12.E: Ejercicios

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Ejercicios de cálculo

1. En cada una de las siguientes, encontrar matrices\(A, x,\) y\(b\) tal que el sistema dado de ecuaciones lineales se pueda expresar como la ecuación de matriz única\(Ax = b.\)

\[ (a)~~ \left. \begin{array}{ccccccc} 2x_1 &-& 3x_2& + &5x_3 &= &7 \\ 9x_1& - &x_2& +& x_3& =& -1 \\ x_1& + &5x_2& +& 4x_3 &= &0 \end{array} \right\} ~~~ (b)~~ \left. \begin{array}{ccccccccc} 4x_1&&& -& 3x_3& +& x_4& =& 1 \\ 5x_1& +& x_2&&& -& 8x_4& =& 3 \\ 2x_1& - &5x_2& + &9x_3& -& x_4& =& 0 \\ &&3x_2& - &x_3& +& 7x_4& =& 2\end{array} \right\} \]

2. En cada una de las siguientes, expresar la ecuación matricial como un sistema de ecuaciones lineales.

\[ (a) \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 7 \\ -2& 1 & 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right] ~~~ (b)\left[ \begin{array}{cccc} 3 & -2 & 0&1 \\ 5 & 0 & 2 & -2\\ 3& 1 & 4&7\\ -2&5&1&6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} w \\ x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] \]

3. Supongamos que\(A, B, C, D,\) y\(E\) son matrices sobre\(\mathbb{F}\) que tienen los siguientes tamaños:

\[A {\it{~is~}} 4 \times 5,~~ B {\it{~is~}} 4 \times 5,~~ C {\it{~is~}} 5 \times 2,~~ D {\it{~is~}} 4 \times 2,\]

Determine si se definen las siguientes expresiones de matriz y, para las que se definen, determine el tamaño de la matriz resultante.

\[(a)~ BA ~~~(b)~ AC + D ~~~(c)~ AE + B~~~ (d)~ AB + B~~~ (e)~E(A + B)~~~ (f) E(AC)\]

4. Supongamos que\(A, B, C, D,\) y\(E\) son las siguientes matrices:

\[ A=\left[ \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ -1 & 2 \\ 1&1 \end{array} \right],~ B= \left[ \begin{array}{cc} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{array} \right], ~ C= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 &2 \\ 3 & 1&5 \end{array} \right],\\ D= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 5 &2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3& 2 & 4\end{array} \right], {\it{~and ~}}E= \left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 &3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 4& 1 & 3\end{array} \right]. \]

Determine si se definen las siguientes expresiones de matriz y, para las que se definen, calmente la matriz resultante.

\((a)~ D + E~~ (b)~ D - E~~ (c)~ 5A~~ (d)~ -7C~~ (e)~ 2B - C\\
(f)~ 2E - 2D~~ (g)~ -3(D + 2E)~~ (h)~A - A~~ (i)~ AB~~ (j)~ BA\\
(k)~ (3E)D~~ (l)~ (AB)C ~~(m)~ A(BC)~~ (n)~(4B)C + 2B ~~(o)~ D - 3E\\
(p)~ CA + 2E ~~(q)~ 4E - D ~~(r)~ DD\)

5. Supongamos que\(A, B,\) y\(C\) son las siguientes matrices y que\(a = 4\) y\(b = 7.\)

\[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{array} \right],B = \left[ \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array} \right], {\it{~and~}} C = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{array} \right]. \]

Verificar computacionalmente que
\( (a)~ A + (B + C) = (A + B) + C ~~~(b) ~(AB)C = A(BC)\\
(c)~ (a + b)C = aC + bC ~~~(d)~ a(B - C) = aB - aC\\
(e)~ a(BC) = (aB)C = B(aC) ~~~(f)A(B - C) = AB - AC\\
(g)~ (B + C)A = BA + CA ~~~(h) a(bC) = (ab)C\\
(i)~ B - C = -C + B\)

6. Supongamos que\(A\) es la matriz
\[A=\left[ \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right] \]
Compute\(p(A)\), donde\(p(z)\) viene dada por
\((a)~ p(z) = z - 2 ~~~(b)~ p(z) = 2z^2 - z + 1\\
(c)~ p(z) = z^3 - 2z + 4~~~ (d)~ p(z) = z^2 - 4z + 1\)

7. Deﬁne matrices\(A, B, C, D,\) y\(E\) por

\[ A=\left[ \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right],~ B= \left[ \begin{array}{cc} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{array} \right], ~ C= \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -3 &5 \\ 9 & -1&1 \\ 1&5&4\end{array} \right],\\ D= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 5 &2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3& 2 & 4\end{array} \right], {\it{~and ~}}E= \left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 &3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 4& 1 & 3\end{array} \right]. \]

(a) Factorizar cada matriz en un producto de matrices elementales y una matriz RREF.
b) Encontrar, de ser posible, la factorización LU-de cada matriz.
c) Determinar si cada una de estas matrices es o no invertible y, de ser posible, computar la inversa.

8. Supongamos que\(A, B, C, D,\) y\(E\) son las siguientes matrices:

\( (a)~ 2A^T + C~~~ (b)~ D^T - E^T~~~ (c)~ (D - E)^T\\
(d)~ B^T + 5C^T~~~ (e) ~\frac{1}{2}C^T - \frac{1}{4}A~~~ (f)~ B B^T\\
(g) ~3E^T - 3D^T~~~ (h)~ (2E^T - 3D^T )^T~~~ (i)~ CC^T\\
(j)~ (DA)^T~~~ (k)~ (C^TB)A^T~~~ (l)~ (2D^T - E)A\\
(m)~ (BA^T - 2C)^T~~~ (n)~ B^T (CC^T - A^TA)~~~ (o)~D^TE^T - (ED)^T\\
(p)~ trace(DD^T)~~~ (q)~trace(4E^T - D)~~~ (r)~trace(C^TA^T + 2E^T ) \)

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(n \in \mathbb{Z}_+\) ser un entero positivo y\(a_{i,j} \in \mathbb{F}\) ser escalares para\(i, j = 1, \ldots , n.\) Probar que
las dos declaraciones siguientes son equivalentes:
(a) La solución trivial\(x_1 = \cdots = x_n = 0\) es la única solución al sistema homogéneo de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{ccc} \sum_{k=1}^{n} a_{1,k}x_k & = & 0 \\ & \vdots & \\ \sum_{k=1}^{n} a_{n,k}x_k & = & 0 \end{array} \right\}. \]

b) Para cada elección de escalares\(c_1 , \ldots , c_n \in \mathbb{F},\) hay una solución al sistema de ecuaciones\[ \left. \begin{array}{ccc} \sum_{k=1}^{n} a_{1,k}x_k & = & c_1 \\ & \vdots & \\ \sum_{k=1}^{n} a_{n,k}x_k & = & c_n \end{array} \right\}. \]
2. Dejar\(A\) y\(B\) ser cualquier matriz.
(a) Demostrar que si ambos\(AB\) y\(BA\) están definidos, entonces\(AB\) y\(BA\) son ambas matrices cuadradas.
(b) Demostrar que si\(A\) tiene tamaño\(m \times n\) y\(ABA\) se defina, entonces\(B\) tiene talla\(n \times m.\)
3. Supongamos que\(A\) es una matriz satisfactoria\(A^T A = A.\) Probar que\(A\) es entonces una matriz simétrica y que\(A = A^2 .\)
4. Supongamos que\(A\) es una matriz triangular superior y que\(p(z)\) es cualquier polinomio. Probar o dar un contraejemplo:\(p(A)\) es una matriz triangular superior.

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