5.E: Ejercicios para el Capítulo 5

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Ejercicios de cálculo

1. Mostrar que los vectores\(v_1 = (1, 1, 1), v_2 = (1, 2, 3)\), y\(v_3 = (2, −1, 1)\) son linealmente independientes en\(\mathbb{R}^3\). Escribir\(v = (1, −2, 5)\) como una combinación lineal de\(v_1 , v_2\), y\(v_3\).

2. Considere el complejo espacio vectorial\(V = \mathbb{C}^3\) y la lista\((v_1 , v_2 , v_3 )\) de vectores en\(V\), donde

\[v_1 = (i, 0, 0),~ v_2 = (i, 1, 0),~ v_3 = (i, i, −1).\]

a) Demostrar que\(span(v_1 , v-2 , v_3 ) = V.\)
b) Demostrar o desacreditar:\((v_1 , v_2 , v_3)\) es una base para\(V.\)

3. Determinar la dimensión de cada uno de los siguientes subespacios de\(\mathbb{F}^4\).
(a)\(\{(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) \in \mathbb{F}^4 | x_4 = 0\}.\)
(b)\(\{(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) \in \mathbb{F}^4 | x_4 = x_1 + x_2 \}.\)
(c)\(\{(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) \in \mathbb{F}^4 | x_4 = x_1 + x_2 , x_3 = x_1 − x_2 \}.\)
(d)\(\{(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) \in \mathbb{F}^4 | x_4 = x_1 + x_2 , x_3 = x_1 − x_2 , x_3 + x_4 = 2x_1 \}.\)
(e)\(\{(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) \in \mathbb{F}^4 | x_1 = x_2 = x_3 = x_4 \}.\)

4. Determinar el valor de\(\lambda \in \mathbb{R}\) para el cual cada lista de vectores es lineal dependiente.
(a)\(((\lambda, −1, −1), (−1, \lambda, −1), (−1, −1, \lambda))\) como un subconjunto de\(\mathbb{R}^3.\)
(b)\(sin2 (x), cos(2x), \lambda\) como un subconjunto de\(\cal{C}(\mathbb{R}).\)

5. Considerar el espacio vectorial real\(V = \mathbb{R}^4.\) Para cada una de las siguientes cinco declaraciones, proporcione ya sea una prueba o un contraejemplo.
a)\(dim V = 4.\)
b) c\(span((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)) = V.\)
) La lista\(((1, −1, 0, 0), (0, 1, −1, 0), (0, 0, 1, −1), (−1, 0, 0, 1))\) es linealmente independiente.
d) Toda lista de cuatro vectores\(v_1 , \ldots, v_4 \in V\), tal que\(span(v_1 , \ldots, v_4 ) = V\), es linealmente independiente.
(e) Dejar\(v_1\) y\(v_2\) ser dos vectores linealmente independientes en\(V\). Entonces, existen vectores\(u, w \in V\), tal que\((v_1 , v_2 , u, w)\) es una base para\(V.\)

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial encima\(\mathbb{F}\) y definir\(U = span(u_1, u_2, \ldots ,u_n)\), donde para cada uno
\(i = 1, \ldots ,n, u_i \in V \). Ahora supongamos\(v \in U\). Demostrar

\[U = span(v, u_1, u_2, \ldots ,u_n) .\]

2. Let\(V\) be a vector space over\(\mathbb{F}\), y supongamos que la lista\((v_1 , v_2 , . . . , v_n )\) de vectores abarca\(V\), donde cada uno\(v_i \in V\). Demostrar que la lista

\[(v_1 − v_2 , v_2 − v_3 , v_3 − v_4 , \ldots , v_{n−2} − v_{n−1} , v_{n−1} − v_n , v_n )\]

también abarca\(V.\)

3. Let\(V\) be a vector space over\(\mathbb{F}\), y supongamos que\((v_1 , v_2 , \ldots, v_n)\) es una lista linealmente independiente de vectores en\(V\). Teniendo en cuenta alguna\(w \in V\) tal que

\[(v_1 + w, v_2 + w, \ldots , v_n + w)\]

es una lista linealmente dependiente de vectores en\(V\), demostrar que\(w \in span(v_1 , v_2 , \ldots, v_n).\)

4. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\) con\(dim(V ) = n\) para algunos\(n \in \mathbb{Z}_+\). Demostrar que existen subespacios\(n\) unidimensionales\(U_1 , U_2 , \ldots , U_n\) de\(V\) tal manera que

\[V = U_1 \oplus U_2 \oplus \cdots \oplus U_n .\]

5. \(V\)Sea un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\), y supongamos que\(U\) es un subespacio\(V\) para el cual\(dim(U) = dim(V ).\) Demostrar que\(U = V.\)

6. Dejar\(\mathbb{F}_m [z] \) denotar el espacio vectorial de todos los polinomios con grado menor o igual a\(m \in \mathbb{Z}_+\) y teniendo coecient sobre\(\mathbb{F}\), y supongamos que\( p_0 , p_1 , \ldots , p_m \in \mathbb{F}_m [z]\) satisfacen\(p_j (2) = 0\). Demostrar que\((p_0 , p_1 , \ldots , p_m )\) es una lista linealmente dependiente de vectores en\(\mathbb{F}_m [z].\)

7. Dejar\(U\) y\(V\) ser subespacios de cinco dimensiones de\(\mathbb{R}^9\). Demostrar que\(U \cap V = \{0\}.\)

8. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{F},\) y supongamos que\(U_1 , U_2 , \ldots, U_m\) son cualesquiera\(m\) subespacios de\(V\). Demostrar que

\[dim(U_1 + U_2 + \cdots + U_m ) \leq dim(U_1 ) + dim(U_2 ) + \cdots + dim(U_m ).\]

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