2.8: Matrices Elementales

Ahora dirigimos nuestra atención a un tipo especial de matriz llamada matriz elemental. Una matriz elemental es siempre una matriz cuadrada. Recordemos las operaciones de fila dadas en la Definición 1.3.2. Cualquier matriz elemental, que a menudo denotamos por$E$, se obtiene aplicando una operación de fila a la matriz de identidad del mismo tamaño.

Por ejemplo, la matriz $$E = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$ es la matriz elemental obtenida al cambiar las dos filas. La matriz $$E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ es la matriz elemental obtenida de multiplicar la segunda fila de la matriz de$3 \times 3$ identidad por$3$. La matriz $$E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ es la matriz elemental obtenida de sumar$-3$ veces la primera fila a la tercera fila.

Puede construir una matriz elemental a partir de cualquier operación de fila, pero recuerde que solo puede aplicar una operación.

Considera la siguiente definición.

Definición$\PageIndex{1}$: Elementary Matrices and Row Operations

$E$Déjese ser una$n \times n$ matriz. Entonces$E$ es una matriz elemental si es el resultado de aplicar una operación de fila a la matriz de$n \times n$ identidad$I_n$.

Aquellos que implican cambiar filas de la matriz de identidad se denominan matrices de permutación.

Por lo tanto,$E$ construido anteriormente cambiando las dos filas de$I_2$ se llama una matriz de permutación.

Las matrices elementales se pueden utilizar en lugar de operaciones de fila y, por lo tanto, son muy útiles. Resulta que multiplicar (en el lado izquierdo) por una matriz elemental$E$ tendrá el mismo efecto que hacer la operación de fila utilizada para obtener$E$.

El siguiente teorema es un resultado importante que utilizaremos a lo largo de este texto.

Teorema$\PageIndex{1}$: Multiplication by an Elementary Matrix and Row Operations

Para realizar cualquiera de las operaciones de tres filas en una matriz$A$ basta con tomar el producto$EA$, donde$E$ se obtiene la matriz elemental mediante el uso de la operación de fila deseada en la matriz de identidad.

Por lo tanto, en lugar de realizar operaciones de fila en una matriz$A$, podemos reducir filas a través de la multiplicación de matriz con la matriz elemental apropiada. Examinaremos este teorema en detalle para cada una de las tres operaciones de fila dadas en la Definición 1.3.2.

En primer lugar, considere el siguiente lema.

Lema$\PageIndex{1}$: Action of Permutation Matrix

Let$P^{ij}$ denotar la matriz elemental que implica cambiar el$i^{th}$ y las$j^{th}$ filas. Entonces$P^{ij}$ es una matriz de permutación y de $$P^{ij}A=B\nonumber$$ donde$B$ se obtiene$A$ conmutando las filas$i^{th}$ y las$j^{th}$ filas.

Exploraremos más esta idea en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Switching Rows with an Elementary Matrix

Let $$P^{12} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ g & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Encuentra$B$ dónde$B = P^{12}A$.

Solución

Se puede ver que la matriz$P^{12}$ se obtiene cambiando la primera y segunda filas de la matriz de$3 \times 3$ identidad$I$.

Usando nuestro procedimiento habitual, compute el producto$P^{12}A = B$. El resultado viene dado por

$$B =\left[ \begin{array}{cc} g & d \\ a & b \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Observe que$B$ es la matriz obtenida al conmutar filas$1$ y$2$ de$A$. Por lo tanto multiplicando$A$ por$P^{12}$, la operación de fila a la que se aplicó$I$ para obtener$P^{12}$ se aplica$A$ para obtener$B$.

El teorema$\PageIndex{1}$ se aplica a las tres operaciones de fila, y ahora miramos la operación de fila de multiplicar una fila por un escalar. Considera el siguiente lema.

Lema$\PageIndex{2}$: Multiplication by a Scalar and Elementary Matrices

Dejar$E\left( k,i\right)$ denotar la matriz elemental correspondiente a la operación de fila en la que la$i^{th}$ fila se multiplica por el escalar distinto de cero,$k.$ Entonces

$$E\left( k,i\right) A=B \nonumber$$

donde$B$ se obtiene$A$ multiplicando la$i^{th}$ fila de$A$ por$k$.

Exploraremos este lema más a fondo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Multiplication of a Row by 5 Using Elementary Matrix

Let

$$E \left(5, 2\right) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Encuentra la matriz$B$ donde$B = E \left(5, 2\right)A$

Solución

Se puede ver que$E \left(5, 2\right)$ se obtiene multiplicando la segunda fila de la matriz de identidad por$5$.

Utilizando nuestro procedimiento habitual para la multiplicación de matrices, podemos calcular el producto$E \left(5, 2\right)A$. La matriz resultante viene dada por

$$B =\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 5c & 5d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Observe que$B$ se obtiene multiplicando la segunda fila de$A$ por el escalar$5$.

