6.3: Raíces de números complejos
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- Entender el teorema de De Moivre y poder utilizarlo para encontrar las raíces de un número complejo.
Una identidad fundamental es la fórmula de De Moivre con la que iniciamos esta sección.
Para cualquier entero positivo\(n\), tenemos\[\left( e^{i \theta} \right)^n = e^{i n \theta}\nonumber \]
Así, para cualquier número real\(r>0\) y cualquier entero positivo\(n\), tenemos:
\[\left( r\left( \cos \theta+i\sin \theta\right) \right) ^{n}=r^{n}\left( \cos n \theta +i\sin n\theta\right)\nonumber\]
- Prueba
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La prueba es por inducción en\(n\). Está claro que la fórmula sostiene si\(n=1.\) Supongamos que es cierto para\(n.\) Entonces, considere\(n+1\).
\[\left( r\left( \cos \theta+i\sin \theta\right) \right) ^{n+1}=\left( r\left( \cos \theta+i\sin \theta\right) \right) ^{n}\left( r\left( \cos \theta+i\sin \theta\right) \right) \nonumber\]
que por inducción es igual
\[\begin{aligned} &=r^{n+1}\left( \cos n\theta+i\sin n\theta\right) \left( \cos \theta+i\sin \theta\right) \\ &= r^{n+1}\left( \left( \cos n\theta\cos \theta-\sin n\theta\sin \theta\right) +i\left( \sin n\theta\cos \theta+\cos n\theta\sin \theta\right) \right)\\ &=r^{n+1}\left( \cos \left( n+1\right) \theta+i\sin \left( n+1\right) \theta\right)\end{aligned}\]
por las fórmulas para el coseno y el seno de la suma de dos ángulos.
El proceso utilizado en la prueba anterior, llamada inducción matemática, es muy potente en Matemáticas e Informática y se explora con más detalle en el Apéndice.
Ahora, consideremos un corolario del Teorema\(\PageIndex{1}\).
Dejar\(z\) ser un número complejo distinto de cero. Entonces siempre hay exactamente\(k\) muchas\(k^{th}\) raíces de\(z\) adentro\(\mathbb{C}\).
- Prueba
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Dejar\(z=a+bi\) y dejar\(z=\left\vert z\right\vert \left( \cos \theta+i\sin \theta\right)\) ser la forma polar del número complejo. Según el teorema de De Moivre, un número complejo\[w= r e^{i \alpha} = r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \nonumber\] es una\(k^{th}\) raíz de\(z\) si y solo si\[w^k = (r e^{i \alpha})^k = r^k e^{ik\alpha} = r^{k}\left( \cos k\alpha +i\sin k\alpha \right) =\left\vert z\right\vert \left( \cos \theta+i\sin \theta\right) \nonumber\]
Esto requiere\(r^{k}=\left\vert z\right\vert\) y así\(r=\left\vert z\right\vert ^{1/k}\). Además, ambos\(\cos \left( k\alpha \right) =\cos \theta\) y\(\sin \left( k\alpha \right) =\sin \theta.\) Esto sólo puede suceder si\[k\alpha =\theta+2 \ell \pi\nonumber \] por\(\ell\) un entero. Así\[\alpha = \frac{\theta+2 \ell \pi }{k},\; \ell = 0, 1, 2, \cdots, k-1 \nonumber\] y así las\(k^{th}\) raíces de\(z\) son de la forma\[\left\vert z\right\vert ^{1/k}\left( \cos \left( \frac{\theta+2 \ell \pi }{k}\right) +i\sin \left( \frac{\theta+2 \ell \pi }{k}\right) \right) ,\;\ell = 0, 1, 2, \cdots, k-1 \nonumber\]
Dado que el coseno y el seno son periódicos de período,\(2\pi ,\) hay números exactamente\(k\) distintos que resultan de esta fórmula.
El procedimiento para encontrar las\(k^{th}\) raíces de\(z \in \mathbb{C}\) es el siguiente.
Dejar\(w\) ser un número complejo. Deseamos encontrar las\(n^{th}\) raíces de\(w\), eso es todo\(z\) tal que\(z^n = w\).
Hay\(n^{th}\) raíces\(n\) distintas y se pueden encontrar de la siguiente manera:.
- Expresar ambos\(z\) y\(w\) en forma polar\(z=re^{i\theta}, w=se^{i\phi}\). Entonces\(z^n = w\) se convierte en:\[(re^{i\theta})^n = r^n e^{i n \theta} = se^{i\phi} \nonumber\] Tenemos que resolver para\(r\) y\(\theta\).
