7.4: Ejercicios- Integración Compleja

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Confirmemos la representación de esta ecuación del Teorema de Cauchy en el caso matricial. Más precisamente, si\(\Phi(z) \equiv (zI-B)^{-1}\) es la función de transferencia asociada\(B\) entonces esta ecuación del Teorema de Cauchy establece que

\[\Phi(z)= \sum_{j = 1}^{h} \sum_{k = 1}^{d_{j}} \frac{\Phi_{j,k}}{(z-\lambda_{j})^{k}} \nonumber\]

donde

\[\Phi_{j,k} = \frac{1}{2 \pi i} \int \frac{\Phi(z)}{(z-\lambda_{j})^{k-1}} dz \nonumber\]

Calcula el\(\Phi_{j,k}\) por Ecuación para el\(B\) en esta ecuación a partir de la discusión de Diferenciación Compleja. Confirmar que están de acuerdo con los que aparecen en esta ecuación desde la discusión de Diferenciación Compleja.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice la ecuación inversa de Laplace Transformada para calcular la transformada inversa de Laplace de\(\frac{1}{s^2+2s+2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilizar el resultado del ejercicio anterior para resolver, a través de la transformación de Laplace, la ecuación diferencial

\[\begin{array}{cc} {\frac{d}{dt} (x)(t)+x(t) = e^{-t \sin(t)},}&{x(0) = 0} \end{array} \nonumber\]

Pista: Toma la transformación de Laplace de cada lado.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Explique cómo se llega de\(r_{1}\) y\(p_{1}\) hacia\(x_{1}(t)\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Calcula, como en fib4.m, los residuos de\(\mathscr{L}(x_{2}(s))\)\(\mathscr{L}(x_{3}(s))\) y y confirmar que dan lugar a la\(x_{2}(t)\) y\(x_{3}(t)\) tú derivaste en la discusión del Capítulo 1.1.