Hay una última operación de fila a considerar. El siguiente lema analiza la operación final de agregar un múltiplo de una fila a otra fila.

Lema$\PageIndex{3}$: Adding Multiples of Rows and Elementary Matrices

Dejar$E\left( k \times i+j\right)$ denotar la matriz elemental$I$ obtenida de sumando$k$ veces la$i^{th}$ fila a la$j^{th}$. Entonces

$$E\left( k \times i+j\right) A=B\nonumber$$

donde$B$ se obtiene$A$ sumando$k$ veces la$i^{th}$ fila a la$j^{th}$ fila de$A.$

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Adding Two Times the First Row to the Last

Let

$$E\left( 2 \times 1+3\right) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \end{array} \right] \nonumber$$

Encuentra$B$ dónde$B = E\left( 2 \times 1+3\right)A$.

Solución

Se puede ver que la matriz$E\left( 2 \times 1+3\right)$ se obtuvo sumando$2$ veces la primera fila de$I$ a la tercera fila de$I$.

Usando nuestro procedimiento habitual, podemos calcular el producto$E\left( 2 \times 1+3\right)A$. La matriz resultante$B$ viene dada por $$B = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ 2a+e & 2b+f \end{array} \right] \nonumber$$

Se puede ver que$B$ es la matriz obtenida al sumar$2$ veces la primera fila de$A$ a la tercera fila.

Supongamos que hemos aplicado una operación de fila a una matriz$A$. Considere la operación de fila requerida para volver$A$ a su forma original, para deshacer la operación de fila. Resulta que esta acción es como encontramos la inversa de una matriz elemental$E$.

Considera el siguiente teorema.

Teorema$\PageIndex{2}$: Elementary Matrices and Inverses

Cada matriz elemental es invertible y su inversa es también una matriz elemental.

De hecho, la inversa de una matriz elemental se construye haciendo la operación de fila inversa en$I$. $E^{-1}$se obtendrá realizando la operación de fila que se llevaría de$E$ nuevo a$I$.

• Si$E$ se obtiene conmutando filas$i$ y$j$, entonces también$E^{-1}$ se obtiene conmutando filas$i$ y$j$.
• Si$E$ se obtiene multiplicando fila$i$ por el escalar$k$, entonces$E^{-1}$ se obtiene multiplicando fila$i$ por el escalar$\frac{1}{k}$.
• Si$E$ se obtiene sumando$k$ tiempos fila$i$ a fila$j$, entonces$E^{-1}$ se obtiene restando$k$ tiempos fila$i$ de fila$j$.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Inverse of an Elementary Matrix

Let $$E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Encuentra$E^{-1}$.

Solución

Considere la matriz elemental$E$ dada por

$$E = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Aquí,$E$ se obtiene de la matriz de$2 \times 2$ identidad multiplicando la segunda fila por$2$. Para poder llevar de$E$ nuevo a la identidad, necesitamos multiplicar la segunda fila de$E$ por$\frac{1}{2}$. Por lo tanto,

$E^{-1}$está dado por $$E^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \nonumber$$

Eso lo podemos verificar$EE^{-1}=I$. Tome el producto$EE^{-1}$, dado por

$$EE^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

Esto es igual$I$ para que sepamos que tenemos cómputos$E^{-1}$ correctamente.

Supongamos que una$m \times n$ matriz$A$ es fila reducida a su forma reducida de fila-escalón. Al rastrear cada operación de fila completada, esta reducción de fila se puede completar a través de la multiplicación por matrices elementales.

Considera la siguiente definición.

Definición$\PageIndex{2}$: The Form $B=UA$

Dejar$A$ ser una$m \times n$ matriz y dejar$B$ ser la forma fila-escalón reducida de$A$. Entonces podemos escribir$B = UA$ dónde$U$ está el producto de todas las matrices elementales que representan las operaciones de fila hechas$A$ para obtener$B$.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: The Form $B=UA$

Vamos$A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right]$. Encuentra$B$, la forma reducida fila-escalón de$A$ y escríbala en el formulario$B=UA$.

Solución

Para encontrar$B$, reducir la fila$A$. Para cada paso, registraremos la matriz elemental apropiada. Primero, cambiar filas$1$ y$2$.

$$\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

La matriz resultante equivale a encontrar el producto de$P^{12} =\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ y$A$.

A continuación, agregue$(-2)$ tiempos fila$1$ a fila$3$.

$$\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Esto equivale a multiplicar por la matriz$E(-2 \times 1 + 3) = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right]$. Observe que la matriz resultante es$B$, la forma de fila-escalón reducida requerida de$A$.

