7.6: Diagonalización de\(2\times 2\) matrices and Applications

Vamos\(A = \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} \in \mathbb{F}^{2\times 2}\), y recordemos que podemos definir un operador lineal\(T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^{2})\) en\(\mathbb{F}^{2}\) configurando\(T(v) = A v\) para cada uno\(v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{F}^2\).

Un método para encontrar la información propia de\(T\) es analizar las soluciones de la ecuación matricial\(A v = \lambda v\) para\(\lambda \in \mathbb{F}\) y\(v \in \mathbb{F}^{2}\). En particular, utilizando la definición de vector propio y valor propio,\(v\) es un vector propio asociado al valor propio\(\lambda\) si y solo si\(A v = T(v) = \lambda v\).

Un método más simple implica la ecuación de matriz equivalente\((A - \lambda I)v = 0\), donde\(I\) denota el mapa de identidad en\(\mathbb{F}^{2}\). En particular,\(0 \neq v \in \mathbb{F}^{2}\) es un vector propio para\(T\) asociado al valor propio\(\lambda \in \mathbb{F}\) si y solo si el sistema de ecuaciones lineales

\ begin {ecuación}
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(a -\ lambda) v_ {1} & + & b v_ {2} & = & 0\\
c v_ {1} & + & (d -\ lambda) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ right\}\ label {7.6.1}
\ end {ecuación}

tiene una solución no trivial. Además, System\ ref {7.6.1} tiene una solución no trivial si y solo si el polinomio\(p(\lambda) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc\) evalúa a cero. (Ver Ejercicio 12 de prueba de escritura en Ejercicios para el Capítulo 7.)

En otras palabras, los valores propios para\(T\) son exactamente los\(\lambda \in \mathbb{F}\) para los cuales\(p(\lambda) = 0\), y los vectores propios para\(T\) asociados a un valor propio\(\lambda\) son exactamente los vectores distintos de cero\(v = \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} \in \mathbb{F}^2\) que satisfacen System\ ref {7.6.1}.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(A = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\). Entonces\(p(\lambda) = (-2 -\lambda)(2 - \lambda) - (-1)(5) = \lambda^{2} + 1\), que es igual a cero exactamente cuándo\(\lambda = \pm i\). Además, si\(\lambda = i\), entonces el Sistema (7.6.1) se convierte

\ [
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(-2 - i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0\\
5 v_ {1} & + & (2 - i) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ derecho\},
\]

que es satisfecho por cualquier vector\(v = \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}\in \mathbb{C}^2\) tal que\(v_{2} = (-2 - i) v_{1}\). Del mismo modo\(\lambda = -i\), si, entonces el Sistema\ ref {7.6.1} se convierte

\ [
\ izquierda.
\ begin {array} {rrrrr}
(-2 + i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0\\
5 v_ {1} & + & (2 + i) v_ {2} & = & 0
\ end {array}
\ derecho\},
\]

que es satisfecho por cualquier vector\(v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2\) tal que\(v_{2} = (-2 + i) v_{1}\).

De ello se deduce que\(A = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\), dado, el operador lineal on\(\mathbb{C}^{2}\) definido por\(T(v) = A v\) tiene valores propios\(\lambda = \pm i\), con vectores propios asociados como se describió anteriormente.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Tomar la rotación\(R_\theta:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) por un ángulo\(\theta \in [0,2\pi)\) dado por la matriz

\ begin {ecuation*}
R_\ theta =\ begin {bmatrix}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\ end {bmatrix}
\ end {ecuación*}

Luego obtenemos los valores propios resolviendo la ecuación polinómica

\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
p (\ lambda) &= (\ cos\ theta -\ lambda) ^2 +\ sen ^2\ theta\\
&=\ lambda^2-2\ lambda\ cos\ theta + 1 =0,
\ end {split}
\ end {ecuación*}

donde hemos utilizado el hecho de que\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1\). Resolviendo para\(\lambda\) adentro\(\mathbb{C}\), obtenemos

\ begin {ecuación*}
\ lambda =\ cos\ theta\ pm\ sqrt {\ cos^2\ theta -1} =\ cos\ theta\ pm\ sqrt {-\ sin^2\ theta}
=\ cos\ theta\ pm i\ sin\ theta = e^ {\ pm i\ theta}.
\ end {ecuación*}

Vemos que, como operador sobre el espacio vectorial real\(\mathbb{R}^2\), el operador\(R_\theta\) solo tiene valores propios cuando\(\theta=0\) o\(\theta=\pi\). Sin embargo, si interpretamos el vector\(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2\) como un número complejo\(z=x_1+ix_2\), entonces\(z\) es un vector propio si\(R_\theta:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) mapea\(z\mapsto \lambda z=e^{\pm i \theta}z\). Además, a partir de la Sección 2.3, sabemos que la multiplicación por\(e^{\pm i \theta}\) corresponde a la rotación por el ángulo\(\pm\theta\).

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