2.2: Multiplicación de Matrices
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La siguiente operación matricial importante que exploraremos es la multiplicación de matrices. La operación de multiplicación matricial es una de las operaciones de matriz más importantes y útiles. A lo largo de esta sección, también demostraremos cómo la multiplicación matricial se relaciona con los sistemas lineales de ecuaciones.
Primero, proporcionamos una definición formal de vectores de fila y columna.
Matrices de tamaño\(n\times 1\) o\(1\times n\) se denominan vectores. Si\(X\) es tal matriz, entonces escribimos\(x_{i}\) para denotar la entrada de\(X\) en la\(i^{th}\) fila de una matriz de columnas, o la\(i^{th}\) columna de una matriz de filas.
La\(n\times 1\) matriz\[X=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] se denomina vector de columna. La\(1\times n\) matriz\[X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] se llama vector de fila.
Podemos simplemente usar el término vector a lo largo de este texto para hacer referencia a un vector de columna o fila. Si lo hacemos, el contexto dejará claro a qué nos referimos.
En este capítulo, volveremos a utilizar la noción de combinación lineal de vectores como en la Definición 9.2.2. En este contexto, una combinación lineal es una suma que consiste en vectores multiplicados por escalares. Por ejemplo,\[\left[ \begin{array}{r} 50 \\ 122 \end{array} \right] = 7\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \right]\nonumber \] es una combinación lineal de tres vectores.
Resulta que podemos expresar cualquier sistema de ecuaciones lineales como una combinación lineal de vectores. De hecho, ¡los vectores que usaremos son solo las columnas de la matriz aumentada correspondiente!
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones dado por\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] Podemos expresar este sistema en forma vectorial que es el siguiente:\[x_1 \left[ \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_2 \left[ \begin{array}{c} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] + \cdots + x_n \left[ \begin{array}{c} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right]\nonumber \]
Observe que cada vector utilizado aquí es una columna de la matriz aumentada correspondiente. Hay un vector para cada variable en el sistema, junto con el vector constante.
La primera forma importante de multiplicación matricial es multiplicar una matriz por un vector. Considera el producto dado por Pronto\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \right]\nonumber \] veremos que esto equivale a\[7\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 50 \\ 122 \end{array} \right]\nonumber \]
En términos generales,\[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] &= \ x_{1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right] +x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \end{array} \right] +x_{3}\left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3} \end{array} \right] \end{aligned}\] Así tomas\(x_{1}\) veces la primera columna, agregas a\(x_{2}\) veces la segunda columna, y finalmente\(x_{3}\) multiplicas la tercera columna. La suma anterior es una combinación lineal de las columnas de la matriz. Cuando multiplica una matriz a la izquierda por un vector a la derecha, los números que componen el vector son solo los escalares que se utilizarán en la combinación lineal de las columnas como se ilustra anteriormente.
Aquí está la definición formal de cómo multiplicar una\(m\times n\) matriz por un vector de\(n\times 1\) columna.
Dejar\(A=\left[ a_{ij} \right]\) ser una\(m\times n\) matriz y dejar\(X\) ser una\(n\times 1\) matriz dada por\[A=\left[ A_{1} \cdots A_{n}\right], X = \left[ \begin{array}{r} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \]
Entonces el producto\(AX\) es el vector de\(m\times 1\) columna que equivale a la siguiente combinación lineal de las columnas de\(A\):\[x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots +x_{n}A_{n} = \sum_{j=1}^{n}x_{j}A_{j}\nonumber \]
Si escribimos las columnas de\(A\) en cuanto a sus entradas, son de la forma\[A_{j} = \left[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right]\nonumber \] Entonces, podemos escribir el producto\(AX\) como\[AX = x_{1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] +\cdots + x_{n}\left[ \begin{array}{c} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right]\nonumber \]
Obsérvese que la multiplicación de una\(m \times n\) matriz y un\(n \times 1\) vector produce un\(m \times 1\) vector.
Aquí hay un ejemplo.
Calcular el producto\(AX\) para\[A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \end{array} \right], X = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Usaremos Definición\(\PageIndex{3}\) para calcular el producto. Por lo tanto, calculamos el producto de la\(AX\) siguiente manera. \[\begin{aligned} & 1\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + 2\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] + 0\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] + 1 \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 8 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right]\end{aligned}\]
Usando la operación anterior, también podemos escribir un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz. De esta forma, expresamos el sistema como una matriz multiplicada por un vector. Considera la siguiente definición.
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones dado por\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] Entonces podemos expresar este sistema en forma de matriz de la siguiente manera. \[\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right]\nonumber \]
La expresión también\(AX=B\) se conoce como la Forma Matriz del sistema correspondiente de ecuaciones lineales. La matriz\(A\) es simplemente la matriz de coeficientes del sistema, el vector\(X\) es el vector de columna construido a partir de las variables del sistema, y finalmente el vector\(B\) es el vector de columna construido a partir de las constantes del sistema. Es importante señalar que cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en esta forma.
Observe que si escribimos un sistema homogéneo de ecuaciones en forma de matriz, tendría la forma\(AX=0\), para el vector cero\(0\).
