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7.6: Diagonalización de2×2 matrices and Applications

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

VamosA=[abcd]F2×2, y recordemos que podemos definir un operador linealTL(F2) enF2 configurandoT(v)=Av para cada unov=[v1v2]F2.

Un método para encontrar la información propia deT es analizar las soluciones de la ecuación matricialAv=λv paraλF yvF2. En particular, utilizando la definición de vector propio y valor propio,v es un vector propio asociado al valor propioλ si y solo siAv=T(v)=λv.

Un método más simple implica la ecuación de matriz equivalente(AλI)v=0, dondeI denota el mapa de identidad enF2. En particular,0vF2 es un vector propio paraT asociado al valor propioλF si y solo si el sistema de ecuaciones lineales

\ begin {ecuación}
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(a -\ lambda) v_ {1} & + & b v_ {2} & = & 0\\
c v_ {1} & + & (d -\ lambda) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ right\}\ label {7.6.1}
\ end {ecuación}

tiene una solución no trivial. Además, System\ ref {7.6.1} tiene una solución no trivial si y solo si el polinomiop(λ)=(aλ)(dλ)bc evalúa a cero. (Ver Ejercicio 12 de prueba de escritura en Ejercicios para el Capítulo 7.)

En otras palabras, los valores propios paraT son exactamente losλF para los cualesp(λ)=0, y los vectores propios paraT asociados a un valor propioλ son exactamente los vectores distintos de cerov=[v1v2]F2 que satisfacen System\ ref {7.6.1}.

Ejemplo7.6.1

VamosA=[2152]. Entoncesp(λ)=(2λ)(2λ)(1)(5)=λ2+1, que es igual a cero exactamente cuándoλ=±i. Además, siλ=i, entonces el Sistema (7.6.1) se convierte

\ [
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(-2 - i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0\\
5 v_ {1} & + & (2 - i) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ derecho\},
\]

que es satisfecho por cualquier vectorv=[v1v2]C2 tal quev2=(2i)v1. Del mismo modoλ=i, si, entonces el Sistema\ ref {7.6.1} se convierte

\ [
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(-2 + i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0\\
5 v_ {1} & + & (2 + i) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ derecho\},
\]

que es satisfecho por cualquier vectorv=[v1v2]C2 tal quev2=(2+i)v1.

De ello se deduce queA=[2152], dado, el operador lineal onC2 definido porT(v)=Av tiene valores propiosλ=±i, con vectores propios asociados como se describió anteriormente.

Ejemplo7.6.2

Tomar la rotaciónRθ:R2R2 por un ánguloθ[0,2π) dado por la matriz

\ begin {ecuation*}
R_\ theta =\ begin {bmatrix}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\ end {bmatrix}
\ end {ecuación*}

Luego obtenemos los valores propios resolviendo la ecuación polinómica

\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
p (\ lambda) &= (\ cos\ theta -\ lambda) ^2 +\ sen ^2\ theta\\
&=\ lambda^2-2\ lambda\ cos\ theta + 1 =0,
\ end {split}
\ end {ecuación*}

donde hemos utilizado el hecho de quesin2θ+cos2θ=1. Resolviendo paraλ adentroC, obtenemos

\ begin {ecuación*}
\ lambda =\ cos\ theta\ pm\ sqrt {\ cos^2\ theta -1} =\ cos\ theta\ pm\ sqrt {-\ sin^2\ theta}
=\ cos\ theta\ pm i\ sin\ theta = e^ {\ pm i\ theta}.
\ end {ecuación*}

Vemos que, como operador sobre el espacio vectorial realR2, el operadorRθ solo tiene valores propios cuandoθ=0 oθ=π. Sin embargo, si interpretamos el vector[x1x2]R2 como un número complejoz=x1+ix2, entoncesz es un vector propio siRθ:CC mapeazλz=e±iθz. Además, a partir de la Sección 2.3, sabemos que la multiplicación pore±iθ corresponde a la rotación por el ángulo±θ.

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