6.2: Forma polar

Resultados

1. Convierta un número complejo de forma estándar a forma polar, y de forma polar a forma estándar.

En la sección anterior, identificamos un número complejo$z=a+bi$ con un punto$\left( a, b\right)$ en el plano de coordenadas. Hay otra forma en la que podemos expresar el mismo número, llamada la forma polar. La forma polar es el foco de esta sección. Se va a resultar muy útil si no crucial para ciertos cálculos como pronto veremos.

Supongamos que$z=a+bi$ es un número complejo, y vamos$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} = |z|$. Recordemos que$r$ es el módulo de$z$. Tenga en cuenta primero que

$$\left( \frac{a}{r} \right) ^{2}+\left( \frac{b}{r}\right) ^{2}= \frac{a^2+b^2}{r^2}=1\nonumber$$ y así$\left( \frac{a}{r},\frac{b}{r}\right)$ es un punto en el círculo unitario. Por lo tanto, existe un ángulo$\theta$ (en radianes) tal que $$\cos \theta =\frac{a}{r},\ \sin \theta =\frac{b}{r}\nonumber$$ en otras palabras$\theta$ es un ángulo tal que$a = r\cos \theta$ y$b=r \sin \theta$, es decir$\theta = \cos^{-1}(a/r)$ y$\theta = \sin^{-1}(b/r)$. Llamamos a este ángulo$\theta$ el argumento de$z$.

A menudo hablamos del argumento principal de$z$. Este es el ángulo único$\theta \in (-\pi, \pi]$ tal que

$$\cos \theta =\frac{a}{r},\ \sin \theta =\frac{b}{r}\nonumber$$

La forma polar del número complejo$z=a+bi = r \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$ se escribe por conveniencia como:

$$z = r e^{i \theta}\nonumber$$ dónde$\theta$ está el argumento de$z$.

Definición$\PageIndex{1}$: Polar Form of a Complex Number

Dejar$z = a + bi$ ser un número complejo. Entonces la forma polar de$z$ se escribe como

$$z = re^{i\theta}\nonumber$$ dónde$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ y$\theta$ es el argumento de$z$.

Cuando se le da$z = re^{i\theta}$, la identidad$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$ se convertirá de$z$ nuevo a forma estándar. Aquí pensamos en$e^{i \theta}$ como un atajo para$\cos \theta +i\sin \theta$. Esto es todo lo que necesitaremos en este curso, pero en realidad se$e^{i \theta}$ puede considerar como el complejo equivalente de la función exponencial donde esto resulta ser una verdadera igualdad.

Figura$\PageIndex{1}$

Así podemos convertir cualquier número complejo en la forma estándar (cartesiana)$z = a+bi$ en su forma polar. Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Standard to Polar Form

Dejar$z = 2 + 2i$ ser un número complejo. Escribir$z$ en la forma polar

$$z = re^{i \theta}\nonumber$$

Solución

Primero, encuentra$r$. Por la discusión anterior,$r=\sqrt{ a^{2}+b^{2}} = |z|$. Por lo tanto,

$$r = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} =2\sqrt{2}\nonumber$$

Ahora, para encontrar$\theta$, trazamos el punto$\left( 2, 2 \right)$ y encontramos el ángulo desde el$x$ eje positivo hasta la línea entre este punto y el origen. En este caso,$\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$. Es decir encontramos el ángulo único$\theta$ tal que$\theta = \cos^{-1}(1/\sqrt{2})$ y$\theta = \sin^{-1}(1/\sqrt{2})$.

Tenga en cuenta que en forma polar, siempre expresamos ángulos en radianes, no grados.

Por lo tanto, podemos escribir$z$ como

$$z = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\nonumber$$

Observe que las formas estándar y polares son completamente equivalentes. Eso no solo podemos transformar un número complejo de forma estándar a su forma polar, también podemos tomar un número complejo en forma polar y convertirlo de nuevo a forma estándar.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Polar to Standard Form

Vamos$z = 2 e^{ 2\pi i/3}$. Escribir$z$ en la forma estándar

$$z = a+bi\nonumber$$

Solución

Dejar$z = 2 e^{2\pi i/3}$ ser la forma polar de un número complejo. Recordemos eso$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. Por lo tanto, usando valores estándar de$\sin$ y$\cos$ obtenemos:

$$\begin{aligned} z = 2 e^{i 2\pi/3} &= 2 (\cos (2\pi/3)+i\sin (2\pi/3))\\ &= 2 \left ( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &=-1 + \sqrt{3}i \end{aligned}$$ que es la forma estándar de este número complejo.

Siempre puedes verificar tu respuesta convirtiéndola de nuevo a forma polar y asegurándote de llegar a la respuesta original.