3.1: Espacio de Columna

Comenzamos con la interpretación geométrica simple de la multiplicación matriz-vector. A saber, la multiplicación del vector n-por-1\(x\) por la matriz m-por-n\(A\) produce una combinación lineal de las columnas de A. Más precisamente, si\(a_{j}\) denota la columna jésima de A entonces

\[Ax = \begin{pmatrix} {a_{1}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}}\\ {\cdots}\\ {x_{n}} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[= x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n} \nonumber\]

El cuadro que deseo colocar en el ojo de tu mente es que AxaX yace en el subespacio abarcado por las columnas de\(A\). Este subespacio se presenta con tanta frecuencia que nos parece útil distinguirlo con una definición.

Espacio de Columna

El espacio de columna de la matriz m-por-n\(S\) es simplemente el lapso de sus columnas, es decir,\(Ra(S) \equiv \{Sx | x \in \mathbb{R}^{n}\}\) subespacio de\(\mathcal{R}^{m}\) stands para rango en este contexto.La notación\(R_{a}\) significa rango en este contexto.

Ejemplo

Examinemos la matriz:

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

El espacio de columna de esta matriz es:

\[Ra(A) = \{x_{1} \begin{pmatrix} {0}\\ {-1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{3} \begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{4} \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} | x \in \mathbb{R}^{4}\} \nonumber\]

Como la tercera columna es simplemente un múltiplo de la primera, podemos escribir:

\[Ra(A) = \{x_{1} \begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{2} \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}+x_{3} \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} | x \in \mathbb{R}^{3}\} \nonumber\]

Como las tres columnas restantes son linealmente independientes no podemos ir más allá. En este caso,\(Ra(⁢A)\) comprende todos\(\mathbb{R}^{3}\)

Método para encontrar una base

Para determinar la base para\(Ra(⁢A)\) (donde\(A\) es una matriz arbitraria) debemos encontrar la manera de descartar sus columnas dependientes. En el ejemplo anterior, fue fácil ver que las columnas 1 y 3 eran colineales. Buscamos, por supuesto, un medio más sistemático para descubrir estas, y quizás otras menos obvias, dependencias. Tales dependencias se distinguen más fácilmente a partir de la forma de fila reducida. En la reducción del problema anterior, llegamos muy fácilmente a la matriz

\[A_{red} = \begin{pmatrix} {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

Una vez hecho esto, podemos reconocer que la columna pivote son las columnas linealmente independientes de\(A_{red}\). Ahora se pregunta cómo esto podría ayudarnos a distinguir las columnas independientes de A. For, aunque las filas de\(A_{red}\) son combinaciones lineales de las filas de\(A\) prestar atención a los índices de las columnas pivotantes. En nuestro ejemplo, las columnas\(\{1, 2, 4\}\) son las columnas pivotantes\(A_{red}\) y, por lo tanto, las columnas primera, segunda y cuarta de\(A\) i.e.

\[\{\begin{pmatrix} {0}\\ {-1}\\ {0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix}\} \nonumber\]

comprenden una base para\(Ra(A)\):

Definición: Una base para el espacio de columna

Supongamos que\(A\) es m-por-n. Si las columnas\(\{c_{j} | j = 1, \cdots, r\}\) son las columnas pivotantes de\(A_{red}\) entonces\(\{c_{j} | j = 1, \cdots, r\}\) las columnas\(A\) constituyen una base para\(Ra(A)\)