8.E: Ejercicios
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\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)A continuación, se dan las coordenadas polares\((r,θ)\) para un punto en el plano. Encuentra las coordenadas cartesianas correspondientes.
- \((2,\pi /4)\)
- \((-2, \pi/4)\)
- \((3, \pi/3)\)
- \((-3, \pi/3)\)
- \((2,5\pi /6)\)
- \((-2, 11\pi /6)\)
- \((2,\pi /2)\)
- \((1,3\pi /2)\)
- \((-3, 3\pi /4)\)
- \((3, 5\pi /4)\)
- \((-2, \pi /6)\)
Considera las siguientes coordenadas cartesianas\((x, y)\). Encuentra las coordenadas polares correspondientes a estos puntos.
- \((-1,1)\)
- \((\sqrt{3},-1)\)
- \((0,2)\)
- \((-5,0)\)
- \((-2\sqrt{3},2)\)
- \((2,-2)\)
- \((-1,\sqrt{3})\)
- \((-1,-\sqrt{3})\)
Las siguientes relaciones están escritas en términos de coordenadas cartesianas\((x, y)\). Reescribirlos en términos de coordenadas polares,\((r,\theta )\).
- \(y=x^2\)
- \(y=2x+6\)
- \(x^2+y^2=4\)
- \(x^2-y^2=1\)
Utilice una calculadora o sistema de álgebra computacional para graficar las siguientes relaciones polares.
- \(r=1-\sin (2\theta ),\:\theta\in [0,2\pi ]\)
- \(r=\sin (4\theta ),\:\theta\in [0,2\pi ]\)
- \(r=\cos (3\theta )+\sin (2\theta ),\: \theta\in [0,2\pi]\)
- \(r=\theta,\:\theta\in [0,15]\)
Grafica la ecuación polar\(r = 1+\sinθ\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 2+\sinθ\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 1+2 \sinθ\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 2+\sin(2θ)\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 1+\sin(2θ)\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Grafica la ecuación polar\(r = 1+\sin(3θ)\) para\(θ ∈ [0, 2π]\).
Describir cómo resolver para\(r\) y\(θ\) en términos de\(x\) y\(y\) en coordenadas polares.
Este problema se refiere a las parábolas, elipses e hipérbolas y sus ecuaciones. Dejar\(l\),\(e > 0\) y considerar\[r=\frac{l}{1\pm e\cos\theta}\nonumber\] Mostrar que si\(e = 0\), la gráfica de esta ecuación da un círculo. Mostrar que si\(0 < e < 1\), la gráfica es una elipse, si\(e = 1\) es una parábola y si\(e > 1\), es una hipérbola.
Las siguientes son las coordenadas cilíndricas de los puntos,\((r,θ,z)\). Encuentra las coordenadas cartesianas y esféricas de cada punto.
- \((5,\frac{5\pi}{6},-3)\)
- \((3,\frac{\pi}{3},4)\)
- \((4,\frac{2\pi}{3},1)\)
- \((2,\frac{3\pi}{4},-2)\)
- \((3,\frac{3\pi}{2},-1)\)
- \((8,\frac{11\pi}{6},-11)\)
Las siguientes son las coordenadas cartesianas de puntos,\((x, y,z)\). Encuentra las coordenadas cilíndricas y esféricas de estos puntos.
- \((\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{5}{2}\sqrt{2},-3)\)
- \((\frac{3}{2},\frac{3}{2}\sqrt{3},2)\)
- \((-\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{5}{2}\sqrt{2},11)\)
- \((-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\sqrt{3},23)\)
- \((-\sqrt{3},-1,-5)\)
- \((\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\sqrt{3},-7)\)
- \((\sqrt{2},\sqrt{6},2\sqrt{2})\)
- \((-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{3}{2},1)\)
- \((-\frac{3}{4}\sqrt{2},\frac{3}{4}\sqrt{2},-\frac{3}{2}\sqrt{3})\)
- \((-\sqrt{3}1,2\sqrt{3})\)
- \((-\frac{1}{4}\sqrt{2},\frac{1}{4}\sqrt{6},-\frac{1}{2}\sqrt{2})\)
Las siguientes son coordenadas esféricas de puntos en la forma\((ρ,φ,θ)\). Encuentra las coordenadas cartesianas y cilíndricas de cada punto.
- \((4,\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6})\)
- \((2,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})\)
- \((3,\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2})\)
- \((4,\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{4})\)
- \((4,\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{6})\)
- \((4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{3})\)
Describir la superficie\(φ = π/4\) en coordenadas cartesianas, donde\(φ\) está el ángulo polar en coordenadas esféricas.
Describir la superficie\(θ = π/4\) en coordenadas esféricas, donde\(θ\) se mide el ángulo desde el\(x\) eje positivo.
Describir la superficie\(r=5\) en coordenadas cartesianas, donde\(r\) se encuentra una de las coordenadas cilíndricas.
Describir la superficie\(\rho =4\) en coordenadas cartesianas, donde\(\rho\) está la distancia al origen.
Dar el cono descrito por\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas.
Lo siguiente se describe en las coordenadas cartesianas. Reescribirlos en términos de coordenadas esféricas.
- \(z=x^2+y^2\)
- \(x^2-y^2=1\)
- \(z^2+x^2+y^2=6\)
- \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)
- \(y=x\)
- \(z=x\)
Lo siguiente se describe en las coordenadas cartesianas. Reescribirlos en términos de coordenadas cilíndricas.
- \(z=x^2+y^2\)
- \(x^2-y^2=1\)
- \(z^2+x^2+y^2=6\)
- \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)
- \(y=x\)
- \(z=x\)