5.5: Uno a uno y sobre transformaciones
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- Determine si una transformación lineal es en o de uno a uno.
Dejar\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser una transformación lineal. Definimos el rango o imagen de\(T\) como el conjunto de vectores de los\(\mathbb{R}^{m}\) cuales son de la forma\(T \left(\vec{x}\right)\) (equivalentemente,\(A\vec{x}\)) para algunos\(\vec{x}\in \mathbb{R}^{n}\). Es común escribir\(T\mathbb{R}^{n}\),\(T\left( \mathbb{R}^{n}\right)\), o\(\mathrm{Im}\left( T\right)\) denotar estos vectores.
Dejar\(A\) ser una\(m\times n\) matriz donde\(A_{1},\cdots , A_{n}\) denotan las columnas de\(A.\) Entonces, para un vector\(\vec{x}=\left [ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right ]\) en\(\mathbb{R}^n\),
\[A\vec{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}A_{k}\nonumber \]
Por lo tanto,\(A \left( \mathbb{R}^n \right)\) es la colección de todas las combinaciones lineales de estos productos.
- Prueba
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Esto se desprende de la definición de multiplicación matricial.
Esta sección está dedicada a estudiar dos caracterizaciones importantes de transformaciones lineales, llamadas uno a uno y sobre. Los definimos ahora.
Supongamos\(\vec{x}_1\) y\(\vec{x}_2\) son vectores en\(\mathbb{R}^n\). Una transformación lineal\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) se llama uno a uno (a menudo se escribe como\(1-1)\) si siempre que\(\vec{x}_1 \neq \vec{x}_2\) se deduce de eso:\[T\left( \vec{x}_1 \right) \neq T \left(\vec{x}_2\right)\nonumber \]
Equivalentemente, si\(T\left( \vec{x}_1 \right) =T\left( \vec{x}_2\right) ,\) entonces\(\vec{x}_1 = \vec{x}_2\). Así,\(T\) es uno a uno si nunca toma dos vectores diferentes al mismo vector.
Se llama a la segunda caracterización importante.
Dejar\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser una transformación lineal. Entonces\(T\) se llama a si cada vez que\(\vec{x}_2 \in \mathbb{R}^{m}\) existe\(\vec{x}_1 \in \mathbb{R}^{n}\) tal que\(T\left( \vec{x}_1\right) = \vec{x}_2.\)
A menudo llamamos a una transformación lineal que es una inyección de uno a uno. Del mismo modo, una transformación lineal que se encuentra en muchas ocasiones se denomina sobreyección.
La siguiente proposición es un resultado importante.
Dejar\(T:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser una transformación lineal. Entonces\(T\) es uno a uno si y sólo si\(T(\vec{x}) = \vec{0}\) implica\(\vec{x}=\vec{0}\).
- Prueba
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Tenemos que probar dos cosas aquí. Primero, vamos a probar que si\(T\) es uno a uno, entonces\(T(\vec{x}) = \vec{0}\) implica eso\(\vec{x}=\vec{0}\). Segundo, vamos a demostrar que si\(T(\vec{x})=\vec{0}\) implica eso\(\vec{x}=\vec{0}\), entonces se deduce que\(T\) es uno a uno. Recordemos que una transformación lineal tiene la propiedad de que\(T(\vec{0}) = \vec{0}\).
Supongamos primero que\(T\) es uno a uno y considerar\(T(\vec{0})\). \[T(\vec{0})=T\left( \vec{0}+\vec{0}\right) =T(\vec{0})+T(\vec{0})\nonumber \]y así, sumando la inversa aditiva de\(T(\vec{0})\) a ambos lados, uno ve eso\(T(\vec{0})=\vec{0}\). Si\(T(\vec{x})=\vec{0}\) debe ser el caso eso\(\vec{x}=\vec{0}\) porque se acaba de demostrar eso\(T(\vec{0})=\vec{0}\) y\(T\) se supone que es uno a uno.
