3.6: Ejercicios- Columnas y Espacios Nulos

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 113102

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Te animo a usar rref y null para lo siguiente.

Agrega una barra transversal diagonal entre los nodos 3 y 2 en la figura de escalera inestable y calcula bases para la columna y espacios nulos de la nueva matriz de adyacencia. Como este travesaño no logra estabilizar la escalera, añadiremos una barra más.
A la escalera de 9 barras de (i) agregue una barra transversal diagonal entre los nodos 1 y el extremo izquierdo de la barra 6. Bases de cómputos para la columna y espacios nulos de la nueva matriz de adyacencia.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Deseamos demostrar eso\(N(A)=N(A^{T}A)\) independientemente de\(A\).

Primero tomamos un ejemplo concreto. Informar los hallazgos de nulo cuando se aplica a\(A\) y\(A^{T}A\) para la\(A\) matriz asociada a la figura de escalera inestable.
Demostrar eso\(N(A) \subseteq N(A^{T}A)\) es decir, que si\(A \textbf{x} = \textbf{0}\) entonces\(A^{T}A \textbf{x} = \textbf{0}\).
Mostrar eso\(N(A^{T}A) \subseteq N(A)\) es decir, que si\(A^{T}A \textbf{x} = \textbf{0}\) entonces\(A \textbf{x} = \textbf{0}\) (Pista: si\(A^{T}A \textbf{x} = \textbf{0}\) entonces\(\textbf{x}^{T} A^{T}A \textbf{x} = \textbf{0}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(A\) es m-by-n y eso\(N(A) = \mathbb{R}^{n}\). Argumentan que\(A\) debe ser la matriz cero.