3.2: Espacio nulo

Definición: Null Space

El espacio nulo de una\(n\) matriz\(m\) -by-\(A\) es la colección de aquellos vectores en\(\mathbb{R}^{n}\) que se\(A\) mapea al vector cero en\(\mathbb{R}^m\). Más precisamente,

\[\mathcal{N}(A) = \{x \in \mathbb{R}^n | Ax = 0\} \nonumber\]

Ejemplo de espacio nulo

Como ejemplo, examinamos la matriz\(A\)

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

Es bastante fácil ver que el espacio nulo de esta matriz es:

\[\mathcal{N}(A) = \{t \begin{pmatrix} {1}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} | t \in \mathbb{R}\} \nonumber\]

Esta es una línea en\(\mathbb{R}^{4}\)

El espacio nulo responde a la pregunta de la singularidad de las soluciones a\(S \textbf{x} = \textbf{f}\). Para, si\(S \textbf{x} = \textbf{f}\) y\(S \textbf{y} = \textbf{f}\) entonces\(S(\textbf{x}-\textbf{y}) = S\textbf{x}-S\textbf{y} = \textbf{f}-\textbf{f} = 0\) y así\((\textbf{x}-\textbf{y}) \in \mathcal{N}(S)\). De ahí que una solución a\(S \textbf{x} = \textbf{f}\) sea única si, y sólo si,\(\mathcal{N} ⁢S = \{0\}\)

Método para encontrar la base

Expongamos ahora una base para el espacio nulo de una matriz arbitraria A. Observamos que resolver\(A \textbf{⁢x} = 0\) es resolver\(A_{red} ⁢\textbf{x} = 0\). Con respecto a este último, suponemos que

\[\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\} \nonumber\]

son los índices de las columnas pivotantes y que

\[\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\} \nonumber\]

son los índices de las columnas no pivotantes. En consecuencia, definimos las variables de pivote r

\[\{x_{c_{j}} | j = \{1, \cdots, r\}\} \nonumber\]

y las variables\(n-r\) libres

\[\{x_{c_{j}} | j = \{r+1, \cdots, n\}\} \nonumber\]

Se resuelve\(A_{red} \textbf{x} = 0\) expresando cada una de las variables pivotantes en términos de las variables no pivotantes o libres. En el ejemplo anterior,\(x_{1}, x_{2}\), y\(x_{4}\) son pivotar mientras\(x_{3}\) está libre. Resolviendo para el pivote en términos de lo libre, encontramos\(x_{4} = 0, x_{3} = x_{1}, x_{2} = 0\), o, escrito como vector,

\[\textbf{x} = x_{3} \begin{pmatrix} {1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

donde\(x_{3}\) es gratis. Como\(x_{3}\) rangos sobre todos los números reales, la x anterior traza una línea en\(\mathbb{R}_{4}\). Esta línea es precisamente el espacio nulo de\(A\). Resumiendo estos cálculos llegamos a:

Definición: Una base para el espacio nulo

Supongamos que\(A\) es m-by-n con índices de pivote\(\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\}\) e índices libres\(\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\}\). Una base para se\(\mathcal{N}(A)\) pueden construir\(n-r\) vectores\(\{z^{1}, z^{2}, \cdots,z^{n-r}\}\) donde\(z^{k}\), y solo\(z^k\) posee un distinto de cero en su\(c_{r+k}\) componente.

Una observación de MATLAB

Como es habitual, MATLAB tiene una manera de hacer nuestras vidas más simples. Si ha definido una matriz A y desea encontrar una base para su espacio nulo, simplemente llame a la función null (A). Una pequeña nota sobre esta función: si se agrega una bandera extra, 'r', como en null (A, 'r'), entonces la base se muestra “racionalmente” en lugar de puramente matemáticamente. Las páginas de ayuda de MATLAB definen la diferencia entre los dos modos como el modo racional que es útil pedagógicamente y el modo matemático de más valor (¡jadeo!) matemáticamente.

Reflexiones finales sobre los espacios nulos

Hay mucho más para encontrar espacios nulos; suficiente, de hecho, para garantizar otro módulo. Un aspecto importante y el uso de los espacios nulos es su capacidad para informarnos sobre la singularidad de las soluciones. Si utilizamos el espacio de columna para determinar la existencia de una solución\(\textbf{x}\) a la ecuación\(A \textbf{⁢x} = b\). Una vez que sabemos que existe una solución es una cuestión perfectamente razonable querer saber si esta solución es o no la única solución a este problema. La regla dura y rápida es que una solución\(\textbf{x}\) es única si y solo si el espacio nulo de\(A\) está vacío. Una manera de pensar sobre esto es considerar que si\(A \textbf{x} = 0\) no tiene una solución única entonces, por linealidad, tampoco lo hace\(A \textbf{x} = b\). Por el contrario, si\((Az = 0) \wedge (z \ne 0) \wedge (A \textbf{y} = b)\) entonces\(A(z+\textbf{y}) = b\) también.