Ahora supongamos que si\(T(\vec{x})=\vec{0},\) entonces se deduce que\(\vec{x}=\vec{0}.\) Si\(T(\vec{v})=T(\vec{u}),\) entonces\[T(\vec{v})-T(\vec{u})=T\left( \vec{v}-\vec{u}\right) =\vec{0}\nonumber \] lo que demuestra eso\(\vec{v}-\vec{u}=0\). En otras palabras,\(\vec{v}=\vec{u}\), y\(T\) es uno a uno.
Tenga en cuenta que esta proposición dice que si\(A=\left [ \begin{array}{ccc} A_{1} & \cdots & A_{n} \end{array} \right ]\) entonces\(A\) es uno a uno si y solo si cada vez\[0 = \sum_{k=1}^{n}c_{k}A_{k}\nonumber \] que se deduce que cada escalar\(c_{k}=0\).
Ahora vamos a echar un vistazo a un ejemplo de uno a uno y a una transformación lineal.
Supongamos\[T\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right ]\nonumber \] Entonces,\(T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) es una transformación lineal. ¿Está\(T\) onto? ¿Es uno a uno?
Solución
Recordemos que debido a que se\(T\) puede expresar como multiplicación matricial, sabemos que\(T\) es una transformación lineal. Empezaremos por mirar hacia. Entonces supongamos\(\left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{2}.\) ¿Existe\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^2\) tal que\(T\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ] ?\) si es así, entonces ya que\(\left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\) es un vector arbitrario en\(\mathbb{R}^{2},\) él seguirá que\(T\) está en.
Esta pregunta te resulta familiar. Se pregunta si hay una solución a la ecuación\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\nonumber \] Esto es lo mismo que pedir una solución al siguiente sistema de ecuaciones. \[\begin{array}{c} x+y=a \\ x+2y=b \end{array}\nonumber \]Configura la matriz aumentada y la fila reduce. \[\left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & b \end{array} \right ] \rightarrow \left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2a-b \\ 0 & 1 & b-a \end{array} \right ] \label{ontomatrix}\]Se puede ver a partir de este punto que el sistema tiene una solución. Por lo tanto, hemos demostrado que para cualquiera\(a, b\), hay\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]\) tal que\(T\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\). Así\(T\) está sobre.
Ahora queremos saber si\(T\) es uno a uno. Por Proposición\(\PageIndex{1}\) basta con mostrar que eso\(A\vec{x}=0\) implica\(\vec{x}=0\). Considere el sistema\(A\vec{x}=0\) dado por:\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2\\ \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
Esto es lo mismo que el sistema dado por
\[\begin{array}{c} x + y = 0 \\ x + 2y = 0 \end{array}\nonumber \]
Tenemos que demostrar que la solución a este sistema es\(x = 0\) y\(y = 0\). Al configurar la matriz aumentada y la reducción de filas, terminamos con\[\left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
Esto nos dice que\(x = 0\) y\(y = 0\). Volviendo al sistema original, esto dice que si
\[\left [ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2\\ \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
entonces\[\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
En otras palabras, eso\(A\vec{x}=0\) implica\(\vec{x}=0\). Por Proposición\(\PageIndex{1}\),\(A\) es uno a uno, y así también lo\(T\) es uno a uno.
También podríamos haber visto que\(T\) es uno a uno de nuestra solución anterior para en. Al mirar la matriz dada por\(\eqref{ontomatrix}\), se puede ver que hay una solución única dada por\(x=2a-b\) y\(y=b-a\). Por lo tanto, sólo hay un vector, específicamente\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 2a-b\\ b-a \end{array} \right ]\) tal que\(T\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\). De ahí que por Definición\(\PageIndex{1}\),\(T\) sea uno a uno.
Dejar\(T: \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^2\) ser una transformación lineal definida por\[T \left [ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} a + d \\ b + c \end{array} \right ] \mbox{ for all } \left [ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^4\nonumber \] Probar que\(T\) es sobre pero no uno a uno.
Solución
Se puede probar que de hecho\(T\) es lineal.
Para mostrar que\(T\) está en, dejar\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]\) ser un vector arbitrario en\(\mathbb{R}^2\). Tomando el vector\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^4\) que tenemos\[T \left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} x + 0 \\ y + 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]\nonumber \] Esto muestra que\(T\) está en.
