2.1: Aritmética Matricial
- Page ID
- 114690
- Realizar las operaciones matriciales de adición matricial, multiplicación escalar, transposición y multiplicación matricial. Identificar cuándo estas operaciones no están definidas. Representar estas operaciones en términos de las entradas de una matriz.
- Demostrar propiedades algebraicas para adición de matriz, multiplicación escalar, transposición y multiplicación matricial. Aplicar estas propiedades para manipular una expresión algebraica que involucra matrices.
- Calcular la inversa de una matriz usando operaciones de fila, y probar identidades que involucran inversas de matriz.
- Resolver un sistema lineal utilizando álgebra matricial.
- Utilice la multiplicación por una matriz elemental para aplicar operaciones de fila.
- Escribir una matriz como producto de matrices elementales.
Ahora se han resuelto sistemas de ecuaciones escribiéndolos en términos de una matriz aumentada y luego haciendo operaciones de fila sobre esta matriz aumentada. Resulta que las matrices son importantes no sólo para los sistemas de ecuaciones sino también en muchas aplicaciones.
Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números. Varias de ellas son referidas como matrices. Por ejemplo, aquí hay una matriz.
\[\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 2 & 8 & 7 \\ 6 & -9 & 1 & 2 \end{array} \right] \label{matrix}\]
Recordemos que el tamaño o dimensión de una matriz se define como\(m\times n\) donde\(m\) está el número de filas y\(n\) es el número de columnas. La matriz anterior es una\(3\times 4\) matriz porque hay tres filas y cuatro columnas. Puedes recordar que las columnas son como columnas en un templo griego. Se paran erguidas mientras que las hileras yacen planas como hileras hechas por un tractor en un campo arado.
Al especificar el tamaño de una matriz, siempre se enumera el número de filas antes del número de columnas.Quizás recuerde que siempre enumera las filas antes de las columnas usando la frase Fila man C atólica.
Considera la siguiente definición.
Hay alguna notación específica para las matrices que ahora introducimos. Denotamos las columnas de una matriz de\(A\) la\(A_{j}\) siguiente manera
\[A = \left[ \begin{array}{rrrr} A_{1} & A_{2} & \cdots & A_{n} \end{array} \right]\nonumber \]Por lo tanto,\(A_{j}\) es la\(j^{th}\) columna de\(A\), cuando se cuenta de izquierda a derecha.
Los elementos individuales de la matriz se denominan entradas o componentes de\(A\). Los elementos de la matriz se identifican de acuerdo a su posición. La\(\mathbf{\left( i, j \right)}\) -entrada de una matriz es la entrada en la\(i^{th}\) fila y\(j^{th}\) columna. Por ejemplo, en la matriz\(\eqref{matrix}\) anterior,\(8\) está en posición\(\left(2,3 \right)\) (y se llama la\(\left(2,3 \right)\) -entrada) porque está en la segunda fila y en la tercera columna.
Para recordar de qué matriz estamos hablando, denotaremos la entrada en la\(i^{th}\) fila y la\(j^{th}\) columna de matriz\(A\) por\(a_{ij}\). Entonces, podemos escribir\(A\) en términos de sus entradas, como\(A= \left[ a_{ij} \right]\). Usando esta notación en la matriz en\(\eqref{matrix}\),\(a_{23}=8, a_{32}=-9, a_{12}=2,\) etc.
Existen diversas operaciones que se realizan en matrices de tamaños apropiados. Las matrices se pueden sumar y restar de otras matrices, multiplicarse por un escalar y multiplicarse por otras matrices. Nunca dividiremos una matriz por otra matriz, pero veremos más adelante cómo las inversas matriciales juegan un papel similar.
Al hacer aritmética con matrices, a menudo definimos la acción por lo que sucede en términos de las entradas (o componentes) de las matrices. Antes de examinar estas operaciones en profundidad, considere algunas definiciones generales.
Una posible matriz cero se muestra en el siguiente ejemplo.
La matriz\(2\times 3\) cero es\(0= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\).
Tenga en cuenta que hay una matriz\(2\times 3\)\(3\times 4\) cero, una matriz cero, etc. ¡De hecho hay una matriz cero para cada tamaño!
En otras palabras, dos matrices son iguales exactamente cuando tienen el mismo tamaño y las entradas correspondientes son idénticas. Por lo tanto\[\left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \neq \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] porque son de diferentes tamaños. También,\[\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \neq \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array} \right]\nonumber \] porque, aunque son del mismo tamaño, sus entradas correspondientes no son idénticas.
En la siguiente sección, exploramos la adición de matrices.
Adición de Matrices
Al agregar matrices, todas las matrices en la suma necesitan tener el mismo tamaño. Por ejemplo,\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{array} \right]\nonumber \] y\[\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 4 & 8\\ 2 & 8 & 5 \end{array} \right]\nonumber \] no se puede agregar, ya que uno tiene talla\(3 \times 2\) mientras que el otro tiene tamaño\(2 \times 3\).
Sin embargo, la adición\[\left[ \begin{array}{rrr} 4 & 6 & 3\\ 5 & 0 & 4\\ 11 & -2 & 3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 5 & 0 \\ 4 & -4 & 14 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right]\nonumber \] es posible.
