5.4: Dimensión

Llegamos ahora a la importante definición de la dimensión de un espacio vectorial finito-dimensional. Intuitivamente, sabemos que\(\mathbb{R}^2\) tiene dimensión 2, que\(\mathbb{R}^3\) tiene dimensión 3, y, más generalmente, que\(\mathbb{R}^n\) tiene dimensión\(n\). Esta es precisamente la longitud de cada base para cada uno de estos espacios vectoriales, lo que provoca la siguiente definición.

Definición 5.4.1

Llamamos a la longitud de cualquier base para\(V\) (que está bien definida por el Teorema 5.4.2 a continuación) la dimensión de\(V\), y denotamos esto por\(\dim(V)\).

Tenga en cuenta que la Definición 5.4.1 solo tiene sentido si, de hecho, cada base para un espacio vectorial finito-dimensional dado tiene la misma longitud. Esto es cierto por el siguiente teorema.

Teorema 5.4.2.

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional. Entonces cualesquiera dos bases de\(V\) tienen la misma longitud

Prueba

Dejar\((v_1,\ldots,v_m)\) y\((w_1,\ldots,w_n)\) ser dos bases de\(V\). Ambos abarcan\(V\).

Por Teorema 5.2.9, tenemos\(m\le n\) desde entonces\((v_1,\ldots,v_m)\) es linealmente independiente. Por el mismo teorema, también tenemos\(n\le m\) desde entonces\((w_1,\ldots,w_n)\) es linealmente independiente. De ahí\(n=m\), como se aseveró.

Ejemplo 5.4.3. \(\dim(\mathbb{F}^n)=n\)y\(\dim(\mathbb{F}_m[z]) = m + 1\). Nótese que\(\dim(\mathbb{C}^n)=n\) como un espacio vectorial complejo, mientras que\(\dim(\mathbb{C}^n)=2n\) como un espacio vectorial real. Esto viene del hecho de que podemos vernos a\(\mathbb{C}\) sí mismos como un espacio vectorial real de dimensión 2 con base\((1,i)\).

Teorema 5.4.4. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional con\(\dim(V)=n\). Entonces:

1. Si\(U\subset V\) es un subespacio de\(V\), entonces\(\dim(U) \le \dim(V)\).
2. Si\(V=\Span(v_1,\ldots,v_n)\), entonces\((v_1,\ldots,v_n)\) es una base de\(V\).
3. Si\((v_1,\ldots,v_n)\) es linealmente independiente en\(V\), entonces\((v_1,\ldots,v_n)\) es una base de\(V\).

El punto 1 implica, en particular, que cada subespacio de un espacio vectorial finito-dimensional es finito-dimensional. Los puntos 2 y 3 muestran que si se sabe que la dimensión de un espacio vectorial es\(n\), entonces, para verificar que una lista de\(n\) vectores es una base, basta con verificar si abarca\(V\) (resp. es linealmente independiente).

Comprobante.

Para probar Punto~1, primero tenga en cuenta que\(U\) es necesariamente finito-dimensional (de lo contrario podríamos encontrar una lista de vectores linealmente independientes más largos que\(\dim(V)\)). Por lo tanto, por Corolario 5.3.6,\(U\) tiene una base\((u_1,\ldots,u_m)\) (digamos). Esta lista es linealmente independiente en ambos\(U\) y\(V\). Por el Teorema de Extensión de Bases 5.3.7, podemos extender\((u_1,\ldots,u_m)\) a una base para\(V\), que es de longitud\(n\) desde entonces\(\dim(V)=n\). Esto implica que\(m\le n\), como se desee.

Para probar Punto~2, supongamos que eso\((v_1,\ldots,v_n)\) abarca\(V\). Entonces, por el Teorema de Reducción de Bases 5.3.4, esta lista se puede reducir a una base. Sin embargo, cada base de\(V\) tiene longitud\(n\); por lo tanto, no es necesario eliminar ningún vector de\((v_1,\ldots,v_n)\). De ello se deduce que ya\((v_1,\ldots,v_n)\) es una base de\(V\).

Point~3 está probado de una manera muy similar. Supongamos que\((v_1,\ldots,v_n)\) es linealmente independiente. Por el Teorema de Extensión de Bases 5.3.7, esta lista se puede extender a una base. Sin embargo, cada base tiene longitud\(n\); por lo tanto, no es necesario agregar ningún vector\((v_1,\ldots,v_n)\). De ello se deduce que ya\((v_1,\ldots,v_n)\) es una base de\(V\).

Concluimos este capítulo con algunos resultados interesantes adicionales sobre bases y dimensiones. El primero combina los conceptos de base y suma directa.

