8.E: Ejercicios
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A continuación, se dan las coordenadas polares\((r,θ)\) para un punto en el plano. Encuentra las coordenadas cartesianas correspondientes.
- \((2,\pi /4)\)
- \((-2, \pi/4)\)
- \((3, \pi/3)\)
- \((-3, \pi/3)\)
- \((2,5\pi /6)\)
- \((-2, 11\pi /6)\)
- \((2,\pi /2)\)
- \((1,3\pi /2)\)
- \((-3, 3\pi /4)\)
- \((3, 5\pi /4)\)
- \((-2, \pi /6)\)
Considera las siguientes coordenadas cartesianas\((x, y)\). Encuentra las coordenadas polares correspondientes a estos puntos.
- \((-1,1)\)
- \((\sqrt{3},-1)\)
- \((0,2)\)
- \((-5,0)\)
- \((-2\sqrt{3},2)\)
- \((2,-2)\)
- \((-1,\sqrt{3})\)
- \((-1,-\sqrt{3})\)
Las siguientes relaciones están escritas en términos de coordenadas cartesianas\((x, y)\). Reescribirlos en términos de coordenadas polares,\((r,\theta )\).
- \(y=x^2\)
- \(y=2x+6\)
- \(x^2+y^2=4\)
- \(x^2-y^2=1\)
Utilice una calculadora o sistema de álgebra computacional para graficar las siguientes relaciones polares.
- \(r=1-\sin (2\theta ),\:\theta\in [0,2\pi ]\)
- \(r=\sin (4\theta ),\:\theta\in [0,2\pi ]\)
- \(r=\cos (3\theta )+\sin (2\theta ),\: \theta\in [0,2\pi]\)
- \(r=\theta,\:\theta\in [0,15]\)
Grafica la ecuación polar\(r = 1+\sinθ\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 2+\sinθ\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 1+2 \sinθ\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 2+\sin(2θ)\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 1+\sin(2θ)\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 1+\sin(3θ)\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Describir cómo resolver para\(r\) y\(θ\) en términos de\(x\) y\(y\) en coordenadas polares.
Este problema se refiere a las parábolas, elipses e hipérbolas y sus ecuaciones. Dejar\(l\),\(e > 0\) y considerar\[r=\frac{l}{1\pm e\cos\theta}\nonumber\] Mostrar que si\(e = 0\), la gráfica de esta ecuación da un círculo. Mostrar que si\(0 < e < 1\), la gráfica es una elipse, si\(e = 1\) es una parábola y si\(e > 1\), es una hipérbola.
Las siguientes son las coordenadas cilíndricas de los puntos,\((r,θ,z)\). Encuentra las coordenadas cartesianas y esféricas de cada punto.
- \((5,\frac{5\pi}{6},-3)\)
- \((3,\frac{\pi}{3},4)\)
- \((4,\frac{2\pi}{3},1)\)
- \((2,\frac{3\pi}{4},-2)\)
- \((3,\frac{3\pi}{2},-1)\)
- \((8,\frac{11\pi}{6},-11)\)
Las siguientes son las coordenadas cartesianas de puntos,\((x, y,z)\). Encuentra las coordenadas cilíndricas y esféricas de estos puntos.
- \((\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{5}{2}\sqrt{2},-3)\)
- \((\frac{3}{2},\frac{3}{2}\sqrt{3},2)\)
- \((-\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{5}{2}\sqrt{2},11)\)
- \((-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\sqrt{3},23)\)
- \((-\sqrt{3},-1,-5)\)
- \((\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\sqrt{3},-7)\)
- \((\sqrt{2},\sqrt{6},2\sqrt{2})\)
- \((-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{3}{2},1)\)
- \((-\frac{3}{4}\sqrt{2},\frac{3}{4}\sqrt{2},-\frac{3}{2}\sqrt{3})\)
- \((-\sqrt{3}1,2\sqrt{3})\)
- \((-\frac{1}{4}\sqrt{2},\frac{1}{4}\sqrt{6},-\frac{1}{2}\sqrt{2})\)
Las siguientes son coordenadas esféricas de puntos en la forma\((ρ,φ,θ)\). Encuentra las coordenadas cartesianas y cilíndricas de cada punto.
- \((4,\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6})\)
- \((2,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})\)
- \((3,\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2})\)
- \((4,\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{4})\)
- \((4,\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{6})\)
- \((4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{3})\)
Describir la superficie\(φ = π/4\) en coordenadas cartesianas, donde\(φ\) está el ángulo polar en coordenadas esféricas.
Describir la superficie\(θ = π/4\) en coordenadas esféricas, donde\(θ\) se mide el ángulo desde el\(x\) eje positivo.
Describir la superficie\(r=5\) en coordenadas cartesianas, donde\(r\) se encuentra una de las coordenadas cilíndricas.
Describir la superficie\(\rho =4\) en coordenadas cartesianas, donde\(\rho\) está la distancia al origen.
Dar el cono descrito por\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas.
Lo siguiente se describe en las coordenadas cartesianas. Reescribirlos en términos de coordenadas esféricas.
- \(z=x^2+y^2\)
- \(x^2-y^2=1\)
- \(z^2+x^2+y^2=6\)
- \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)
- \(y=x\)
- \(z=x\)
Lo siguiente se describe en las coordenadas cartesianas. Reescribirlos en términos de coordenadas cilíndricas.
- \(z=x^2+y^2\)
- \(x^2-y^2=1\)
- \(z^2+x^2+y^2=6\)
- \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)
- \(y=x\)
- \(z=x\)