6.5: La fórmula de la dimensión

{{Template.dropdown {ruta:” /álgebra/linear_álgebra "}}}

El siguiente teorema es el resultado clave de este capítulo. Se relaciona la dimensión del núcleo y el rango de un mapa lineal.

Teorema 6.5.1. Dejar\(V \) ser un espacio vectorial finito-dimensional y\(T:V\to W \) ser un mapa lineal. Entonces\(\range(T) \) es un subespacio finito-dimensional de\(W \) y
\[ \begin{equation} \label{eq:dim formula}
\dim(V) = \dim(\kernel(T)) + \dim(\range(T)). \tag{6.5.1}
\end{equation}\]

Comprobante.

Dejar\(V \) ser un espacio vectorial finito-dimensional y\(T\in \mathcal{L}(V,W) \). Ya que\(\kernel(T) \) es un subespacio de\(V \), sabemos que\( \kernel(T) \) tiene una base\((u_1,\ldots, u_m) \). Esto implica que\(\dim(\kernel(T))=m \). Por el Teorema de Extensión de Bases, se deduce que se\( (u_1,\ldots,u_m) \) puede extender a una base de\(V \), digamos\((u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n) \), para que\(\dim(V)=m+n \).

El teorema seguirá mostrando que\((Tv_1,\ldots, Tv_n) \) es una base de\(\range(T) \) ya que esto implicaría que\(\range(T) \) es finito-dimensional y\(\dim(\range(T))=n \), demostrando la Ecuación 6.5.1.

Dado que se\((u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n) \) extiende\(V \), cada uno\(v\in V \) puede escribirse como una combinación lineal de estos vectores; es decir,

\ begin {ecuación*}
v = a_1 u_1 +\ cdots + a_m u_m + b_1 v_1 +\ cdots + b_n v_n,
\ end {ecuación*}
donde\(a_i,b_j\in \mathbb{F} \). Aplicando\(T \) a\(v \), obtenemos
\ begin {ecuación*}
Tv = b_1 T v_1 +\ cdots + b_n T v_n,
\ end {ecuación*}

donde los términos\(Tu_i \) desaparecieron desde entonces\(u_i\in \kernel(T) \). Esto demuestra que\((Tv_1,\ldots, Tv_n) \) efectivamente abarca\(\range(T) \).

Para demostrar que\((Tv_1,\ldots, Tv_n) \) es una base de\(\range(T) \), queda por mostrar que esta lista es linealmente independiente. Supongamos que\(c_1,\ldots, c_n \in \mathbb{F} \) son tales que

\[ c_1 T v_1 + \cdots + c_n T v_n =0.\]

Por linealidad de\(T \), esto implica que

\[ T(c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n) = 0, \]

y así\(c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n\in \kernel(T) \). Ya que\((u_1,\ldots,u_m) \) es una base de\(\kernel(T) \), deben existir escalares\(d_1,\ldots,d_m\in\mathbb{F} \) tales que

\ begin {ecuación*}
c_1 v_1 +\ cdots + c_n v_n = d_1 u_1 +\ cdots + d_m u_m.
\ end {ecuación*}

Sin embargo, por la independencia lineal de\((u_1,\ldots, u_m,v_1,\ldots, v_n) \), esto implica que todos los coeficientes\(c_1=\cdots =c_n=d_1=\cdots =d_m=0 \). Así,\((Tv_1,\ldots, Tv_n)\) es linealmente independiente, y estamos hechos.

Ejemplo 6.5.2. Recordemos que el mapa lineal\(T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definido por\(T(x,y)=(x-2y,3x+y) \) tiene\(\kernel(T)=\{0\} \) y\(\range(T)=\mathbb{R}^2 \). De ello se deduce que

\[ \dim(\mathbb{R}^2) = 2 = 0+2 =\dim(\kernel(T)) + \dim(\range(T)). \]

Corolario 6.5.3. Dejar\(T\) entrar\(\mathcal{L}(V,W) \).

1. Si\(\dim(V)>\dim(W) \), entonces no\(T \) es inyectivo.
2. Si\(\dim(V)<\dim(W) \), entonces no\(T \) es suryectiva.

Comprobante.

Por Teorema 6.5.1, tenemos que

\ begin {ecuación*}
\ begin {split}
\ dim (\ kernel (T)) &=\ dim (V) -\ dim (\ range (T))\\
&\ ge\ dim (V) -\ dim (W) >0.
\ end {split}
\ end {equation*}
Ya que\(T \) es inyectivo si y solo si\(\dim(\kernel(T))=0 \),\(T \) no puede ser inyectivo.
Del mismo modo,
\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
\ dim (\ range (T)) &=\ dim (V) -\ dim (\ dim (\ kernel (T))\\
&\ le\ dim (V) <\ dim (W),
\ end {split}
\ end {equation*}
y así\(\range(T) \) no puede ser igual a \(W \). Por lo tanto,\(T \) no puede ser suryectiva.

Template:Shilling