6.1: Números complejos
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- Comprender la significación geométrica de un número complejo como punto en el plano.
- Demostrar propiedades algebraicas de adición y multiplicación de números complejos, y aplicar estas propiedades. Entender la acción de tomar el conjugado de un número complejo.
- Comprender el valor absoluto de un número complejo y cómo encontrarlo así como su significación geométrica.
Aunque muy poderosos, los números reales son inadecuados para resolver ecuaciones como\(x^2+1=0\), y aquí es donde entran los números complejos. Definimos el número\(i\) como el número imaginario tal que\(i^2 = -1\), y definimos números complejos como los de la forma\(z = a + bi\) donde\(a\) y\(b\) son números reales. A esto lo llamamos la forma estándar, o forma cartesiana, del número complejo\(z\). Entonces, nos referimos\(a\) como la parte real de\(z\), y\(b\) como la parte imaginaria de\(z\). Resulta que tales números no sólo resuelven la ecuación anterior, sino que de hecho también resuelven cualquier polinomio de grado al menos 1 con coeficientes complejos. Esta propiedad, llamada Teorema Fundamental del Álgebra, a veces es referida diciendo que\(\mathbb{C}\) es algebraicamente cerrada. A Gauss se le suele atribuir una prueba de este teorema en 1797 pero muchos otros trabajaron en él y la primera prueba completamente correcta se debió a Argand en 1806.
Así como un número real puede considerarse como un punto en la línea, un número complejo\(z = a + bi\) puede considerarse como un punto\(\left( a,b\right)\) en el plano cuya\(x\) coordenada es\(a\) y cuya\(y\) coordenada es\(b.\) Por ejemplo, en la siguiente imagen, el punto\(z = 3+2i\) puede ser representado como el punto en el plano con coordenadas\(\left( 3,2\right) .\)
La suma de números complejos se define de la siguiente manera. \[\left( a+bi\right) +\left( c+di\right) =\left( a+c\right) +\left( b+d\right)i\nonumber \]
Esta adición obedece a todas las propiedades habituales como indica el siguiente teorema.
Dejar\(z,w,\) y\(v\) ser números complejos. Entonces se mantienen las siguientes propiedades.
- Ley Conmutativa para la Adición\[z+w=w+z\nonumber\]
- Identidad Aditiva\[z+0=z\nonumber \]
- Existencia de Inversa Aditiva\[\begin{array}{l} \mbox{For each} \; z\in \mathbb{C}, \mbox{there exists}\; -z\in \mathbb{C} \mbox{ such that}\; z+\left( -z\right) =0 \\ \mbox{In fact if } z=a+bi, \mbox{ then } -z=-a-bi. \end{array}\nonumber\]
- Ley Asociativa para la Adición\[\left( z+w\right) +v= z +\left( w+v\right)\nonumber \]
- Prueba
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La prueba de este teorema se deja como un ejercicio para el lector.
Ahora bien, la multiplicación de números complejos se define de la manera que cabría esperar, recordando eso\(i^{2} = -1\). \[\begin{aligned} \left( a+bi\right) \left( c+di\right) &=ac+adi+bci+i^{2}bd \\ &=\left( ac-bd\right) +\left( ad + bc \right)i \end{aligned}\]
Considera los siguientes ejemplos.
- \((2-3i)(-3+4i) = 6+17i\)
- \((4-7i)(6-2i) = 10-50i\)
- \((-3+6i)(5-i) = -9+33i\)
Las siguientes son importantes propiedades de multiplicación de números complejos.
Dejar\(z,w\) y\(v\) ser números complejos. Entonces, se mantienen las siguientes propiedades de multiplicación.
- Ley Conmutativa para la Multiplicación\[zw=wz\nonumber\]
- Ley Asociativa para la Multiplicación\[\left( zw\right) v=z\left( wv\right)\nonumber\]
- Identidad Multiplicativa\[1z=z\nonumber\]
- Existencia de Inversa Multiplicativa\[\mbox{For each}\; z\neq 0, \mbox{there exists}\; z^{-1} \mbox{ such that}\; zz^{-1}=1\nonumber\]
- Derecho Distributivo\[z\left( w+v\right) =zw+zv\nonumber\]
Es posible que desee verificar algunas de estas declaraciones. Los números reales también satisfacen los axiomas anteriores, y en general cualquier estructura matemática que satisfaga estos axiomas se llama campo. Hay muchos otros campos, en particular incluso los finitos particularmente útiles para la criptografía, y la razón para especificar estos axiomas es que el álgebra lineal se trata de campos y podemos hacer casi cualquier cosa en este tema usando cualquier campo. Aunque aquí, los campos de mayor interés serán el campo familiar de los números reales, denotado como\(\mathbb{R}\), y el campo de números complejos, denotado como\(\mathbb{C}\).