Se puede ver a partir de esta definición que un vector\[X = \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] satisfará la ecuación\(AX=B\) sólo cuando las entradas\(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) del vector\(X\) sean soluciones al sistema original.
Ahora que hemos examinado cómo multiplicar una matriz por un vector, deseamos considerar el caso donde multiplicamos dos matrices de tamaños más generales, aunque estos tamaños aún necesitan ser apropiados como veremos. Por ejemplo, en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), multiplicamos una\(3 \times 4\) matriz por un\(4 \times 1\) vector. Queremos investigar cómo multiplicar otros tamaños de matrices.
¡Aún no hemos dado ninguna condición sobre cuándo es posible la multiplicación matricial! Para matrices\(A\) y\(B\), para formar el producto\(AB\), el número de columnas de\(A\) debe ser igual al número de filas de\(B.\) Considera un producto\(AB\) donde\(A\) tiene tamaño\(m\times n\) y\(B\) tiene tamaño\(n \times p\). Entonces, el producto en términos de tamaño de matrices viene dado por\[(m\times\overset{\text{these must match!}}{\widehat{n)\;(n}\times p})=m\times p\nonumber \]
Tenga en cuenta que los dos números externos dan el tamaño del producto. Una de las reglas más importantes respecto a la multiplicación matricial es la siguiente. Si los dos números del medio no coinciden, ¡no se pueden multiplicar las matrices!
Cuando el número de columnas de\(A\) iguales se dice que el número de filas de\(B\) las dos matrices es conformable y el producto\(AB\) se obtiene de la siguiente manera.
Dejar\(A\) ser una\(m\times n\) matriz y dejar\(B\) ser una\(n\times p\) matriz de la forma\[B=\left[ B_{1} \cdots B_{p}\right]\nonumber \] donde\(B_{1},...,B_{p}\) están las\(n\times 1\) columnas de\(B\). Entonces la\(m\times p\) matriz\(AB\) se define de la siguiente manera:\[AB = A \left[ B_{1} \cdots B_{p}\right] = \left[ (A B)_{1} \cdots (AB)_{p}\right]\nonumber \] donde\((AB)_{k}\) es una\(m\times 1\) matriz o vector de columna que da la\(k^{th}\) columna de\(AB\).
Considera el siguiente ejemplo.
Encuentra\(AB\) si es posible. \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Lo primero que debes verificar al calcular un producto es si la multiplicación es posible. La primera matriz tiene tamaño\(2\times 3\) y la segunda matriz tiene tamaño\(3\times 3\). Los números internos son iguales, entonces\(A\) y\(B\) son matrices conformables. De acuerdo con la discusión anterior\(AB\) será una\(2\times 3\) matriz. \(\PageIndex{5}\)La definición nos da una manera de calcular cada columna de\(AB\), de la siguiente manera.
\[\left[ \overset{ \text{First column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Second column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Third column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] }}\right]\nonumber \]Se sabe multiplicar una matriz por un vector, usando Definición\(\PageIndex{3}\) para cada una de las tres columnas. Así\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right] = \ \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 9 & 3 \\ -2 & 7 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]
Dado que los vectores son simples\(n \times 1\) o\(1 \times m\) matrices, también podemos multiplicar un vector por otro vector.
Multiplicar si es posible\(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] .\)
Solución
En este caso estamos multiplicando una matriz de tamaño\(3 \times 1\) por una matriz de tamaño\(1 \times 4.\) Los números interiores coinciden por lo que se define el producto. Tenga en cuenta que el producto será una matriz de tamaño\(3 \times 4\). Usando Definición\(\PageIndex{5}\), podemos calcular este producto de la siguiente manera\(\: \)\[\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \overset{ \text{First column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Second column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Third column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }}, \overset {\text{Fourth column}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \end{array} \right]}} \right]\nonumber \]
Puedes usar Definition\(\PageIndex{3}\) para verificar que este producto es\[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Encuentra\(BA\) si es posible. \[B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Primero verifica si es posible. Este producto es de la forma\(\left( 3\times 3\right) \left( 2\times 3\right) .\) Los números interiores no coinciden y así no puedes hacer esta multiplicación.
En este caso, decimos que la multiplicación no está definida. Observe que estas son las mismas matrices que usamos en Ejemplo\(\PageIndex{2}\). En este ejemplo, intentamos calcular\(BA\) en lugar de\(AB\). Esto demuestra otra propiedad de la multiplicación matricial. Si bien el producto\(AB\) tal vez esté definido, no podemos asumir que el producto\(BA\) será posible. Por lo tanto, es importante verificar siempre que el producto esté definido antes de realizar cualquier cálculo.
Anteriormente, definimos la matriz\(0\) cero como la matriz (de tamaño apropiado) que contiene ceros en todas las entradas. Considera el siguiente ejemplo para multiplicar por la matriz cero.
Calcular el producto\(A0\) para la matriz\[A= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\nonumber \] y la matriz\(2 \times 2\) cero dada por\[0= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
En este producto, calculamos\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
De ahí,\(A0=0\).
Observe que también podríamos multiplicar\(A\) por el vector\(2 \times 1\) cero dado por\(\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right]\). El resultado sería el vector\(2 \times 1\) cero. Por lo tanto, siempre es el caso que\(A0=0\), para una matriz o vector cero de tamaño apropiado.