7.3: Matrices diagonales

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Tenga en cuenta que si\(T\) tiene valores propios\(n=\dim(V)\) distintos, entonces existe una base\((v_1,\ldots,v_n)\) de\(V\) tal que
\ begin {ecuación*} tv_j =\ lambda_j v_j,\ quad\ text {para todos\(j=1,2,\ldots,n\).}
\ end {ecuación*}

Entonces cualquiera\(v\in V\) puede escribirse como una combinación lineal\(v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\) de\(v_1,\ldots,v_n\). Aplicando\(T\) a esto, obtenemos\ begin {equation*}
Tv =\ lambda_1 a_1 v_1 +\ cdots +\ lambda_n a_n v_n.
\ end {equation*}

De ahí el vector\ begin {ecuation*}
M (v) =\ begin {bmatrix} a_1\\\ vdots\\ a_n\ end {bmatrix}
\ end {equation*}

se mapea a\ begin {ecuación*}
M (Tv) =\ begin {bmatrix}\ lambda_1 a_1\\\ vdots\\\ lambda_n a_n\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}

Esto significa que la matriz\(M(T)\) para\(T\) con respecto a la base de los vectores propios\((v_1,\ldots,v_n)\) es diagonal, y así llamamos\(T\) diagonalizable:\ begin {equation*}
M (T) =\ begin {bmatrix}\ lambda_1 & & 0\\ &\ ddots &\\
0&\ lambda_n\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}

Resumimos los resultados de la discusión anterior en la siguiente Proposición.

Proposición 7.3.1. Si\(T\in \mathcal{L}(V,V)\) tiene valores propios\(\dim(V)\) distintos, entonces\(M(T)\) es diagonal con respecto a alguna base de\(V\). Además,\(V\) tiene una base que consiste en vectores propios de\(T\).

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