6.4: La fórmula cuadrática
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- Usa la Fórmula Cuadrática para encontrar las raíces complejas de una ecuación cuadrática.
Las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática\(ax^{2}+bx+c=0\) donde\(a,b,c\) son números reales se obtienen resolviendo la fórmula cuadrática familiar dada por\[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\nonumber \]
Al trabajar con números reales, no podemos resolver esta fórmula si\(b^{2}-4ac<0.\) Sin embargo, los números complejos nos permiten encontrar raíces cuadradas de números negativos, y la fórmula cuadrática sigue siendo válida para encontrar raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. En este caso hay exactamente dos raíces cuadradas distintas (complejas) de\(b^{2}-4ac\), que son\(i\sqrt{4ac-b^{2}}\) y\(-i\sqrt{4ac-b^{2}}\).
Aquí hay un ejemplo.
Encuentre las soluciones para\(x^{2}+2x+5=0\).
Solución
En términos de la ecuación cuadrática anterior,\(a=1\),\(b=2\), y\(c=5\). Por lo tanto, podemos usar la fórmula cuadrática con estos valores, que se convierte en
\[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{\left(2\right)^{2} - 4 (1)(5)}}{2(1)} \nonumber\]
Resolviendo esta ecuación, vemos que las soluciones vienen dadas por\[x=\frac{-2i\pm \sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i \nonumber\]
Podemos verificar que estas son soluciones de la ecuación original. Vamos a mostrar\(x = -1+2i\) y salir\(x = -1-2i\) como ejercicio.
\[\begin{aligned} x^{2}+2x+5 &= (-1+2i)^2 + 2(-1+2i) + 5 \\ &= 1 - 4i - 4 -2 + 4i + 5 \\ &= 0\end{aligned}\]
De ahí\(x = -1+2i\) que sea una solución.
¿Y si los coeficientes de la ecuación cuadrática son en realidad números complejos? ¿La fórmula se mantiene incluso en este caso? La respuesta es sí. Esto es una pista sobre cómo hacer el Ejercicio 6.E.26 a continuación, un caso especial del teorema fundamental del álgebra, y un ingrediente en la prueba de algunas versiones de este teorema.
Considera el siguiente ejemplo.
Encuentre las soluciones para\(x^{2}-2ix-5=0\).
Solución
En términos de la ecuación cuadrática anterior,\(a=1\),\(b=-2i\), y\(c=-5\). Por lo tanto, podemos usar la fórmula cuadrática con estos valores, que se convierte en\[x= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{2i \pm \sqrt{\left(-2i\right)^{2} - 4 (1)(-5)}}{2(1)} \nonumber\]
Resolviendo esta ecuación, vemos que las soluciones vienen dadas por\[x=\frac{2i\pm \sqrt{-4+20}}{2}=\frac{2i\pm 4}{2}=i\pm 2 \nonumber\]
Podemos verificar que estas son soluciones de la ecuación original. Vamos a mostrar\(x = i + 2\) y salir\(x = i-2\) como ejercicio.
\[\begin{aligned} x^{2}-2ix-5 &= (i+2)^2 - 2i (i+2) - 5 \\[4pt] &= -1 + 4i + 4 + 2 - 4i - 5 \\[4pt] &= 0\end{aligned}\]
De ahí\(x = i+2\) que sea una solución.
Concluimos esta sección afirmando un teorema esencial.
Cualquier polinomio de grado al menos\(1\) con coeficientes complejos tiene una raíz que es un número complejo.