que\(\Span(v_1,v_2,\ldots,v_m)\) se cierra bajo suma y multiplicación escalar. Para Property~3, tenga en cuenta que un subespacio\(U\) de un espacio vectorial\(V\) se cierra bajo suma y multiplicación escalar. De ahí que\(v_1,\ldots,v_m\in U\), si, entonces cualquier combinación lineal también\(a_1v_1+\cdots +a_m v_m\) debe ser un elemento de\(U\).

\(\square\)

Lema 5.1.2 implica que\(\Span(v_1,v_2,\ldots,v_m)\) es el subespacio más pequeño de\(V\) contener cada uno de\(v_1,v_2,\ldots,v_m\).

Definición 5.1.3: espacios vectoriales finito-dimensionales e infinito-dimensionales

Si\(\Span(v_1,\ldots,v_m)=V\), entonces decimos que\((v_1,\ldots,v_m)\) abarca\(V\) y llamamos\(V\) finito-dimensional. Un espacio vectorial que no es finito-dimensional se llama infinito-dimensional.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Los vectores\(e_1=(1,0,\ldots,0)\),\(e_2=(0,1,0,\ldots,0), \ldots, e_n=(0,\ldots,0,1)\) span\(\mathbb{F}^n\). De ahí\(\mathbb{F}^n\) que sea finito-dimensional.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Los vectores\(v_1=(1,1,0)\) y\(v_2=(1,-1,0)\) abarcan un subespacio de\(\mathbb{R}^3\). Más precisamente, si escribimos los vectores en\(\mathbb{R}^3\) como 3-tuplas de la forma\((x,y,z)\), entonces\(\Span(v_1,v_2)\) es el\(xy\) -plano en\(\mathbb{R}^3\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Recordemos que si\(p(z)=a_mz^m + a_{m-1} z^{m-1} + \cdots + a_1z + a_0\in \mathbb{F}[z]\) es un polinomio con coeficientes en\(\mathbb{F}\) tal que\(a_m\neq 0\), entonces decimos que\(p(z)\) tiene grado\(m\). Por convención, el grado del polinomio cero\(p(z)=0\) es\(-\infty\). Denotamos el grado de\(p(z)\) por\(\deg(p(z))\). Definir\( \mathbb{F}_m[z] = \) conjunto de todos los polinomios en\( \mathbb{F}[z] \) de grado como máximo m.

Entonces\(\mathbb{F}_m[z]\subset \mathbb{F}[z]\) es un subespacio ya que\(\mathbb{F}_m[z]\) contiene el polinomio cero y se cierra bajo suma y multiplicación escalar. De hecho,\(\mathbb{F}_m[z]\) es un subespacio finito-dimensional de\(\mathbb{F}[z]\) desde

\[ \mathbb{F}_m[z] = \Span(1,z,z^2,\ldots,z^m). \]

Al mismo tiempo, sin embargo, tenga en cuenta que\(\mathbb{F}[z]\) en sí mismo es infinito-dimensional. Para ver esto, asumir lo contrario, es decir, que

\[ \mathbb{F}[z] = \Span(p_1(z),\ldots,p_k(z))\]

para un conjunto finito de\(k\) polinomios\(p_1(z),\ldots,p_k(z)\). Vamos\(m=\max(\deg p_1(z),\ldots,\deg p_k(z))\). Entonces\(z^{m+1}\in\mathbb{F}[z]\), pero\(z^{m+1}\notin \Span(p_1(z),\ldots,p_k(z))\).