6.1: Definición y propiedades elementales
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A lo largo de este capítulo,\(V \) and \(W \) denote vector spaces over\(\mathbb{F} \). Vamos a estudiar funciones desde\(V \) into \(W \) that have the special properties given in the following definition.
Definición 6.1.1. Una función\(T:V\to W \) se llama lineal si
\[T(u+v) = T(u) + T(v), ~~ \rm{~for ~all~} u,v\in V , \tag{6.1.1}\]
\[T(av) = aT(v), ~~ \rm{~for~ all~} a\in \mathbb{F} \rm{~and~} v\in V . \tag{6.1.2}\]
El conjunto de todos los mapas lineales de\(V \) a\(W \) se denota por\(\mathcal{L}(V,W) \). También escribimos\(Tv \) para\(T(v) \). Además, si\(V = W \), entonces escribimos\(\mathcal{L}(V,V) = \mathcal{L}(V) \) y llamamos a\(T\)\(\mathcal{L}(V) \) un operador lineal encendido\(V \).
Ejemplo 6.1.2.
1. El mapa cero que\(0:V\to W \) mapea cada elemento\(v\in V \)\(0\in W \) es lineal.
2. La identidad ma p\(I:V\to V \) definida como\(Iv=v \) es lineal.
3. Dejado\(T:\mathbb{F}[z] \to \mathbb{F}[z] \) ser el mapa de diferenciación definido como\(Tp(z)=p'(z) \).
Entonces, para dos polinomios\(p(z),q(z)\in\mathbb{F}[z] \), tenemos
\[ T(p(z)+q(z)) = (p(z)+q(z))' =p'(z)+q'(z)=T(p(z))+T(q(z)). \]
Del mismo modo, para un polinomio\(p(z)\in \mathbb{F}[z] \) y un escalar\(a\in \mathbb{F} \), tenemos
\[ T(ap(z))=(ap(z))'=ap'(z)=aT(p(z)). \]
De ahí\(T \) que sea lineal.
4. Dejado\(T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \) ser el mapa dado por\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \). Entonces, for\((x,y),(x',y')\in \mathbb{R}^2 \), tenemos
\ begin {ecuación*}
\ begin {split}
T ((x, y) + (x', y')) &= T (x+x', y+y') = (x+x'-2 (y+y') ,3 (x+x') +y+y')\\
&= (x-2y,3x+y) + (x'-2y',3x'+y') = T (x, y) + T (x', y').
\ end {split}
\ end {ecuación*}
Del mismo modo, para\((x,y)\)\(\mathbb{R}^2 \) dentro y\(a\)\(\mathbb{F}\) dentro, tenemos
\[ T(a(x,y)) = T(ax,ay) = (ax-2ay,3ax+ay) = a(x-2y,3x+y) = aT(x,y). \]
De ahí\(T\) que sea lineal. De manera más general, cualquier mapa\(T: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m \) definido por
\[ T(x_1,\ldots,x_n) = (a_{11}x_1+\cdots +a_{1n} x_n, \ldots,a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n) \]
con\(a_{ij}\in\mathbb{F} \) es lineal.
5. ¡No todas las funciones son lineales! Por ejemplo, la función exponencial no\(f(x)=e^x \) es lineal ya que\(e^{2x} \neq 2 e^x \) en general. Además, la función\(f:\mathbb{F} \to \mathbb{F} \) dada por no\(f(x)=x-1 \) es lineal desde entonces\(f(x+y)=(x+y)-1 \neq (x-1)+(y-1)=f(x)+f(y) \).
Un resultado importante es que los mapas lineales ya están completamente determinados si se especifican sus valores sobre vectores base.