Una construcción importante con respecto a los números complejos es el conjugado complejo denotado por una línea horizontal por encima del número,\(\overline{z}\). Se define de la siguiente manera.
Dejar\(z = a+bi\) ser un número complejo. Entonces el conjugado de\(z\), escrito\(\overline{z}\) es dado por\[\overline{a+bi}= a-bi\nonumber\]
Geométricamente, la acción del conjugado es reflejar un número complejo dado a través del\(x\) eje. Algebraicamente, cambia el signo en la parte imaginaria del número complejo. Por lo tanto, para un número real\(a\),\(\overline{a} = a\).
- Si\(z=3+4i\), entonces\(\overline{z}=3-4i\), es decir,\(\overline{3+4i}=3-4i\).
- \(\overline{-2+5i}= -2-5i\).
- \(\overline{i}= -i\).
- \(\overline{7}= 7\).
Considera el siguiente cómputo.
\[\begin{aligned} \left( \overline{a+bi}\right) \left( a+bi\right) &= \left( a-bi\right) \left( a+bi\right) \\[4pt] &= a^{2}+b^{2}-\left( ab-ab\right)i =a^{2}+b^{2}\end{aligned}\]
Observe que no hay parte imaginaria en el producto, multiplicando así un número complejo por su conjugado da como resultado un número real.
Dejar\(z\) y\(w\) ser números complejos. Entonces, se mantienen las siguientes propiedades del conjugado.
- \(\overline{z\pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}\).
- \(\overline{(zw)} = \overline{z}~ \overline{w}\).
- \(\overline{(\overline{z})}=z\).
- \(\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}\).
- \(z\)es real si y solo si\(\overline{z}=z\).
La división de números complejos se define de la siguiente manera. Dejar\(z=a+bi\) y\(w=c+di\) ser números complejos tales que no\(c,d\) sean ambos cero. Entonces el cociente\(z\) dividido por\(w\) es
\[\begin{aligned} \frac{z}{w} &= \frac{a+bi}{c+di} \\[4pt] &= \frac{a+bi}{c+di}\times \frac{c-di}{c-di} \\[4pt] &= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} \\[4pt] & = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} +\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.\end{aligned}\]
En otras palabras, el cociente\(\frac{z}{w}\) se obtiene multiplicando tanto la parte superior como la inferior de\(\frac{z}{w}\) por\(\overline{w}\) y luego simplificando la expresión.
\[\frac{1}{i} = \frac{1}{i}\times \frac{-i}{-i} =\frac{-i}{-i^2}=-i\nonumber\]
\[\frac{2-i}{3+4i} = \frac{2-i}{3+4i}\times \frac{3-4i}{3-4i} =\frac{(6-4)+(-3-8)i}{3^2+4^2} =\frac{2-11i}{25} =\frac{2}{25} - \frac{11}{25}i\nonumber\]
\[\frac{1-2i}{-2+5i} = \frac{1-2i}{-2+5i}\times \frac{-2-5i}{-2-5i} =\frac{(-2-10) + (4-5)i}{2^2+5^2} =-\frac{12}{29}-\frac{1}{29}i\nonumber\]
Curiosamente, cada número complejo distinto de cero\(a+bi\) tiene una inversa multiplicativa única. En otras palabras, para un número complejo distinto de cero\(z\), existe un número\(z^{-1}\) (o\(\frac{1}{z}\)) para que\(zz^{-1} = 1\). Tenga en cuenta que\(z=a+bi\) es distinto de cero exactamente cuándo\(a^{2}+b^{2}\neq 0\), y su inverso se puede escribir en forma estándar como se define ahora.
Dejar\(z = a+bi\) ser un número complejo. Entonces el inverso multiplicativo de\(z\), escrito\(z^{-1}\) existe si y solo si\(a^{2}+b^{2}\neq 0\) y es dado por
\[z^{-1} = \frac{1}{a+bi} = \frac{1}{a+bi}\times \frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{ a^{2}+b^{2}}\nonumber\]
Tenga en cuenta que podemos escribir\(z^{-1}\) como\(\frac{1}{z}\). Ambas notaciones representan la inversa multiplicativa del número complejo\(z\). Consideremos ahora un ejemplo.
