6.2: Espacios nulos

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Definición 6.2.1. Dejar\(T:V\to W \) ser un mapa lineal. Entonces el espacio nulo (también conocido como kernel) de\(T\) es el conjunto de todos los vectores en los\(V\) que se mapean a cero por\(T\). Es decir,

\[ \begin{equation*}
\kernel(T) = \{v\in V \mid Tv=0\}.
\end{equation*}\]

Ejemplo 6.2.2. \(T\in \mathcal{L}(\mathbb{F}[z],\mathbb{F}[z]) \)Sea el mapa de diferenciación\(Tp(z)=p'(z) \). Entonces

\[ \begin{equation*}
\kernel(T) = \{ p \in \mathbb{F}[z] \mid p(z) \rm{~ is~ constant~}\}.
\end{equation*}\]

Ejemplo 6.2.3. Considere el mapa lineal\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \) del Ejemplo 6.1.2. Para determinar el espacio nulo, necesitamos resolver\(T(x,y)=(0,0) \), que es equivalente al sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{equation*}
\left.
\begin{array}{rl}
x-2y&=0\\
3x+y&=0
\end{array}
\right\}.
\end{equation*} \]

Vemos que la única solución es\((x,y)=(0,0) \) así\(\kernel(T) =\{(0,0)\} \).

Proposición 6.2.4. Dejar\(T:V\to W \) ser un mapa lineal. Entonces\(\kernel(T) \) es un subespacio de\(V \).

Prueba.

Tenemos que demostrar eso\(0\in \kernel(T) \) y eso\(\kernel(T) \) se cierra bajo suma y multiplicación escalar. Por linealidad, tenemos

\[ \begin{equation*}
T(0) = T(0+0) = T(0) + T(0)
\end{equation*} \]

para que\(T(0)=0 \). De ahí\(0\in \kernel(T) \). Para cierre bajo adición, vamos\(u,v\in\kernel(T) \). Entonces

\[ \begin{equation*}
T(u+v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0,
\end{equation*} \]

y por lo tanto\(u+v\in\kernel(T) \). De igual manera, para el cierre bajo multiplicación escalar, let\(u\in \kernel(T)\) y\(a\in \mathbb{F} \). Entonces
\[ \begin{equation*}
T(au) = aT(u) = a0=0,
\end{equation*}\]

y así\(au\in\kernel(T) \).

Definición 6.2.5. El mapa lineal\(T:V \to W \) se llama inyectivo si, para todos\(u,v\in V \), la condición\(Tu=Tv \) implica eso\(u=v \). En otras palabras, diferentes vectores en\(V \) se mapean a diferentes vectores en\(W \).

Proposición 6.2.6. Dejar\(T:V\to W \) ser un mapa lineal. Entonces\(T \) es inyectivo si y solo si\(\kernel(T)=\{0\} \).

Prueba.

\(( "\Longrightarrow" )\)Supongamos que\(T \) es inyectivo. Ya que\(\kernel(T) \) es un subespacio de\(V \), eso lo sabemos\(0\in \kernel(T) \). Supongamos que hay otro vector\(v\in V \) que está en el kernel. Entonces\(T(v)=0=T(0) \). Ya que\(T \) es inyectivo, esto implica eso\(v=0 \), demostrando que\(\kernel(T)=\{0\} \).

\(( "\Longleftarrow" )\)Supongamos que\(\kernel(T)=\{0\} \), and let \(u,v\in V \) be such that \(Tu=Tv \). Then \(0=Tu-Tv=T(u-v) \) so that \(u-v\in \kernel(T) \). Hence \(u-v=0 \), or, equivalently, \(u=v \). This shows that \(T \) is indeed inyectivo.

Ejemplo 6.2.7.

1. El mapa de diferenciación no\(p(z) \mapsto p'(z) \) es inyectivo ya que\(p'(z)=q'(z) \) implica que\(p(z)=q(z)+c \), donde\(c\in\mathbb{F} \) es una constante.
2. El mapa de identidad\(I:V\to V \) es inyectivo.
3. El mapa lineal\(T:\mathbb{F}[z] \to \mathbb{F}[z] \) dado por\(T(p(z)) = z^2 p(z) \) es inyectivo ya que es fácil verificarlo\(\kernel(T) = \{0\} \).
4. El mapa lineal\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \) es inyectivo ya que\(\kernel(T)=\{(0,0)\} \), como calculamos en el Ejemplo 6.2.3.

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