2.9: Más sobre Matrix Inversa
- Page ID
- 114649
En esta sección, probaremos tres teoremas que aclararán el concepto de inversión matricial. Para ello, primero recordamos algunas propiedades importantes de las matrices elementales.
Recordemos que una matriz elemental es una matriz cuadrada obtenida mediante la realización de una operación elemental sobre una matriz de identidad. Cada matriz elemental es invertible, y su inversa es también una matriz elemental. Si\(E\) es una matriz\(m \times m\) elemental y\(A\) es una\(m \times n\) matriz, entonces el producto\(EA\) es el resultado de aplicar a\(A\) la misma operación de fila elemental que se aplicó a la matriz de\(m \times m\) identidad para obtener\(E\).
Dejar\(R\) ser la forma reducida fila-escalón de una\(m \times n\) matriz\(A\). \(R\)se obtiene aplicando iterativamente una secuencia de operaciones de fila elemental a\(A\). Denotar por\(E_1, E_2, \cdots, E_k\) las matrices elementales asociadas a las operaciones de fila elemental las cuales se aplicaron, con el fin, a la matriz\(A\) para obtener el resultado\(R\). Entonces tenemos eso\(R = \left( E_k \cdots \left( E_2 \left( E_1A \right) \right)\right) = E_k \cdots E_2E_1A\). Vamos a\(E\) denotar la matriz del producto\(E_k \cdots E_2E_1\) para que podamos escribir\(R=EA\) donde\(E\) está una matriz invertible cuya inversa es el producto\((E_1)^{-1}(E_2)^{-1} \cdots (E_k)^{-1}\).
Ahora, consideraremos algunos lemmas preliminares.
Supongamos que\(A\) y\(B\) son matrices tales que el producto\(AB\) es una matriz de identidad. Entonces la forma de fila-escalón reducida de\(A\) no tiene fila de ceros.
- Prueba
-
Dejar\(R\) ser la forma de fila-escalón reducido de\(A\). Entonces\(R=EA\) para alguna matriz cuadrada invertible\(E\) como se describió anteriormente. Por hipótesis\(AB=I\) donde\(I\) está una matriz de identidad, entonces tenemos una cadena de igualdades\[R(BE^{-1}) = (EA)(BE^{-1}) = E(AB)E^{-1} = EIE^{-1} = EE^{-1} = I\nonumber \] Si\(R\) tendría una fila de ceros, entonces también lo haría el producto\(R(BE^{-1})\). Pero como la matriz de identidad\(I\) no tiene fila de ceros, tampoco puede\(R\) tener una.
Consideramos ahora un segundo lema importante.
Supongamos que\(A\) y\(B\) son matrices tales que el producto\(AB\) es una matriz de identidad. Entonces\(A\) tiene por lo menos tantas columnas como filas.
- Prueba
-
Dejar\(R\) ser la forma de fila-escalón reducido de\(A\). Por Lemma\(\PageIndex{1}\), sabemos que\(R\) no tiene fila de ceros, y por lo tanto cada fila de\(R\) tiene un líder\(1\). Dado que cada columna de\(R\) contiene como máximo una de estas\(1\) s principales,\(R\) debe tener al menos tantas columnas como filas.
De este lema se desprende un teorema importante.
Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles.
- Prueba
-
Supongamos que\(A\) y\(B\) son matrices tales que tanto los productos\(AB\) como\(BA\) son matrices de identidad. Eso lo demostraremos\(A\) y\(B\) deben ser matrices cuadradas del mismo tamaño. Deja que la matriz\(A\) tenga\(m\) filas y\(n\) columnas, así que esa\(A\) es una\(m \times n\) matriz. Dado que el producto\(AB\) existe,\(B\) debe tener\(n\) filas, y como el producto\(BA\) existe,\(B\) debe tener\(m\) columnas para que\(B\) sea una\(n \times m\) matriz. Para terminar la prueba, solo necesitamos verificarlo\(m=n\).
Primero aplicamos Lema\(\PageIndex{2}\) con\(A\) y\(B\), para obtener la desigualdad\(m \leq n\). Luego aplicamos Lema\(\PageIndex{2}\) nuevamente (cambiando el orden de las matrices), para obtener la desigualdad\(n \leq m\). De ello se deduce\(m=n\), como queríamos.
Por supuesto, no todas las matrices cuadradas son invertibles. En particular, las matrices cero no son invertibles, junto con muchas otras matrices cuadradas.
La siguiente proposición será útil para probar el siguiente teorema.
Si\(R\) es la forma fila-escalón reducida de una matriz cuadrada, entonces o bien\(R\) tiene una fila de ceros o\(R\) es una matriz de identidad.
La prueba de esta proposición se deja como un ejercicio al lector. Consideramos ahora el segundo teorema importante de esta sección.