Considera el número complejo\(z = 2 + 6i\). Luego\(z^{-1}\) se define, y
\[\begin{aligned} \frac{1}{z} &= \frac{1}{2+6i} \\[4pt] &= \frac{1}{2+6i}\times \frac{2-6i}{2-6i} \\[4pt] &= \frac{2-6i}{2^2+6^2} \\[4pt] &= \frac{2-6i}{40} \\[4pt] &= \frac{1}{20} - \frac{3}{20}i \end{aligned}\]
Siempre puedes verificar tu respuesta por computación\(zz^{-1}\).
Otra construcción importante de números complejos es la del valor absoluto, también llamado módulo. Considera la siguiente definición.
El valor absoluto, o módulo, de un número complejo, denotado\(\left| z \right|\) se define de la siguiente manera. \[\left| a+bi\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\nonumber\]
Así, si\(z\) es el número complejo\(z=a+bi\), se deduce que\[\left| z\right| =\left( z\overline{z}\right) ^{1/2}\nonumber\]
También de la definición, si\(z=a+bi\) y\(w=c+di\) son dos números complejos, entonces\(\left\vert zw\right\vert =\left\vert z\right\vert \left\vert w\right\vert .\) Tómese un momento para verificar esto.
La desigualdad triangular es una propiedad importante del valor absoluto de los números complejos. Hay dos versiones útiles que presentamos aquí, aunque la primera se llama oficialmente la desigualdad triangular.
\(z,w\)Dejen ser números complejos.
Las siguientes dos desigualdades se mantienen para cualquier número complejo\(z,w\):\[\begin{array}{l} \left| z+w\right| \leq \left| z\right| +\left| w\right| \\ \left| \left| z\right| -\left| w\right| \right| \leq \left| z-w\right| \end{array}\nonumber\] La primera se llama la Desigualdad del Triángulo.
- Prueba
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Dejar\(z=a+bi\) y\(w=c+di\). Primero tenga en cuenta que\[z \overline{w}=\left( a+bi\right) \left( c-di\right) =ac+bd+\left( bc-ad\right)i\nonumber\] y así\(\left\vert ac+bd\right\vert \leq \left\vert z\overline{w}\right\vert =\left\vert z\right\vert \left\vert w\right\vert .\)
Entonces,\[\left\vert z+w\right\vert ^{2}=\left( a+c+i\left( b+d\right) \right) \left( a+c-i\left( b+d\right) \right)\nonumber\]\[=\left( a+c\right) ^{2}+\left( b+d\right) ^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac+2bd+b^{2}+d^{2}\nonumber\]\[\leq \left\vert z\right\vert ^{2}+\left\vert w\right\vert ^{2}+2\left\vert z\right\vert \left\vert w\right\vert =\left( \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert \right) ^{2}\nonumber\]
Tomando la raíz cuadrada, tenemos eso\[\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert\nonumber\] por lo que esto verifica la desigualdad del triángulo.
Para obtener la segunda desigualdad, escribir\[z=z-w+w,\;w=w-z+z\nonumber\] y así por la primera forma de la desigualdad obtenemos ambas:\[\left\vert z\right\vert \leq \left\vert z-w\right\vert +\left\vert w\right\vert ,\;\left\vert w\right\vert \leq \left\vert z-w\right\vert +\left\vert z\right\vert\nonumber\]
De ahí que ambos\(\left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert\) y no\(\left\vert w\right\vert -\left\vert z\right\vert\) sean mayores que\(\left\vert z-w\right\vert\). Esto prueba la segunda versión porque\(\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert\) es una de\(\left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert\) o\(\left\vert w\right\vert -\left\vert z\right\vert\).
Con esta definición, es importante señalar lo siguiente. Es posible que desee tomarse el tiempo para verificar esta observación.
Let\(z=a+bi\) y\(w=c+di.\) Entonces
\[\left| z-w\right| =\sqrt{\left( a-c\right) ^{2}+\left( b-d\right) ^{2}}. \nonumber\]
Así, la distancia entre el punto en el plano determinado por el par ordenado\(\left( a,b\right)\) y el par ordenado\(\left( c,d\right)\) es igual a\(\left| z-w\right|\) dónde\(z\) y\(w\) son como se acaba de describir.
Por ejemplo, considere la distancia entre\(\left( 2,5\right)\) y\(\left( 1,8\right) .\) Dejar\(z=2+5i\) y\(w=1+8i,\)\(z-w=1-3i\),\(\left( z-w\right) \left( \overline{z-w}\right) =\left( 1-3i\right) \left( 1+3i\right) = 10\) entonces\(\left\vert z-w\right\vert =\sqrt{10}\).
Recordemos que nos referimos\(z=a+bi\) como la forma estándar del número complejo. En la siguiente sección, examinamos otra forma en la que podemos expresar el número complejo.