3.2: Espacio nulo
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
El espacio nulo de unan matrizm -by-A es la colección de aquellos vectores enRn que seA mapea al vector cero enRm. Más precisamente,
N(A)={x∈Rn|Ax=0}
Ejemplo de espacio nulo
Como ejemplo, examinamos la matrizA
A=(0100−10100001)
Es bastante fácil ver que el espacio nulo de esta matriz es:
N(A)={t(1010)|t∈R}
Esta es una línea enR4
El espacio nulo responde a la pregunta de la singularidad de las soluciones aSx=f. Para, siSx=f ySy=f entoncesS(x−y)=Sx−Sy=f−f=0 y así(x−y)∈N(S). De ahí que una solución aSx=f sea única si, y sólo si,NS={0}
Método para encontrar la base
Expongamos ahora una base para el espacio nulo de una matriz arbitraria A. Observamos que resolverAx=0 es resolverAredx=0. Con respecto a este último, suponemos que
{cj|j={1,⋯,r}}
son los índices de las columnas pivotantes y que
{cj|j={r+1,⋯,n}}
son los índices de las columnas no pivotantes. En consecuencia, definimos las variables de pivote r
{xcj|j={1,⋯,r}}
y las variablesn−r libres
{xcj|j={r+1,⋯,n}}
Se resuelveAredx=0 expresando cada una de las variables pivotantes en términos de las variables no pivotantes o libres. En el ejemplo anterior,x1,x2, yx4 son pivotar mientrasx3 está libre. Resolviendo para el pivote en términos de lo libre, encontramosx4=0,x3=x1,x2=0, o, escrito como vector,
x=x3(1010)
dondex3 es gratis. Comox3 rangos sobre todos los números reales, la x anterior traza una línea enR4. Esta línea es precisamente el espacio nulo deA. Resumiendo estos cálculos llegamos a:
Supongamos queA es m-by-n con índices de pivote{cj|j={1,⋯,r}} e índices libres{cj|j={r+1,⋯,n}}. Una base para seN(A) pueden construirn−r vectores{z1,z2,⋯,zn−r} dondezk, y solozk posee un distinto de cero en sucr+k componente.
Una observación de MATLAB
Como es habitual, MATLAB tiene una manera de hacer nuestras vidas más simples. Si ha definido una matriz A y desea encontrar una base para su espacio nulo, simplemente llame a la función null (A)
. Una pequeña nota sobre esta función: si se agrega una bandera extra, 'r'
, como en null (A, 'r')
, entonces la base se muestra “racionalmente” en lugar de puramente matemáticamente. Las páginas de ayuda de MATLAB definen la diferencia entre los dos modos como el modo racional que es útil pedagógicamente y el modo matemático de más valor (¡jadeo!) matemáticamente.
Reflexiones finales sobre los espacios nulos
Hay mucho más para encontrar espacios nulos; suficiente, de hecho, para garantizar otro módulo. Un aspecto importante y el uso de los espacios nulos es su capacidad para informarnos sobre la singularidad de las soluciones. Si utilizamos el espacio de columna para determinar la existencia de una soluciónx a la ecuaciónAx=b. Una vez que sabemos que existe una solución es una cuestión perfectamente razonable querer saber si esta solución es o no la única solución a este problema. La regla dura y rápida es que una soluciónx es única si y solo si el espacio nulo deA está vacío. Una manera de pensar sobre esto es considerar que siAx=0 no tiene una solución única entonces, por linealidad, tampoco lo haceAx=b. Por el contrario, si(Az=0)∧(z≠0)∧(Ay=b) entoncesA(z+y)=b también.