Entonces podemos escribir

$$\begin{aligned} B &= E(-2 \times 1 + 2) \left( P^{12} A \right) \\ &= \left( E(-2 \times 1 + 2) P^{12} \right) A \\ &= U A\end{aligned}$$

Queda por encontrar la matriz$U$.

$$\begin{aligned} U &= E(-2 \times 1 + 2) P^{12} \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right]\end{aligned}$$

Podemos verificar que se$B = UA$ mantiene para esta matriz$U$: $$\begin{aligned} UA &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \\ &= B \end{aligned}$$

Si bien el proceso utilizado en el ejemplo anterior es confiable y simple cuando solo se usan unas pocas operaciones de fila, se vuelve engorroso en un caso en el que se necesitan muchas operaciones de fila para llevar$A$ a$B$. El siguiente teorema proporciona una forma alternativa de encontrar la matriz$U$.

Teorema$\PageIndex{3}$: Finding the Matrix $U$

Dejar$A$ ser una$m \times n$ matriz y dejar$B$ ser su forma reducida fila-escalón. Entonces$B = UA$ donde$U$ se encuentra una$m \times m$ matriz invertible formando la matriz$\left[ A | I_m \right]$ y la fila reduciendo a$\left[ B | U \right]$.

Revisemos el ejemplo anterior usando el proceso descrito en Teorema$\PageIndex{3}$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: The Form $B=UA$, Revisited

Vamos$A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$. Utilizando el proceso esbozado en Teorema$\PageIndex{3}$, encuentra$U$ tal que$B=UA$.

Solución

Primero, configurar la matriz$\left[ A | I_m \right]$. $$\left[ \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\nonumber$$ Ahora, fila reducir esta matriz hasta que el lado izquierdo sea igual a la forma fila-escalón reducida de$A$.

$$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rr|rrr} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] &\rightarrow \left[ \begin{array}{rr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ &\rightarrow \left[ \begin{array}{rr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right]\end{aligned}$$

El lado izquierdo de esta matriz es$B$, y el lado derecho es$U$. Comparando esto con la matriz que$U$ se encuentra arriba en Ejemplo$\PageIndex{5}$, se puede ver que se obtiene la misma matriz independientemente del proceso que se utilice.

Recordemos del algoritmo 2.7.1 que una$n \times n$ matriz$A$ es invertible si y solo si se$A$ puede llevar a la matriz de$n \times n$ identidad usando las operaciones habituales de fila. Esto lleva a una importante consecuencia relacionada con la discusión anterior.

Supongamos que$A$ es una matriz$n \times n$ invertible. Después, configura la matriz$\left[ A | I_n \right]$ como se ha hecho anteriormente, y la fila reduce hasta que sea de la forma$\left[ B | U \right]$. En este caso,$B = I_n$ porque$A$ es invertible.

$$\begin{aligned} B &= UA \\ I_n &=UA \\ U^{-1} &= A \end{aligned}$$

Ahora supongamos que$U = E_1 E_2 \cdots E_k$ donde cada uno$E_i$ es una matriz elemental que representa una operación de fila utilizada para llevar$A$ a$I$. Entonces,

$$U^{-1} = \left( E_1 E_2 \cdots E_k \right) ^{-1} = E_k^{-1} \cdots E_2^{-1} E_1{-1}\nonumber$$

Recuerda que si$E_i$ es una matriz elemental, también lo es$E_i^{-1}$. De ello se deduce que

$$\begin{aligned} A&= U^{-1} \\ &= E_k^{-1} \cdots E_2^{-1} E_1{-1}\end{aligned}$$

y$A$ puede escribirse como un producto de matrices elementales.

Teorema$\PageIndex{4}$: Product of Elementary Matrices

$A$Déjese ser una$n \times n$ matriz. Entonces$A$ es invertible si y sólo si se puede escribir como producto de matrices elementales.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Product of Elementary Matrices

Vamos$A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right]$. Escribir$A$ como producto de matrices elementales.

Solución

Utilizaremos el proceso descrito en Teorema$\PageIndex{3}$ para escribir$A$ como producto de matrices elementales. Vamos a configurar la matriz$\left[ A | I \right]$ y reducir la fila, registrando cada operación de fila como una matriz elemental.

Primero:

$$\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

representado por la matriz elemental$E_1= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$.

En segundo lugar:

$$\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

representado por la matriz elemental$E_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$.

Por último:

$$\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0& 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] \nonumber$$

representado por la matriz elemental$E_3= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right]$.

Observe que la forma de fila-escalón reducida de$A$ es$I$. De ahí$I = UA$ donde$U$ está el producto de las matrices elementales anteriores. De ello se deduce que$A = U^{-1}$. Como queremos escribir$A$ como producto de matrices elementales, deseamos expresarnos$U^{-1}$ como producto de matrices elementales. $$\begin{aligned} U^{-1} &= \left( E_3 E_2 E_1 \right)^{-1}\\ &= E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1} \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right] \\ &= A\end{aligned}$$

Esto da$A$ escrito como un producto de matrices elementales. Por Teorema$\PageIndex{4}$ se deduce que$A$ es invertible.