7.E: Ejercicios para el Capítulo 7

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Ejercicios de cálculo

1. \(T \in \cal{L}(\mathbb{F}^2 , \mathbb{F}^2)\)Déjese definir por

\[T (u, v) = (v, u)\]

para cada\(u, v \in \mathbb{F}.\) Calcular los valores propios y los vectores propios asociados para\(T.\)

2. Dejar\(T \in \cal{L}(\mathbb{F}^3 , \mathbb{F}^3\)) ser deﬁnado por

\[T (u, v, w) = (2v, 0, 5w)\]

para cada\(u, v, w \in \mathbb{F}.\) Calcular los valores propios y los vectores propios asociados para\(T.\)

3. Dejar\(n \in \mathbb{Z}_+\) ser un entero positivo y\(T \in \cal{L}(\mathbb{F}^n , \mathbb{F}^n )\) ser determinado por

\[T (x_1 ,\ldots, x_n ) = (x1 + \cdots + x_n , \ldots, x_1 + \cdots + x_n)\]

para cada\(x_1 ,\ldots, x_n \in \mathbb{F}.\) Calcular los valores propios y los vectores propios asociados para\(T.\)

4. Encuentre valores propios y vectores propios asociados para los operadores lineales en los\(\mathbb{F}^2\) deﬁned por cada\(2 \times 2\) matriz dada.

\((a) \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 8 & -1 \end{array} \right], ~~ (b) \left[ \begin{array}{cc} 10 & -9 \\ 4 & -2 \end{array} \right], ~~ (c) \left[ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{array} \right], \)

\((d) \left[ \begin{array}{cc} -2 & -7 \\ 1 & 2 \end{array} \right], ~~ (e) \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right], ~~ (f) \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \)

Pista: Usa el hecho de que, dada una matriz\(A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \in \mathbb{F}^{2\times2} , \lambda \in \mathbb{F}\) es un valor propio para A si y solo si\((a − \lambda)(d − \lambda) − bc = 0.\)

5. Para cada matriz\(A\) a continuación, encontrar valores propios para el operador lineal inducido\(T\) encendido\(\mathbb{F}^n\) sin realizar ningún cálculo. Luego describa los vectores propios\(v \in \mathbb{F}^n\) asociados a cada valor propio\(\lambda\) mirando soluciones a la ecuación matricial\((A − \lambda I)v = 0,\) donde denota el mapa de identidad en\(\mathbb{F}^n.\)

\((a) \left[ \begin{array}{cc} -1 & 6 \\ 0 & 5 \end{array} \right], ~~(b) \left[ \begin{array}{cccc} -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right], ~~(c) \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 7 & 11 \\ 0 & \frac{1}{2} & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\)

6. Para cada matriz\(A\) a continuación, describa los subespacios invariantes para el operador lineal inducido\(T on \mathbb{F}^2\) que mapea cada uno\(v \in \mathbb{F}^2\) a\(T (v) = Av.\)

\((a) \left[ \begin{array}{cc} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right], ~~ (b) \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right], ~~ (c) \left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} \right], ~~ (d) \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \)

7. \(T \in \cal{L}(\mathbb{R}^2)\)Déjese definir por

\[ T \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \\ x+y \end{array} \right),~~\rm{~for ~all~} \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2.\]

Deﬁne dos números reales\(\lambda_+\) y de la\(\lambda_−\) siguiente manera:

\[ \lambda_+=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, ~~ \lambda_-=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.\]

(a) Encontrar la matriz de\(T\) con respecto a la base canónica para\(\mathbb{R}^2\) (tanto como el dominio como el codominio de\(T\); llamar a esta matriz\(A\)).
b) Verificar que\(\lambda_+\) y\(\lambda_−\) son valores propios de\(T\) demostrando que\(v_+\) y\(v_−\) son
vectores propios, donde

\[ v_+ = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \lambda_+ \end{array} \right),~~ v_- = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \lambda_- \end{array} \right).\]

(c) Demostrar que\((v_+ , v_− )\) es una base de\(\mathbb{R}^2.\)
(d) Encontrar la matriz de\(T\) con respecto a la base\((v_+ , v_− )\) para\(\mathbb{R}^2\) (tanto como el dominio
como el codominio de\(T\); llamar a esta matriz\(B\)).

