7.2: Valores propios

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Definición 7.2.1. Dejar\(T\) entrar\(\mathcal{L}(V,V)\). Entonces\(\lambda\) en\(\mathbb{F}\) es un valor propio de\(T\) si existe un vector distinto de cero\(u\in V\) tal que

\[ T u = \lambda u.\]

El vector\(u\) se llama un vector propio de\(T\) correspondiente al valor propio\(\lambda\).

Encontrar los valores propios y vectores propios de un operador lineal es uno de los problemas más importantes en Álgebra Lineal. Veremos más adelante que esta llamada ``eigen-información” tiene muchos usos y aplicaciones. (Como ejemplo, la mecánica cuántica se basa en la comprensión de los valores propios y vectores propios de los operadores en espacios vectoriales específicamente definidos. Sin embargo, estos espacios vectoriales suelen ser infinito-dimensionales, por lo que no los consideramos más en estas notas.)

Ejemplo 7.2.2.

• Dejado\(T\) ser el mapa cero definido por\(T(v)=0\) para todos\(v\in V\). Entonces cada vector\(u\neq 0\) es un vector propio de\(T\) con valor propio\(0\).
• Dejar\(I\) ser el mapa de identidad definido por\(I(v)=v\) para todos\(v\in V\). Entonces cada vector\(u\neq 0\) es un vector propio de\(T\) con valor propio\(1\).
• El mapa de proyección\(P:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definido por\(P(x,y,z)=(x,y,0)\) tiene valores propios\(0\) y\(1\). El vector\((0,0,1)\) es un vector propio con valor propio\(0\), y ambos\((1,0,0)\) y\((0,1,0)\) son vectores propios con autovalor\(1\).
• Lleve al operador\(R:\mathbb{F}^2\) a\(\mathbb{F}^2\) definido por\(R(x,y)=(-y,x)\). Cuando\(\mathbb{F}=\mathbb{R}\),

\(R\)puede interpretarse como rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por\(90^0\). A partir de esta interpretación, es claro que ningún vector distinto de cero en\(\mathbb{R}^2\) se mapea a un múltiplo escalar de sí mismo. De ahí que\(\mathbb{F}=\mathbb{R}\), para, el operador no\(R\) tenga valores propios.

Porque\(\mathbb{F}=\mathbb{C}\), sin embargo, ¡la situación es significativamente diferente! En este caso,\(\lambda\in \mathbb{C}\) es un valor propio de\(R\) si

\[ R(x,y) = (-y,x) = \lambda (x,y) \]

para que\(y=-\lambda x\) y\(x=\lambda y\). Esto implica eso\(y=-\lambda^2 y\), es decir, eso\(\lambda^2 = -1\). Las soluciones son de ahí\(\lambda=\pm i\). Se puede verificar que\((1,-i)\) es un vector propio con valor propio\(i\) y que\((1,i)\) es un vector propio con autovalor\(-i\).

Los espacios propios son ejemplos importantes de subespacios invariantes. Dejar\(T\in \mathcal{L}(V,V)\), y dejar\(\lambda\in \mathbb{F}\) ser un valor propio de\(T\). Entonces

\[ V_\lambda = \{ v\in V \mid Tv = \lambda v \} \]

se llama un espacio propio de\(T\). Equivalentemente,

\[ V_\lambda = \kernel(T-\lambda I).\]

Tenga en cuenta que\(V_\lambda \neq \{0\}\) ya\(\lambda\) es un valor propio si y solo si existe un vector distinto de cero\(u\) en\(V\) tal que\(Tu=\lambda u\). Podemos reformular esto de la siguiente manera:

\(\lambda \in \mathbb{F}\)es un valor propio de\(T\) si y solo si el operador no\(T-\lambda I\) es inyectivo.

Dado que la noción de inyectividad, surjectividad e invertibilidad son equivalentes para los operadores en un espacio vectorial finito-dimensional, podemos decir equivalentemente cualquiera de las siguientes:

• \(\lambda \in \mathbb{F}\)es un valor propio de\(T\) si y sólo si el operador no\(T-\lambda I\) es surytivo.
• \(\lambda \in \mathbb{F}\)es un valor propio de\(T\) si y sólo si el operador no\(T-\lambda I\) es invertible.

Cerramos esta sección con dos datos fundamentales sobre los valores propios y los vectores propios.

Teorema 7.2.3. Let\(T\in \mathcal{L}(V,V)\), y let\(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in \mathbb{F}\) ser\(m\) distintos valores propios de\(T\) con vectores propios distintos de cero correspondientes\(v_1,\ldots,v_m\). Entonces\((v_1,\ldots,v_m)\) es linealmente independiente.

Comprobante. Supongamos que\((v_1,\ldots,v_m)\) es linealmente dependiente. Entonces, por el Lema de Dependencia Lineal, existe un índice\(k \in \{2,\ldots,m\}\) tal que

\[ v_k \in \Span(v_1,\ldots,v_{k-1}) \]

y tal que\((v_1,\ldots,v_{k-1})\) sea linealmente independiente. Esto quiere decir que existen escalares de\(\mathbb{F}\) tal\(a_1,\ldots,a_{k-1}\) manera que

\[ v_k = a_1 v_1 + \cdots + a_{k-1} v_{k-1}. \tag{7.2.1} \]

Aplicando\(T\) a ambos lados rendimientos, utilizando el hecho de que\(v_j\) es un vector propio con valor propio\(\lambda_j\),

\[ \lambda_k v_k = a_1 \lambda_1 v_1 + \cdots + a_{k-1} \lambda_{k-1} v_{k-1}.\]

Restando\(\lambda_k\) tiempos Ecuación (7.2.1) de esto, obtenemos

\[ 0 = (\lambda_k - \lambda_1)a_1 v_1 + \cdots + (\lambda_k-\lambda_{k-1}) a_{k-1} v_{k-1}. \]

Ya que\((v_1,\ldots,v_{k-1})\) es linealmente independiente, debemos tener\((\lambda_k-\lambda_j)a_j=0\) para todos\(j=1,2,\ldots, k-1\). Por suposición, todos los valores propios son distintos, entonces\(\lambda_k-\lambda_j\neq 0\), lo que implica eso\(a_j=0\) para todos\(j=1,2,\ldots,k-1\). Pero entonces, por la Ecuación (7.2.1)\(v_k=0\), que contradice la suposición de que todos los vectores propios son distintos de cero. De ahí\((v_1,\ldots,v_m)\) que sea linealmente independiente.

Corolario 7.2.4. Cualquier operador\(T \in \mathcal{L}(V,V)\) tiene como máximo valores propios\(\dim(V)\) distintos.

Comprobante. Dejar\(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\) ser distintos valores propios de\(T\), y dejar que\(v_1,\ldots,v_m\) sean correspondientes vectores propios distintos de cero. Por Teorema 7.2.3, la lista\((v_1,\ldots,v_m)\) es linealmente independiente. De ahí\(m \le \dim(V)\).

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