Teorema 6.1.3. Dejar\((v_1,\ldots,v_n) \) ser una base de\(V \) y\((w_1,\ldots,w_n) \) ser una lista arbitraria de vectores en\(W \). Luego existe un mapa lineal único
\[ T:V\to W \quad \text{such that \(T(v_i)=w_i, \, \forall \, i = 1, 2, \ldots, n \).} \]
Comprobante. Primero verificamos que haya como máximo un mapa lineal\(T \) con\(T(v_i)=w_i \). Toma cualquiera\(v\in V \). Ya que\((v_1,\ldots,v_n) \) es una base de que\(V \) hay escalares únicos\(a_1,\ldots,a_n\) en\(\mathbb{F} \) tal que\(v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \). Por linealidad, tenemos
\[ \begin{equation} \label{eq:T}
T(v)=T(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n) = a_1T(v_1)+\cdots+a_nT(v_n)
=a_1 w_1 + \cdots + a_n w_n, \tag{6.1.3}
\end{equation} \]
y por lo tanto\(T(v) \) está completamente determinado. Para mostrar la existencia, utilice la Ecuación (6.1.3) para definir\(T \). Queda por demostrar que esto\(T \) es lineal y eso\(T(v_i)=w_i \). Estas dos condiciones no son difíciles de mostrar y se dejan al lector.
El conjunto de mapas lineales\(\mathcal{L}(V,W) \) es en sí mismo un espacio vectorial. Para la\(S,T\in \mathcal{L}(V,W) \) adición se define como
\[ \begin{equation*}
(S+T)v = Sv + Tv, \quad \text{for all \(v\in V \).}
\end{equation*} \]
Para\(a\in \mathbb{F} \) y\(T\in \mathcal{L}(V,W) \), la multiplicación escalar se define como
\[ \begin{equation*}
(aT)(v) = a(Tv), \quad \text{for all \(v\in V \).}
\end{equation*} \]
Debe verificar que\(S+T \) y de hecho\(aT \) son mapas lineales y que todas las propiedades de un espacio vectorial están satisfechas.
Además de las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar, también podemos definir la composición de mapas lineales. Dejar\(V,U,W \) ser espacios vectoriales sobre\(\mathbb{F} \). Entonces, para\(S\in\mathcal{L}(U,V) \) y\(T\in \mathcal{L}(V,W) \), definimos\( T\circ S\in\mathcal{L}(U,W)\) por
\ begin {ecuación*}
(T\ circ S) (u) = T (S (u)),\ quad\ texto {para todos\(u\in U \).}
\ end {ecuación*}
El mapa\(T\circ S \) a menudo también se llama el producto de\(T \) y\(S \) se denota por\(TS \). Cuenta con las siguientes propiedades:
1. Asociatividad:\((T_1 T_2)T_3=T_1(T_2 T_3) \), para todos\(T_1\in \mathcal{L}(V_1,V_0) \),\(T_2 \in \mathcal{L}(V_2,V_1) \) y\(T_3\in\mathcal{L}(V_3,V_2) \).
2. Identidad:\(TI=IT=T \), dónde\(T\in \mathcal{L}(V,W) \) y dónde\(I \) adentro\(TI \) es el mapa de identidad en\(\mathcal{L}(V,V) \) mientras que el\(I \) in\(IT \) es el mapa de identidad en\(\mathcal{L}(W,W) \).
3. Distributividad:\((T_1+T_2)S=T_1S+T_2S \) y\(T(S_1+S_2)=TS_1+TS_2 \), dónde\(S,S_1,S_2\in\mathcal{L}(U,V) \) y\(T,T_1,T_2\in\mathcal{L}(V,W) \).
Tenga en cuenta que el producto de los mapas lineales no siempre es conmutativo. Por ejemplo, si tomamos\(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}[z],\mathbb{F}[z]) \) para ser el mapa de diferenciación\(Tp(z)=p'(z) \) y\(S\in\mathcal{L}(\mathbb{F}[z],\mathbb{F}[z])\) ser el mapa\(Sp(z)=z^2p(z) \), entonces
\[ \begin{equation*}
(ST)p(z)=z^2 p'(z) \quad \text{but} \quad (TS)p(z) = z^2 p'(z)+2zp(z).
\end{equation*}\]