8.E: Ejercicios para el Capítulo 8

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Ejercicios de cálculo

1. \(A \in \mathbb{C}^{3\times3}\)Déjese dar por

\[ A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & i \\ 0 & 1 & 0 \\ -i & 0 & -1 \end{array} \right] \]

(a) Calcular\(det(A).\)
(b) Buscar\(det(A^4 ).\)

2. (a) Para cada permutación\(\pi \in \cal{S}_3\), computar el número de inversiones en\(\pi,\) y clasificar\(\pi\) como una permutación par o impar.

(b) Utilice su resultado de la Parte (a) para construir una fórmula para el determinante de una\(3\times3\) matriz.

3. (a) Para cada permutación\(\pi \in S_4 ,\) computar el número de inversiones en\(\pi\), y clasificar\(\pi\) como una permutación par o impar.

(b) Utilice su resultado de la Parte (a) para construir una fórmula para el determinante de una\(4\times4\)
matriz.

4. Resolver para la variable\(x\) en la siguiente expresión:

\[ det \left( \left[ \begin{array}{cc} x & -1 \\ 3 & 1-x \end{array} \right] \right) = det \left( \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 2 & x & -6 \\ 1 & 3 & x-5 \end{array} \right] \right). \]

5. Demostrar que el siguiente determinante no depende del valor de\(\theta\):

\[ det \left( \left[ \begin{array}{ccc} sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ -cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) - cos(\theta) & sin(\theta) + cos(\theta) & 1 \end{array} \right] \right) \]

6. Dados los escalares\( \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}\), prueban que la siguiente matriz no es invertible:

\[ \left[ \begin{array}{ccc} sin^2 (\alpha) & sin^2 (\beta) & sin^2 (\gamma) \\ cos^2 (\alpha) & cos^2 (\beta) & cos^2 (\gamma) \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]\]

Pista: Calcular el determinante.

Ejercicios de prueba de escritura

1. \(a, b, c, d, e, f \in \mathbb{F}\)Dejen ser escalares, y supongamos que\(A\) y\(B\) son las siguientes matrices:

\[ A= \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & c \end{array} \right] ~ \rm{and} ~ B = \left[ \begin{array}{cc} d & e \\ 0 & f \end{array} \right] \]

Demostrar que\(AB = BA\) si y sólo si\(det \left( \left[ \begin{array}{cc} b & a-c \\ e & d-f \end{array} \right] \right) = 0. \)

2. Dada una matriz cuadrada\(A,\) demostrar que\(A\) es invertible si y sólo si\(A^T A\) es invertible.

3. Probar o dar un contraejemplo: Para cualquiera\(n \geq 1\) y\(A, B \in \mathbb(R)^{n \times n} \), uno tiene

\[det(A + B) = det(A) + det(B).\]

4. Probar o dar un contraejemplo: Para cualquiera\(r \in \mathbb{R}, n \geq 1\) y\(A \in \mathbb{R}^{n \times n} ,\) uno tiene

\[det(rA) = r det(A).\]

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