La definición formal es la siguiente.
Esta definición nos dice que al agregar matrices, simplemente agregamos las entradas correspondientes de las matrices. Esto se demuestra en el siguiente ejemplo.
Agregar las siguientes matrices, si es posible. \[A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 5 & 2 & 3 \\ -6 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Observe que ambos\(A\) y\(B\) son de tamaño\(2 \times 3\). Ya que\(A\) y\(B\) son del mismo tamaño, la adición es posible. Usando Definición\(\PageIndex{4}\), la adición se realiza de la siguiente manera. \[A + B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} 5 & 2 & 3 \\ -6 & 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1+5 & 2+2 & 3+3 \\ 1+ -6 & 0+2 & 4+1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 6 & 4 & 6 \\ -5 & 2 & 5 \end{array} \right]\nonumber \]
La adición de matrices obedece en gran medida a las mismas propiedades que la suma normal con números. Tenga en cuenta que cuando escribimos por ejemplo\(A+B\) entonces asumimos que ambas matrices son de igual tamaño para que la operación sea efectivamente posible.
Dejar\(A,B\) y\(C\) ser matrices. Entonces, se mantienen las siguientes propiedades.
- Ley Conmutativa de Adición\[A+B=B+A \label{mat1}\]
- Ley Asociativa de Adición\[\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \label{mat2}\]
- Existencia de una Identidad Aditiva\[\begin{array}{c} \mbox{There exists a zero matrix 0 such that}\\ A+0=A \label{mat3} \end{array}\]
- Existencia de una inversa aditiva\[\begin{array}{c} \mbox{There exists a matrix $-A$ such that} \\ A+\left( -A\right) =0 \label{mat4} \end{array}\]
- Prueba
-
Considerar la Ley Conmutativa de Adición dada en\(\eqref{mat1}\). Dejemos\(A,B,C,\) y\(D\) sean matrices tales que\(A+B=C\) y\(B+A=D.\) queremos demostrarlo\(D=C\). Para ello, utilizaremos la definición de adición matricial dada en Definición\(\PageIndex{4}\). Ahora,\[c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}=d_{ij}\nonumber \] Por lo tanto,\(C=D\) porque las\(ij^{th}\) entradas son las mismas para todos\(i\) y\(j\). Obsérvese que la conclusión se desprende de la ley conmutativa de suma de números, que dice que si\(a\) y\(b\) son dos números, entonces\(a+b = b+a\). La prueba de los otros resultados son similares, y se dejan como ejercicio.
Llamamos a la matriz cero en\(\eqref{mat3}\) la identidad aditiva. De igual manera, llamamos a la matriz\(-A\) en\(\eqref{mat4}\) la inversa aditiva. \(-A\)se define igual\(\left( -1\right) A = [-a_{ij}].\) En otras palabras, cada entrada de\(A\) se multiplica por\(-1\).
En la siguiente sección estudiaremos la multiplicación escalar con mayor profundidad para entender qué se entiende por\(\left( -1\right) A.\)
Multiplicación Escalar de Matrices
Recordemos que usamos la palabra escalar cuando nos referimos a números. Por lo tanto, la multiplicación escalar de una matriz es la multiplicación de una matriz por un número. Para ilustrar este concepto, considere el siguiente ejemplo en el que una matriz se multiplica por el escalar\(3\). \[3\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 2 & 8 & 7 \\ 6 & -9 & 1 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 6 & 9 & 12 \\ 15 & 6 & 24 & 21 \\ 18 & -27 & 3 & 6 \end{array} \right]\nonumber \]
La nueva matriz se obtiene multiplicando cada entrada de la matriz original por el escalar dado.
La definición formal de multiplicación escalar es la siguiente.
Si\(A=\left[ a_{ij}\right]\) y\(k\) es un escalar, entonces\(kA=\left[ ka_{ij}\right] .\)
Considera el siguiente ejemplo.
Encuentra el resultado de multiplicar la siguiente matriz\(A\) por\(7\). \[A=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & -4 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Por Definición\(\PageIndex{5}\), multiplicamos cada elemento de\(A\) por\(7\). Por lo tanto,\[7A = 7\left[ \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & -4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7(2) & 7(0) \\ 7(1) & 7(-4) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 14 & 0 \\ 7 & -28 \end{array} \right]\nonumber \]
De manera similar a la adición de matrices, existen varias propiedades de multiplicación escalar que se mantienen.
\(A, B\)Dejen ser matrices, y\(k, p\) sean escalares. Entonces, se mantienen las siguientes propiedades.
- Ley Distributiva sobre Adición Matricial\[k \left( A+B\right) =k A+ kB\nonumber \]
- Ley Distributiva sobre Adición Escalar\[\left( k +p \right) A= k A+p A\nonumber \]
- Ley Asociativa para la Multiplicación Escalar\[k \left( p A\right) = \left( k p \right) A\nonumber \]
- Regla para la multiplicación por\(1\)\[1A=A\nonumber \]
- Prueba
-
La prueba de esta proposición es similar a la prueba de Proposición\(\PageIndex{1}\) y se deja un ejercicio al lector.