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\) con\(T \in \cal{L}\)\((V, V),\) y dejar\(U_1 , \ldots, U_m\) ser subespacios de los\(V\) que son invariantes bajo\(T \). \(U_1 + \cdots + U_m\)Demostrar que entonces también debe ser un subespacio invariante de\(V\) bajo\(T .\)

2. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F }\) con\(T \in \cal{L}\)\((V, V ),\) y supongamos que\(U_1\) y\(U_2\) son subespacios de los\(V\) que son invariantes bajo\(T \). Demostrar que también\(U_1 \cap U_2\) es un subespacio invariante de\(V\) bajo\(T.\)

3. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\) con\(T \in \cal{L}\)\((V, V)\) invertible y\(\lambda \in \mathbb{F} = \{0\}.\) Probar\(\lambda\) es un valor propio para\(T\) si y solo si\(\lambda−1\) es un valor propio para\(T −1.\)

4. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional\(\mathbb{F},\) y supongamos que\(T \in \cal{L}\)\((V, V)\) tiene la propiedad de que cada\(v \in V\) es un vector propio para\(T\). Demostrar que entonces\(T\) debe ser un múltiplo escalar de la función de identidad en\(V.\)

5. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F},\) y dejar\(S, T \in \cal{L}\)\((V)\) ser operadores lineales\(V\) con\(S\) invertible. Ante cualquier polinomio\(p(z) \in \mathbb{F}[z],\) probar que

\[p(S \circ T \circ S^{ −1} ) = S \circ p(T ) \circ S^{ −1}.\]

6. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{C}, T \in \cal{L}\)\((V)\) ser un operador lineal en\(V\), y\(p(z) \in \mathbb{C}[z]\) ser un polinomio. Demostrar que\(\lambda \in \mathbb{C}\) es un valor propio del operador lineal\(p(T ) \in \cal{L}\)\((V)\) si y solo si\(T\) tiene un valor propio\(\mu \in \mathbb{C}\) tal que\(p(\mu) = \lambda.\)

7. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional encima\(\mathbb{C}\) con\(T \in \cal{L}\)\((V)\) un operador lineal en\(V.\) Probar que, para cada uno\(k = 1,\ldots , dim(V ),\) hay un subespacio invariante\(U_k\) de\(V\) bajo\(T\) tal que\(dim(U_k ) = k.\)

8. Probar o dar un contraejemplo a la siguiente reclamación:

Reclamación. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F},\) y dejar\(T \in \cal{L}\)\((V)\) ser un operador lineal en\(V\). Si la matriz para\(T\) con respecto a alguna base\(V\) tiene todos los ceros en la diagonal, entonces no\(T\) es invertible.

9. Probar o dar un contraejemplo a la siguiente reclamación:

Reclamación. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F},\) y dejar\(T \in \cal{L}\)\((V)\) ser un
operador lineal en\(V\). Si la matriz para\(T\) con respecto a alguna base\(V\) tiene todos los elementos distintos de cero en la diagonal, entonces\(T\) es invertible.

10. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{F},\) y dejar\(S, T \in \cal{L}\)\((V)\) ser operadores lineales en\(V\). Supongamos que\(T\) tiene valores propios\(dim(V)\) distintos y que, dado cualquier vector propio\(v \in V\) para\(T\) asociado a algún valor propio también\(\lambda \in \mathbb{F},\)\(v\) es un vector propio
para\(S\) asociado a algún valor propio (posiblemente distinto)\(\mu \in \mathbb{F}.\) Probar que \(T \circ S = S \circ T .\)

11. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F},\) y supongamos que el operador lineal\(P \in \cal{L}\)\((V)\) tiene la propiedad que\(P^2 = P.\) Probar que\(V = null(P ) \oplus range(P ).\)

12. a) Dejar\(a, b, c, d \in \mathbb{F}\) y considerar el sistema de ecuaciones dado por

\[ax_1 + bx_2 = 0 \\ cx_1 + dx_2 = 0.\]

Tenga en cuenta que\(x_1 = x_2 = 0\) es una solución para cualquier elección de\(a, b, c,\) y\(d\). Demostrar que este sistema de ecuaciones tiene una solución no trivial si y solo si\(ad − bc = 0.\)

(b) Dejemos\(A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \in \mathbb{F}^{2\times2}\), y recordemos que podemos definir un operador lineal\(\mathbb{F}^2\) al\(T \in \cal{L}(\mathbb{F}^2 )\) establecer\(T (v) = Av\) para cada\(v = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right] \in \mathbb{F}^2. \)

Mostrar que los valores propios para\(T\) son exactamente los\(\lambda \in \mathbb{F}\) para los cuales\(p(\lambda) = 0,\) donde\(p(z) = (a − z)(d − z) − bc.\)

Pista: Escribe la ecuación del valor propio\(Av = \lambda v\) como\((A − \lambda I)v = 0\) y usa la primera parte.

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