7.4: Existencia de valores propios

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En lo que sigue, queremos estudiar la cuestión de cuándo existen valores propios para un operador dado\(T\). Para responder a esta pregunta, utilizaremos polinomios\(p(z)\in \mathbb{F}[z]\) evaluados en operadores\(T \in \mathcal{L}(V,V)\) (o, de manera equivalente, en matrices cuadradas\(A \in \mathbb{F}^{n\times n}\). Más explícitamente, dado un polinomio

\[ p(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_k z^k \]

podemos asociar al operador

\[ p(T) = a_0 I_V + a_1 T + \cdots + a_k T^k. \]

Tenga en cuenta que\(p(z),q(z)\in \mathbb{F}[z]\), para, tenemos

\ begin {ecuación*}
(pq) (T) = p (T) q (T) = q (T) p (T).
\ end {ecuación*}

Los resultados de esta sección serán para espacios vectoriales complejos. Esto se debe a que la prueba de la existencia de valores propios se basa en el Teorema Fundamental del Álgebra del Capítulo 3, que hace una declaración sobre la existencia de ceros de polinomios sobre\(\mathbb{C}\).

Teorema 7.4.1: Existencia

Dejar\(V\neq \{0\}\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{C}\), y dejar\(T\in\mathcal{L}(V,V)\). Entonces\(T\) tiene al menos un valor propio.

Prueba

Dejar\(v\in V\) con\(v\neq 0\), y considerar la lista de vectores

\ begin {ecuación*}
(v, Tv, t^2v,\ ldots, t^nv),
\ end {ecuación*}

donde\(n=\dim(V)\). Dado que la lista contiene\(n+1\) vectores, debe ser linealmente dependiente. De ahí que existan escalares\(a_0,a_1,\ldots, a_n\in \mathbb{C}\), no todos cero, de tal manera que

\ begin {ecuación*}
0 = a_0 v + a_1 Tv + a_2 T^2 v +\ cdots + a_n t^n v.
\ end {ecuación*}

Let\(m\) Ser el índice más grande para el cual\(a_m\neq 0\). Ya que\(v\neq 0\), debemos tener\(m>0\) (pero posiblemente\(m=n\). Considerar el polinomio

\ begin {ecuación*}
p (z) = a_0 + a_1 z +\ cdots + a_m z^m.
\ end {ecuación*}

Por Teorema 3.2.3 (3) se puede factorizar como
\ begin {ecuación*}
p (z) = c (z-\ lambda_1)\ cdots (z-\ lambda_m),
\ end {ecuación*}

dónde\(c,\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in \mathbb{C}\) y\(c\neq 0\).

Por lo tanto,
\ begin {equation*}
\ begin {split}
0 &= a_0 v + a_1 Tv + a_2 T^2 v +\ cdots + a_n t^n v = p (T) v\\
&= c (T-\ lambda_1 I) (T-\ lambda_2 I)\ cdots (T-\ lambda_m I) v,
\ end {split} end
\ { ecuación*}
y así al menos uno de los factores\(T-\lambda_j I\) debe ser no inyectivo. En otras palabras, este\(\lambda_j\) es un valor propio de\(T\).

Tenga en cuenta que la prueba del Teorema 7.4.1 sólo utiliza conceptos básicos sobre mapas lineales, que es el mismo enfoque que en un libro de texto popular llamado Álgebra Lineal Done Right de Sheldon Axler. Muchos otros libros de texto se basan en pruebas significativamente más difíciles utilizando conceptos como el polinomio determinante y característico de una matriz. Al mismo tiempo, a menudo es preferible utilizar el polinomio característico de una matriz para calcular la información propia de un operador; discutimos este enfoque en el Capítulo 8.

Obsérvese también que el Teorema 7.4.1 no se sostiene para espacios vectoriales reales. Por ejemplo, como vimos en el Ejemplo 7.2.2, el operador de rotación\(R\) on no\(\mathbb{R}^2\) tiene valores propios.

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