5.3: Bases
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Una base de un espacio vectorial finito-dimensional es una lista de expansión que también es linealmente independiente. Veremos que todas las bases para espacios vectoriales finito-dimensionales tienen la misma longitud. Esta longitud se llamará entonces la dimensión de nuestro espacio vectorial.
Definición 5.3.1. Una lista de vectores\((v_1,\ldots,v_m)\) es una base para el espacio vectorial finito-dimensional\(V\) si\((v_1,\ldots,v_m)\) es linealmente independiente y\(V = \Span(v_1,\ldots,v_m)\).
Si\((v_1,\ldots,v_m)\) forma una base de\(V\), entonces, por Lema 5.2.6, cada vector\(v\in V\) puede escribirse de manera única como una combinación lineal de\((v_1,\ldots,v_m)\).
Ejemplo 5.3.2. \((e_1,\ldots,e_n)\)es una base de\(\mathbb{F}^n\). Hay, por supuesto, otras bases. Por ejemplo,\(((1,2),(1,1))\) es una base de\(\mathbb{F}^2\). Tenga en cuenta que la lista también\(((1,1))\) es linealmente independiente, pero no abarca\(\mathbb{F}^2\) y por lo tanto no es una base.
Ejemplo 5.3.3. \((1,z,z^2,\ldots,z^m)\)es una base de\(\mathbb{F}_m[z]\).
Teorema 5.3.4. Si\(V=\Span(v_1,\ldots,v_m)\), entonces o bien\((v_1,\ldots,v_m)\) es una base de\(V\) o algunos\(v_i\) pueden ser removidos para obtener una base de\(V\).
Prueba. Supongamos\(V=\Span(v_1,\ldots,v_m)\). Comenzamos con la lista\(\mathcal{S}=(v_1,\ldots,v_m)\) y ejecutamos iterativamente todos los vectores\(v_k\)\(k=1,2,\ldots,m\) para determinar si guardarlos o eliminarlos de\(\mathcal{S}\):
Paso 1. Si\(v_1=0\), luego retire\(v_1\) de\(\mathcal{S}\). De lo contrario, dejar\(\mathcal{S}\) sin cambios.
Paso\(k\). Si\(v_k\in \Span(v_1,\ldots,v_{k-1})\), luego retire\(v_k\) de\(\mathcal{S}\). De lo contrario, dejar\(\mathcal{S}\) sin cambios.
La lista final\(\mathcal{S}\) aún abarca\(V\) ya que, en cada paso, un vector solo se descartó si ya estaba en el lapso de los vectores anteriores. El proceso también asegura que ningún vector esté en el lapso de los vectores anteriores. De ahí que por el Lema de Dependencia Lineal 5.2.7, la lista final\(\mathcal{S}\) es linealmente independiente. De ello se deduce que\(\mathcal{S}\) es una base de\(V\).
Ejemplo 5.3.5. Para ver cómo funciona el Teorema de Reducción de Bases 5.3.4, considera la lista de vectores
\[ \mathcal{S} = ((1, -1, 0), (2, -2, 0), (-1, 0 , 1), (0, -1, 1), (0, 1, 0)). \]
Esta lista no forma una base para\(\mathbb{R}^{3}\) ya que no es linealmente independiente. Sin embargo, es claro que\(\mathbb{R}^{3} = \Span(\mathcal{S})\) dado que cualquier vector arbitrario\(v = (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}\) puede escribirse como la siguiente combinación lineal sobre\(\mathcal{S}\):
\[ v = (x + z) (1, -1, 0) + 0 (2, -2, 0) + (z) (-1, 0 , 1) + 0 (0, -1, 1) + (x + y + z) (0, 1, 0). \]
De hecho, dado que los coeficientes de\((2, -2, 0)\) y\((0, -1, 1)\) en esta combinación lineal son ambos cero, sugiere que no agregan nada al lapso del subconjunto
\[ \mathcal{B} = ((1, -1, 0), (-1, 0 , 1), (0, 1, 0)) \]
de\(\mathcal{S}\). Además, se puede demostrar que\(\mathcal{B}\) es una base para\(\mathbb{R}^{3}\), y es exactamente la base que se produce aplicando el proceso a partir de la prueba del Teorema 5.3.4 (como deberías poder verificar).
Corolario 5.3.6. Cada espacio vectorial finito-dimensional tiene una base.
Prueba. Por definición, un espacio vectorial finito-dimensional tiene una lista de expansión. Según el Teorema de Reducción de Bases 5.3.4, cualquier lista de expansión puede reducirse a una base.
Teorema 5.3.7. Cada lista linealmente independiente de vectores en un espacio vectorial finito-dimensional se\(V\) puede extender a una base de\(V\).
Prueba. Supongamos que\(V\) es finito-dimensional y eso\((v_1,\ldots,v_m)\) es linealmente independiente.
Dado que\(V\) es finito-dimensional, existe una lista\((w_1,\ldots,w_n)\) de vectores que abarca\(V\). Deseamos colindar algunos de los\(w_k\) a con el\((v_1,\ldots,v_m)\) fin de crear una base de\(V\).
Paso 1. Si\(w_1\in \Span(v_1,\ldots,v_m)\), entonces vamos\(\mathcal{S}=(v_1,\ldots,v_m)\). De lo contrario,\(\mathcal{S}=(v_1,\ldots,v_m,w_1)\).
Paso\(k\). Si\(w_k\in\Span(\mathcal{S})\), entonces déjalo\(\mathcal{S}\) sin cambios. De lo contrario,\(w_k\) colindan a\(\mathcal{S}\).
Después de cada paso, la lista\(\mathcal{S}\) sigue siendo linealmente independiente ya que solo nos unimos\(w_k\) si no\(w_k\) estaba en el lapso de los vectores anteriores. Después de\(n\) pasos,\(w_k\in \Span(\mathcal{S})\) para todos\(k=1,2,\ldots,n\). Ya que\((w_1,\ldots,w_n)\) era una lista abarcadora,\(\mathcal{S}\) abarca\(V\) por lo que de hecho\(\mathcal{S}\) es una base de\(V\).
Ejemplo 5.3.8. Toma los dos vectores\(v_1=(1,1,0,0)\) y\(v_2=(1,0,1,0)\) en\(\mathbb{R}^4\). Uno puede verificar fácilmente que estos dos vectores son linealmente independientes, pero no forman una base de\(\mathbb{R}^4\). Sabemos que\((e_1,e_2,e_3,e_4)\) abarca\(\mathbb{R}^4\). (De hecho, incluso es una base.) Siguiendo el algoritmo esbozado en la prueba del Teorema de Extensión de Bases, lo vemos\(e_1\not\in \Span(v_1,v_2)\). De ahí que colindamos\(e_1\) para obtener\(\mathcal{S}=(v_1,v_2,e_1)\). Tenga en cuenta que ahora
\[ e_2=(0,1,0,0) = 1v_1+0v_2+(-1)e_1 \]
para que\(e_2\in\Span(v_1,v_2,e_1)\), y así nos vamos\(\mathcal{S}\) sin cambios. Del mismo modo,
\[ e_3=(0,0,1,0) = 0v_1+1v_2+(-1)e_1, \]
y por lo tanto\(e_3\in\Span(v_1,v_2,e_1)\), lo que significa que volvemos a dejar\(\mathcal{S}\) sin cambios. Por último\(e_4\not\in \Span(v_1,v_2,e_1)\),, y así lo colindamos para obtener una base\((v_1,v_2,e_1,e_4)\) de\(\mathbb{R}^4\).