Por Proposición\(\PageIndex{1}\)\(T\) es uno a uno si y sólo si\(T(\vec{x}) = \vec{0}\) implica eso\(\vec{x} = \vec{0}\). Observe que\[T \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 1 + -1 \\ 0 + 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \] existe un vector distinto de cero\(\vec{x}\) en\(\mathbb{R}^4\) tal que\(T(\vec{x}) = \vec{0}\). De ello se deduce que no\(T\) es uno a uno.
Los ejemplos anteriores demuestran un método para determinar si una transformación lineal\(T\) es de uno a uno o sobre. Resulta que la matriz\(A\) de\(T\) puede proporcionar esta información.
Dejar\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser una transformación lineal inducida por la\(m \times n\) matriz\(A\). Entonces\(T\) es uno a uno si y sólo si el rango de\(A\) es\(n\). \(T\)está sobre si y solo si el rango de\(A\) es\(m\).
Considera Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Arriba demostramos que\(T\) estaba sobre pero no uno a uno. Ahora podemos utilizar este teorema para determinar este hecho sobre\(T\).
Dejar\(T: \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^2\) ser una transformación lineal definida por\[T \left [ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} a + d \\ b + c \end{array} \right ] \mbox{ for all } \left [ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^4\nonumber \] Probar que\(T\) es sobre pero no uno a uno.
Solución
Usando el Teorema\(\PageIndex{1}\) podemos demostrar que\(T\) está sobre pero no uno a uno a partir de la matriz de\(T\). Recordemos que para encontrar la matriz\(A\) de\(T\), aplicamos\(T\) a cada uno de los vectores base estándar\(\vec{e}_i\) de\(\mathbb{R}^4\). El resultado es la\(2 \times 4\) matriz A dada por\[A = \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Afortunadamente, esta matriz ya se encuentra en forma de fila-escalón reducida. El rango de\(A\) es\(2\). Por lo tanto por el teorema anterior\(T\) es sobre pero no uno a uno.
Recordemos que si\(S\) y\(T\) son transformaciones lineales, podemos discutir su compuesto denotado\(S \circ T\). A continuación se examina lo que sucede si ambos\(S\) y\(T\) están en.
Dejar\(T: \mathbb{R}^k \mapsto \mathbb{R}^n\) y\(S: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser transformaciones lineales. Si\(T\) y\(S\) están en, entonces\(S \circ T\) está en.
Solución
Vamos\(\vec{z}\in \mathbb{R}^m\). Ya que\(S\) está en, existe un vector\(\vec{y}\in \mathbb{R}^n\) tal que\(S(\vec{y})=\vec{z}\). Además, ya que\(T\) está en, existe un vector\(\vec{x}\in \mathbb{R}^k\) tal que\(T(\vec{x})=\vec{y}\). \[\vec{z} = S(\vec{y}) = S(T(\vec{x})) = (ST)(\vec{x}),\nonumber \]Demostrando así que para cada uno\(\vec{z}\in \mathbb{R}^m\) existe y\(\vec{x}\in \mathbb{R}^k\) tal que\((ST)(\vec{x})=\vec{z}\). Por lo tanto,\(S \circ T\) está sobre.
El siguiente ejemplo muestra el mismo concepto con respecto a las transformaciones uno a uno.
Dejar\(T: \mathbb{R}^k \mapsto \mathbb{R}^n\) y\(S: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser transformaciones lineales. Demostrar que si\(T\) y\(S\) son uno a uno, entonces\(S \circ T\) es uno a uno.
Solución
Para probar que eso\(S \circ T\) es uno a uno, necesitamos\(S(T (\vec{v})) = \vec{0}\) demostrarlo si se deduce de eso\(\vec{v} = \vec{0}\). Supongamos que\(S(T (\vec{v})) = \vec{0}\). Ya que\(S\) es uno a uno, se deduce que\(T (\vec{v}) = \vec{0}\). De igual manera, ya que\(T\) es uno a uno, se deduce de eso\(\vec{v} = \vec{0}\). De ahí\(S \circ T\) que sea uno a uno.