9.1: Productos internos

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En esta sección,\(V \) se encuentra un espacio vectorial finito-dimensional, distinto de cero sobre\(\mathbb{F}\).

Definición 9.1.1. Un producto interno en\(V \) es un mapa
\ begin {equation*}
\ begin {split}
\ inner {\ cdot} {\ cdot}:\; &V\ times V\ to\ mathbb {F}\\
& (u, v)\ mapsto\ inner {u} {v}
\ end {split}
\ end {equation* }
con las siguientes cuatro propiedades.

1. Linealidad en primer slo t:\(\inner{u+v}{w}=\inner{u}{w}+\inner{v}{w} \) y\(\inner{au}{v}=a\inner{u}{v} \) para todos\(u,v,w\in V \) y\(a\in \mathbb{F}\);
2. Positividad:\(\inner{v}{v} \ge 0 \) para todos\(v\in V\);
3. Definición positiva:\(\inner{v}{v}=0 \) si y solo si\(v=0\);
4. Simetría conjugada:\(\inner{u}{v}=\overline{\inner{v}{u}} \) para todos\(u,v\in V\).

Observación 9.1.2. Recordemos que cada número real\(x\in\mathbb{R} \) equivale a su complejo conjugado. De ahí que para espacios vectoriales reales, la simetría conjugada de un producto interno se convierte en simetría real

Definición 9.1.3. Un espacio interno de producto es un espacio vectorial\(\mathbb{F} \) junto con un producto interno\(\inner{\cdot}{\cdot}\).

Ejemplo 9.1.4. Dejar\(V=\mathbb{F}^n \) y\(u=(u_1,\ldots,u_n), v=(v_1,\ldots,v_n)\in \mathbb{F}^n\). Entonces podemos definir un producto interno en\(V \) configurando
\ begin {equation*}
\ inner {u} {v} =\ sum_ {i=1} ^n u_i\ overline {v} _i.
\ end {equation*}
For\(\mathbb{F}=\mathbb{R}\), esto se reduce al producto punto habitual, es decir,
\ begin {equation*}
u\ cdot v = u_1 v_1+\ cdots+u_n v_n.
\ end {ecuación*}

Ejemplo 9.1.5. Dejar\(V=\mathbb{F}[z] \) ser el espacio de polinomios con coeficientes en\(\mathbb{F}\).
Dado\(f,g\in \mathbb{F}[z]\), podemos definir su producto interno para que sea
\ begin {equation*}
\ inner {f} {g} =\ int_0^1 f (z)\ overline {g (z)} dz,
\ end {ecuación*}
donde\(\overline{g(z)} \) está el complejo conjugado del polinomio\(g(z)\).

Para un vector fijo\(w\in V\), se puede definir un mapa\(T:V\to \mathbb{F} \) configurando\(Tv=\inner{v}{w}\). Tenga en cuenta que\(T \) es lineal por Condición~1 de Definición~9.1.1. Esto implica, en particular, que\(\inner{0}{w}=0 \) para cada\(w\in V\). Por simetría conjugada, también tenemos\(\inner{w}{0}=0\).

Lema 9.1.6. El producto interno es anti-lineal en la segunda ranura, es decir,\( \inner{u}{v+w}=\inner{u}{v}+\inner{u}{w} \) y\(\inner{u}{av}
=\overline{a}\inner{u}{v} \) para todos\(u,v,w\in V \) y\(a\in \mathbb{F}\).

Prueba. Para la aditividad, tenga en cuenta que

\ begin {equation*}
\ begin {split}\ inner {u} {v+w} & =\ overline {\ inner {v+w} {u}} =\ overline {\ inner {v} {u} +\ inner {w} {u}}\\ interior {u}} {u}} =\ interior {u} {v} +\ interior {u} {w}.

\ end {split}
\ end {ecuación*}
Del mismo modo, para anti-homogeneidad, tenga en cuenta que
\ begin {ecuation*}
\ inner {u} {av} =\ overline {\ inner {av} {u}} =\ overline {a\ inner {v} {u}}
=\ overline {a}\ overline {\ inner {v} {u}} =\ overline {a}\ overline {a}\ interior {u} {v}.
\ end {ecuación*}

Cerramos esta sección señalando que la convención en física suele ser exactamente lo contrario de lo que hemos definido anteriormente. En otras palabras, un producto interno en física es tradicionalmente lineal en la segunda ranura y anti-lineal en la primera ranura.