3.5: Espacio de fila

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El espacio de fila

Como las columnas de\(A^{T}\) son simplemente las filas de\(A\) llamamos\(Ra(A^{T})\) el espacio de filas de\(A^{T}\). Más precisamente

Definición: Espacio de fila

El espacio de filas de la matriz m por n A es simplemente el lapso de sus filas, es decir,

\[Ra(A^{T}) \equiv \{A^{T} \textbf{y} | \textbf{y} \in \mathbb{R}^{m}\} \nonumber\]

Este es un subespacio de\(\mathbb{R}^n\)

Examinemos la matriz:

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

El espacio de filas de esta matriz es:

\[\mathscr{Ra}(A^{T}) = \left \{ y_{1} \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}+y_{2} \begin{pmatrix} {-1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}+y_{3} \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix} | y \in \mathbb{R}^{3} \right \} \nonumber\]

Como estas tres filas son linealmente independientes no podemos ir más allá. “Reconocemos” entonces\(\mathcal{Ra}(A^{T})\) como un subespacio tridimensional de\(\mathbb{R}^{4}\)

Método para encontrar la base del espacio de filas

En cuanto a una base para\(\mathscr{Ra}(A^T)\) recordamos que las filas de\(A_{red}\), la forma de fila reducida de la matriz\(A\), son meramente\(A\) combinaciones lineales de las filas de\(A\) y por lo tanto

\[\mathscr{Ra}(A^T) = \mathscr{Ra}(A_{red}) \nonumber\]

Esto lleva inmediatamente a:

Definición: Una base para el espacio de filas

Supongamos que\(A\) es m-por-n. Las filas de pivote de\(A_{red}\) constituyen una base para\(\mathscr{Ra}⁢(A^{T})\).

Con respecto a nuestro ejemplo,

\[\left \{ \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {-1}\\{0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix} \right \} \nonumber\]

comprende una base para\(\mathscr{Ra}⁢(A^{T})\).