- Resuelve las siguientes dos ecuaciones:\[ r^n = s \nonumber\]\[ e^{i n \theta} = e^{i \phi} \label{rootseqns}\]
- Las soluciones a\(r^n = s\) las dan\(r = \sqrt[n]{s}\).
- Las soluciones a\(e^{i n \theta} = e^{i \phi}\) son dadas por:\[n\theta = \phi + 2\pi \ell, \; \mbox{for} \; \ell = 0,1,2, \cdots, n-1 \nonumber\] o\[\theta = \frac{\phi}{n} + \frac{2}{n} \pi \ell, \; \mbox{for} \; \ell = 0,1,2, \cdots, n-1 \nonumber\]
- Usando las soluciones\(r, \theta\) a las ecuaciones dadas en\(\eqref{rootseqns}\) construir las\(n^{th}\) raíces de la forma\(z = re^{i\theta}\).
Observe que una vez que se obtienen las raíces en el paso final, entonces pueden convertirse a forma estándar si es necesario. Consideremos un ejemplo de este concepto. Tenga en cuenta que según Corolario\(\PageIndex{1}\), hay exactamente raíces\(3\) cubitas de un número complejo.
Encuentra las tres raíces cubitas de\(i.\) En otras palabras, encuentra todas\(z\) tales que\(z^3 = i\).
Solución
Primero, convierte cada número a forma polar:\(z = re^{i\theta}\) y\(i = 1 e^{i \pi/2}\). La ecuación ahora se convierte en\[(re^{i\theta})^3 = r^3 e^{3i\theta} = 1 e^{i \pi/2} \nonumber\]
Por lo tanto, las dos ecuaciones que necesitamos resolver son\(r^3 = 1\) y\(3i\theta = i \pi/2\). Dado eso\(r \in \mathbb{R}\) y de\(r^3 = 1\) ello se deduce que\(r=1\).
Resolver la segunda ecuación es la siguiente. Primero divide por\(i\). Entonces, como el argumento de no\(i\) es único\(3\theta = \pi/2 + 2\pi\ell\) para lo que escribimos\(\ell = 0,1,2\).
\[\begin{aligned} 3\theta &= \pi/2 + 2\pi\ell \; \mbox{for} \; \ell = 0,1,2 \\ \theta &= \pi/6 + \frac{2}{3} \pi\ell \; \mbox{for} \; \ell = 0,1,2 \end{aligned}\]
Para\(\ell = 0\):\[\theta = \pi/6 + \frac{2}{3} \pi (0) = \pi/6 \nonumber\]
Para\(\ell = 1\):\[\theta = \pi/6 + \frac{2}{3} \pi(1) = \frac{5}{6} \pi \nonumber\]
Para\(\ell = 2\):\[\theta = \pi/6 + \frac{2}{3} \pi(2) = \frac{3}{2} \pi \nonumber\]
Por lo tanto, las tres raíces están dadas por\[1e^{i \pi/6}, 1e^{i \frac{5}{6}\pi}, 1e^{i \frac{3}{2}\pi} \nonumber\]
Escritas en forma estándar, estas raíces son, respectivamente,\[\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}, -i \nonumber\]
La capacidad de encontrar\(k^{th}\) raíces también se puede utilizar para facturar algunos polinomios.
Facturar el polinomio\(x^{3}-27.\)
Solución
Primero encuentra las raíces cubicas de 27. Por el procedimiento anterior, estas raíces cubicas son\[3,3\left( \displaystyle \frac{-1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) , \nonumber\] y\[3\left( \displaystyle\frac{-1}{2}-i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right). \nonumber\]
Es posible que desee verificar esto usando los pasos anteriores.
Por lo tanto,\[x^{3}-27 = \left( x-3\right) \left( x-3\left( \frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \left( x-3\left( \frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \nonumber\]
Observe también\[\left( x-3\left( \frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \left( x-3\left( \frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) = x^{2}+3x+9 \nonumber\] y así\[x^{3}-27=\left( x-3\right) \left( x^{2}+3x+9\right) \nonumber\] donde el polinomio cuadrático\(x^{2}+3x+9\) no se puede factorizar sin usar números complejos.
Tenga en cuenta que a pesar de que el polinomio\(x^{3}-27\) tiene todos los coeficientes reales, tiene algunos ceros complejos,\(3\left( \displaystyle \frac{-1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ,\) y\(3\left( \displaystyle\frac{-1}{2}-i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Estos ceros son conjugados complejos entre sí. Siempre ocurre que si un polinomio tiene coeficientes reales y una raíz compleja, también tendrá una raíz igual al conjugado complejo.