Inicio
Matemáticas
Álgebra lineal
Libro: Análisis Matriz (Cox)
7: Análisis Complejo II
7.3: La Transformación Inversa de Laplace- Integración Compleja

7.3: La Transformación Inversa de Laplace- Integración Compleja

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 113008

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

La transformación inversa de Laplace

Si\(q\) es una función racional con polos\(\{\lambda_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}\) entonces la transformada inversa de Laplace de\(q\) es

\[\mathscr{L}^{-1}(q)(t) \equiv \frac{1}{2 \pi i} \int q(z) e^{zt} dz \nonumber\]

donde\(C\) hay una curva que encierra cada uno de los polos de\(q\)

\[\mathscr{L}^{-1}(q)(t) = \sum_{j = 1}^{h} res(\lambda_{j}) \nonumber\]

Pongamos a prueba esta preciosa fórmula. Tomamos nuestros ejemplos de la discusión de la Transformada de Laplace y la Transformada inversa de Laplace. Primero calculemos la transformada inversa de Laplace de

\[q(z) = \frac{1}{(z+1)^2} \nonumber\]

Según la Ecuación es simplemente el residuo de\(q(z)e^{zt}\) at\(z = -1\) i.e.,

\[res(-1) = \lim_{z \rightarrow -1} de^{zt} dz = te^{-t} \nonumber\]

Esto cierra el círculo sobre el ejemplo iniciado en la discusión de la Transformación de Laplace y continuó en el ejercicio uno para el capítulo 6.

Para nuestro siguiente ejemplo recordamos

\[\mathscr{L} (x_{1}(s)) = \frac{0.19(s^2+1.5s+0.27)}{(s+1/6)^{4}(s^3+1.655s^2+0.4978s+0.0039)} \nonumber\]

de la Transformada Inversa de Laplace. Usando numde, sym2poly y residuo, vea fib4.m para más detalles, devoluciones

\[r_{1} = \begin{pmatrix} {0.0029}\\ {262.8394}\\ {-474.1929}\\ {-1.0857}\\ {-9.0930}\\ {-0.3326}\\ {211.3507} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[p_{1} = \begin{pmatrix} {-1.3565}\\ {-0.2885}\\ {-0.1667}\\ {-0.1667}\\ {-0.1667}\\ {-0.1667}\\ {-0.0100} \end{pmatrix} \nonumber\]

Se te pedirá en los ejercicios que demuestres que esto efectivamente conforma con el

\[x_{1}(t) = 211.35e^{\frac{-t}{100}}-(0.0554t^3+4.5464t^2+1.085t+474.19)e^{\frac{-t}{6}}+e^{\frac{-329t}{400}}(262.842 \cosh (\frac{\sqrt{73}t}{16})+262.836 \sinh (\frac{\sqrt{73}t}{16})) \nonumber\]

logrado en la Transformación de Laplace vía ilaplace.