Supongamos\(A\) y\(B\) son matrices cuadradas tales que\(AB=I\) donde\(I\) es una matriz de identidad. Entonces se deduce eso\(BA=I\). Además, ambos\(A\) y\(B\) son invertibles y\(B=A^{-1}\) y\(A=B^{-1}\).
- Prueba
-
Dejar\(R\) ser la forma reducida fila-escalón de una matriz cuadrada\(A\). Entonces,\(R=EA\) donde\(E\) está una matriz invertible. Ya que\(AB=I\), Lemma nos\(\PageIndex{1}\) da que\(R\) no tiene fila de ceros. Al señalar que\(R\) es una matriz cuadrada y aplicar Proposición\(\PageIndex{1}\), lo vemos\(R=I\). De ahí,\(EA=I\).
Usando tanto eso\(EA=I\) como\(AB=I\), podemos terminar la prueba con una cadena de igualdades según lo dado por\[\begin{aligned} BA = IBIA &= (EA)B(E^{-1}E)A \\ &= E(AB)E^{-1}(EA) \\ &= EIE^{-1}I \\ &= EE^{-1} = I\end{aligned}\]
Se desprende de la definición de lo inverso de una matriz que\(B=A^{-1}\) y\(A=B^{-1}\).
Este teorema es muy útil, ya que con él sólo necesitamos probar uno de los productos\(AB\) o con el\(BA\) fin de comprobar que\(B\) es la inversa de\(A\). La hipótesis de que\(A\) y\(B\) son matrices cuadradas es muy importante, y sin esto el teorema no se sostiene.
Consideraremos ahora un ejemplo.
Vamos a\[A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right],\nonumber \] mostrar eso\(A^{T}A = I\) pero\(AA^{T} \neq 0\).
Solución
Considerar el producto\(A^{T}A\) dado por\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\] Therefore\(A^{T}A = I_2\),, donde\(I_2\) esta la matriz de\(2 \times 2\) identidad. Sin embargo, el producto\(AA^{T}\) es\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\] Por lo tanto, no\(AA^{T}\) es la matriz de\(3 \times 3\) identidad. Esto demuestra que para el Teorema\(\PageIndex{2}\), es esencial que ambas matrices sean cuadradas y del mismo tamaño.
¿Es posible tener matrices\(A\) y\(B\) tal que\(AB=I\), mientras\(BA=0\)? Esta pregunta se deja al lector para que responda, y deberías tomarte un momento para considerar la respuesta.
Concluimos esta sección con un teorema importante.
Para cualquier matriz\(A\) las siguientes condiciones son equivalentes:
- \(A\)es invertible
- La forma de escalón de fila reducida de\(A\) es una matriz de identidad
- Prueba
-
Para demostrarlo, demostramos que para cualquier matriz dada\(A\), cada condición implica la otra. Primero mostramos que si\(A\) es invertible, entonces su forma reducida de fila-escalón es una matriz de identidad, entonces mostramos que si la forma fila-escalón reducida de\(A\) es una matriz de identidad, entonces\(A\) es invertible.
Si\(A\) es invertible, hay alguna matriz\(B\) tal que\(AB = I\). Por Lemma\(\PageIndex{1}\), conseguimos que el de\(A\) no tenga fila de ceros. Entonces por teorema\(\PageIndex{1}\), se deduce que\(A\) y la forma fila-escalón reducida de\(A\) son matrices cuadradas. Finalmente, por Proposición\(\PageIndex{1}\), esta forma reducida de fila-escalón de\(A\) debe ser una matriz de identidad. Esto prueba la primera implicación.
Ahora supongamos que la forma reducida fila-escalón de\(A\) es una matriz de identidad\(I\). Entonces\(I=EA\) para algún producto\(E\) de matrices elementales. Por teorema\(\PageIndex{2}\), podemos concluir que\(A\) es invertible.
El teorema\(\PageIndex{3}\) corresponde al Algoritmo 2.7.1, el cual afirma que\(A^{-1}\) se encuentra por fila reduciendo la matriz aumentada\(\left[ A|I\right]\) a la forma\(\left[ I|A^{-1}\right]\). Este será un producto matricial\(E\left[ A|I\right]\) donde\(E\) es un producto de matrices elementales. Por las reglas de la multiplicación matricial, tenemos eso\(E\left[ A|I\right] = \left[ EA|EI\right] = \left[ EA|E\right]\).
De ello se deduce que la forma reducida fila-escalón de\(\left[ A|I\right]\) es\(\left[ EA|E\right]\), donde\(EA\) da la forma de fila-escalón reducida de\(A\). Por teorema\(\PageIndex{3}\), si\(EA \neq I\), entonces no\(A\) es invertible, y si\(EA=I\),\(A\) es invertible. Si\(EA=I\), entonces por teorema\(\PageIndex{2}\),\(E=A^{-1}\). Esto demuestra que el algoritmo 2.7.1 de hecho encuentra\(A^{-1}\).