7.6: Diagonalización de2×2 matrices and Applications
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
VamosA=[abcd]∈F2×2, y recordemos que podemos definir un operador linealT∈L(F2) enF2 configurandoT(v)=Av para cada unov=[v1v2]∈F2.
Un método para encontrar la información propia deT es analizar las soluciones de la ecuación matricialAv=λv paraλ∈F yv∈F2. En particular, utilizando la definición de vector propio y valor propio,v es un vector propio asociado al valor propioλ si y solo siAv=T(v)=λv.
Un método más simple implica la ecuación de matriz equivalente(A−λI)v=0, dondeI denota el mapa de identidad enF2. En particular,0≠v∈F2 es un vector propio paraT asociado al valor propioλ∈F si y solo si el sistema de ecuaciones lineales
\ begin {ecuación}
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(a -\ lambda) v_ {1} & + & b v_ {2} & = & 0\\
c v_ {1} & + & (d -\ lambda) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ right\}\ label {7.6.1}
\ end {ecuación}
tiene una solución no trivial. Además, System\ ref {7.6.1} tiene una solución no trivial si y solo si el polinomiop(λ)=(a−λ)(d−λ)−bc evalúa a cero. (Ver Ejercicio 12 de prueba de escritura en Ejercicios para el Capítulo 7.)
En otras palabras, los valores propios paraT son exactamente losλ∈F para los cualesp(λ)=0, y los vectores propios paraT asociados a un valor propioλ son exactamente los vectores distintos de cerov=[v1v2]∈F2 que satisfacen System\ ref {7.6.1}.
Ejemplo7.6.1
VamosA=[−2−152]. Entoncesp(λ)=(−2−λ)(2−λ)−(−1)(5)=λ2+1, que es igual a cero exactamente cuándoλ=±i. Además, siλ=i, entonces el Sistema (7.6.1) se convierte
\ [
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(-2 - i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0\\
5 v_ {1} & + & (2 - i) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ derecho\},
\]
que es satisfecho por cualquier vectorv=[v1v2]∈C2 tal quev2=(−2−i)v1. Del mismo modoλ=−i, si, entonces el Sistema\ ref {7.6.1} se convierte
\ [
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(-2 + i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0\\
5 v_ {1} & + & (2 + i) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ derecho\},
\]
que es satisfecho por cualquier vectorv=[v1v2]∈C2 tal quev2=(−2+i)v1.
De ello se deduce queA=[−2−152], dado, el operador lineal onC2 definido porT(v)=Av tiene valores propiosλ=±i, con vectores propios asociados como se describió anteriormente.
Ejemplo7.6.2
Tomar la rotaciónRθ:R2→R2 por un ánguloθ∈[0,2π) dado por la matriz
\ begin {ecuation*}
R_\ theta =\ begin {bmatrix}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\ end {bmatrix}
\ end {ecuación*}
Luego obtenemos los valores propios resolviendo la ecuación polinómica
\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
p (\ lambda) &= (\ cos\ theta -\ lambda) ^2 +\ sen ^2\ theta\\
&=\ lambda^2-2\ lambda\ cos\ theta + 1 =0,
\ end {split}
\ end {ecuación*}
donde hemos utilizado el hecho de quesin2θ+cos2θ=1. Resolviendo paraλ adentroC, obtenemos
\ begin {ecuación*}
\ lambda =\ cos\ theta\ pm\ sqrt {\ cos^2\ theta -1} =\ cos\ theta\ pm\ sqrt {-\ sin^2\ theta}
=\ cos\ theta\ pm i\ sin\ theta = e^ {\ pm i\ theta}.
\ end {ecuación*}
Vemos que, como operador sobre el espacio vectorial realR2, el operadorRθ solo tiene valores propios cuandoθ=0 oθ=π. Sin embargo, si interpretamos el vector[x1x2]∈R2 como un número complejoz=x1+ix2, entoncesz es un vector propio siRθ:C→C mapeaz↦λz=e±iθz. Además, a partir de la Sección 2.3, sabemos que la multiplicación pore±iθ corresponde a la rotación por el ángulo±θ.