1.2: Ejercicios del Capítulo 1

Pregunta\(\PageIndex{1}\)

Para refrescar tus habilidades de multiplicar matriz-vector por favor calcula, a mano, el producto\(A^{T}⁢G⁢A\) en la caja de 3 compartimentos y escribe las 4 ecuaciones en la ecuación vectorial a la que llegamos en el paso (S4):\(A^{T}⁢G⁢A \textbf{⁢x} = \textbf{f}\)

Feedback

La segunda ecuación debe decir

\[\frac{-x_{1}+2x_{2}-x_{3}}{R_{i}}+\frac{x_{2}}{R_{m}} = 0 \label{1.2.1}\]

Pregunta\(\PageIndex{2}\)

Comenzamos nuestra discusión con la 'esperanza' de que un modelo multicompartimental pudiera efectivamente capturar adecuadamente el verdadero potencial de la fibra y los perfiles actuales. Para verificar esto se debe ejecutar fib1.m con valores crecientes de NN hasta que ya no se puedan detectar cambios en los potenciales calculados.

• (a) Por favor ejecute fib1.m con\(N = 8, 16, 32\), y 64. Trazar todos los potenciales en la misma gráfica (use hold), usando diferentes tipos de líneas para cada uno. (Es posible que desee modificar fib1.m para que acepte NN como argumento).

Ahora interpretemos esta convergencia. La observación principal es que la diferencia Ecuación\ ref {1.2.1}, se acerca a una ecuación diferencial. Podemos ver esto al señalar que

\[\mathbb{d}(z) = \frac{l}{N}\]

actúa como un tamaño espacial de 'paso' y ese\(x_{k} \mathbb{d}(z)\) es aproximadamente el valor del verdadero potencial en\((k-1) \mathbb{d}(z)\). En un ligero abuso de notación, denotamos este último

\[x((k-1) \mathbb{d}(z))\]

Aplicando estas convenciones a la Ecuación\ ref {1.2.1} y recordando las definiciones de\(R_{i}\) y\(R_{m}\) vemos que la Ecuación\ ref {1.2.1} convertirse

\[\frac{\pi a^2}{\rho_{i}} \frac{-x(0)+2x(\mathbb{d}(z))-x(2 \mathbb{d}(z))}{\mathbb{d}(z)}+ \frac{2 \pi a \mathbb{d}(z)}{\rho_{m}} x(d(z)) = 0\]

o, después de multiplicar por\(\frac{\rho_{m}}{\pi a \mathbb{d}(z)}\)

\[\frac{a \rho_{m}}{\rho_{i}} \frac{-x(0)+2x(\mathbb{d}(z))-x(2\mathbb{d}(z))}{\mathbb{d}(z^2)}+2x(\mathbb{d}(z)) = 0 \label{1.2.3}\]

Observamos que una ecuación similar se mantiene en cada nodo (guardar los extremos) y que como\(N \rightarrow \infty\) y por lo tanto\(\mathbb{d}(z) \rightarrow 0\) llegamos a

\[\frac{d^2}{dz^2} x(z)-\frac{2\rho_{i}}{a \rho_{m}} x(z) = 0 \label{1.2.4}\]

• b) Con\(\mu \equiv \frac{2\rho_{i}}{a \rho_{m}}\) demostrar que

\[x(z) = \alpha \sinh(\sqrt{2 \mu} z)+\beta \cosh(\sqrt{2 \mu}z) \label{1.2.5}\]

satisface la Ecuación\ ref {1.2.3} independientemente de\(\alpha\) y\(\beta\)

Determinaremos\(\alpha\) y\(\beta\) prestando atención a los extremos de la fibra. En el extremo cercano encontramos

\[\frac{\pi a^2}{\rho_{i}} \frac{x(0)-x(\mathbb{d}(z))}{\mathbb{d}(z)} = i_{0}\]

que, como\(\mathbb{d}(z) \rightarrow 0\) se convierte

\[\frac{d}{dz} x(0) = -\frac{\rho_{i} i_{0}}{\pi a^{2}}\]

En el extremo lejano, interpretamos la condición de que ninguna corriente axial puede dejar el último nodo para significar

\[\frac{d}{dz} x(l) = 0\]

• (c) Sustituir la Ecuación\ ref {1.2.4} en Ecuación\ ref {1.2.5}\(\alpha\) y resolver para\(\beta\) y y escribir la final\(x(⁢z)\).
• (d) Sustituir en\(x\) los\(l, a, \rho_{i}, \rho_{m}\) valores utilizados en fib1.m, trazar la función resultante (usando, por ejemplo, ezplot) y compararla con la gráfica lograda en la parte (a).