Teorema 5.4.5. Dejar\(U\subset V\) ser un subespacio de un espacio vectorial finito-dimensional\(V\). Entonces existe un subespacio\(W\subset V\) tal que\(V=U\oplus W\).

Comprobante.

Dejemos\((u_1,\ldots,u_m)\) ser una base de\(U\). Por Teorema 5.4.4 (1), lo sabemos\(m\le \dim(V)\). De ahí que, por el Teorema de Extensión de Bases 5.3.7, se\((u_1,\ldots,u_m)\) pueda extender a una base\((u_1,\ldots,u_m,w_1,\ldots,w_n)\) de\(V\). Vamos\(W=\Span(w_1,\ldots,w_n)\).

Para demostrar eso\(V=U\oplus W\), tenemos que demostrar eso\(V=U+W\) y\(U\cap W=\{0\}\). Desde\(V=\Span(u_1,\ldots,u_m,w_1,\ldots,w_n)\) donde\((u_1,\ldots,u_m)\) abarca\(U\) y\((w_1,\ldots,w_n)\) abarca\(W\), es claro que\(V=U+W\).

Para demostrar eso\(U\cap W=\{0\}\), vamos\(v\in U\cap W\). Entonces existen escalares\(a_1,\ldots,a_m, b_1,\ldots,b_n\in\mathbb{F}\) tales que

\[ v=a_1 u_1+\cdots+ a_m u_m = b_1 w_1 + \cdots + b_n w_n,\]

o equivalentemente que

\[ a_1 u_1+\cdots+ a_m u_m -b_1 w_1 - \cdots - b_n w_n =0. \]

Dado que\((u_1,\ldots,u_m,w_1,\ldots,w_n)\) forma una base de\(V\) y por lo tanto es linealmente independiente, la única solución a esta ecuación es\(a_1=\cdots=a_m=b_1=\cdots=b_n=0\). De ahí\(v=0\), demostrando eso efectivamente\(U\cap W=\{0\}\).

Teorema 5.4.6. Si\(U,W\subset V\) son subespacios de un espacio vectorial finito-dimensional, entonces

\[ \dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U\cap W). \]

Comprobante.

Dejemos\((v_1,\ldots,v_n)\) ser una base de\(U\cap W\). Por la Extensión Base

Teorema 5.3.7, existen\((u_1,\ldots,u_k)\) y\((w_1,\ldots,w_\ell)\) tal que\((v_1,\ldots,v_n,u_1,\ldots,u_k)\) es una base de\(U\) y\((v_1,\ldots,v_n,w_1,\ldots,w_\ell)\) es una base de\(W\). Baste demostrar que

\[ \mathcal{B} = (v_1,\ldots,v_n,u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_\ell)\]

es una base de\(U+W\) desde entonces

\[ \dim(U+W) = n+k+\ell= (n+k) + (n+\ell)-n=\dim(U) + \dim(W) -\dim(U\cap W). \]

Claramente\(\Span(v_1,\ldots,v_n,u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_\ell)\) contiene\(U\) y\(W\), y por lo tanto\(U+W\). Para demostrar que\(\mathcal{B}\) es una base, queda por demostrar que\(\mathcal{B}\) es linealmente independiente. Supongamos

\[ a_1v_1+\cdots+a_n v_n + b_1u_1+\cdots +b_k u_k + c_1w_1+\cdots+c_\ell w_\ell =0, \tag{5.4.1} \]

y vamos\(u=a_1v_1+\cdots+a_n v_n + b_1u_1+\cdots +b_k u_k\in U\). Entonces, por la Ecuación (5.4.1), también tenemos eso\(u=-c_1 w_1-\cdots - c_\ell w_\ell\in W\), lo que implica eso\(u\in U\cap W\). De ahí que existan escalares\(a_1',\ldots,a_n'\in\mathbb{F}\) tales que\(u=a_1'v_1+\cdots+a_n'v_n\).

Dado que existe una combinación lineal única de los vectores linealmente independientes\((v_1,\ldots,v_n,u_1,\ldots,u_k)\) que describe\(u\), debemos tener\(b_1=\cdots=b_k=0\) y\(a_1=a_1',\ldots,a_n=a_n'\). Dado que también\((v_1,\ldots,v_n,w_1,\ldots,w_\ell)\) es linealmente independiente, se deduce además que\(a_1=\cdots=a_n=c_1=\cdots=c_\ell=0\). De ahí que la Ecuación (5.4.1) sólo tenga la solución trivial, lo que implica que\(\mathcal{B}\) es una base.

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