9.E: Ejercicios
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Supongamos que tiene\(\mathbb{R}^2\) y la\(+\) operación es la siguiente: La multiplicación\[(a,b) + (c,d) = (0,b+d)\nonumber\] escalar se define de la manera habitual. ¿Es este un espacio vectorial? Explique por qué o por qué no.
Supongamos que tiene\(\mathbb{R}^2\) y la multiplicación escalar se define como\(c(a,b) = (a, cb)\) mientras que la adición de vectores se define como de costumbre. ¿Es este un espacio vectorial? Explique por qué o por qué no.
Supongamos que tiene\(\mathbb{R}^2\) y la\(+\) operación se define de la siguiente manera. \[(a,b) + (c,d) = (a−c,b−d)\nonumber\]La multiplicación escalar es la misma que de costumbre. ¿Es este un espacio vectorial? Explique por qué o por qué no.
Considere todas las funciones definidas en un conjunto no vacío que tienen valores en\(\mathbb{R}\). ¿Es este un espacio vectorial? Explique. Las operaciones se definen de la siguiente manera. Aquí\(f ,g\) significa funciones y\(a\) es un escalar\[\begin{aligned} (f+g)(x)&=f(x)+g(x) \\ (af)(x)&=a(f(x))\end{aligned}\]
Denotar por\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) el conjunto de secuencias valoradas reales. Porque\(\vec{a} ≡ \{a_n\}_{n=1}^∞\),\(\vec{b} ≡ \{b_n\}_{n=1}^\infty\) dos de estos, definen su suma por dar\[\vec{a}+\vec{b}=\{a_n+b_n\}_{n=1}^\infty\nonumber\] y definen la multiplicación escalar por\[c\vec{a}=\{ca_n\}_{n=1}^\infty\text{ where }\vec{a}=\{a+n\}_{n=1}^\infty\nonumber\] ¿Es este un caso especial de Ejercicio\(\PageIndex{5}\)? ¿Es este un espacio vectorial?
Dejar\(\mathbb{C}^2\) ser el conjunto de pares ordenados de números complejos. Definir la suma y la multiplicación escalar de la manera habitual. \[(z,w) + (\hat{z},\hat{w}) = (z+\hat{z},w+\hat{w}), u(z,w) ≡ (uz,uw)\nonumber\]Aquí los escalares son de\(\mathbb{C}\). Mostrar este es un espacio vectorial.
Let\(V\) Ser el conjunto de funciones definidas en un conjunto no vacío que tienen valores en un espacio vectorial\(W\). ¿Es este un espacio vectorial? Explique.
Considerar el espacio de\(m\times n\) matrices con operación de suma y multiplicación escalar definida de la manera habitual. Es decir, si\(A,B\) son dos\(m\times n\) matrices y\(c\) una escalar,\[(A+B)_{ i j} = A_{i j} +B_{i j}, \:(cA)_{ i j} ≡ c (A_{ij})\nonumber\]
Considera el conjunto de matrices\(n\times n\) simétricas. Es decir,\(A = A^T\). En otras palabras,\(A_{i j} = A_{ji}\). Mostrar que este conjunto de matrices simétricas es un espacio vectorial y un subespacio del espacio vectorial de\(n\times n\) matrices.
Considera el conjunto de todos los vectores en\(\mathbb{R}^2 ,(x, y)\) tal que\(x + y ≥ 0\). Que las operaciones espaciales vectoriales sean las habituales. ¿Es este un espacio vectorial? ¿Es un subespacio de\(\mathbb{R}^2\)?
Considerar los vectores en\(\mathbb{R}^2 ,(x, y)\) tal que\(xy = 0\). ¿Es este un subespacio de\(\mathbb{R}^2\)? ¿Es un espacio vectorial? La suma y multiplicación escalar son las operaciones habituales.
Definir la operación de adición de vectores en\(\mathbb{R}^2\) by\((x, y) + (u, v) = (x+u, y+v+1)\). Que la multiplicación escalar sea la operación habitual. ¿Es este un espacio vectorial con estas operaciones? Explique.
Que los vectores sean números reales. Definir las operaciones espaciales vectoriales de la manera habitual. Es decir,\(x+y\) significa sumar los dos números y\(xy\) significa multiplicarlos. ¿\(\mathbb{R}\)Con estas operaciones es un espacio vectorial? Explique.
Que los escalares sean los números racionales y que los vectores sean números reales que son la forma de\(a+b\sqrt{2}\) los números\(a,b\) racionales. Demostrar que con las operaciones habituales, se trata de un espacio vectorial.
Dejar\(\mathbb{P}_2\) ser el conjunto de todos los polinomios de grado\(2\) o menos. Es decir, estos son de la forma\(a+bx+cx^2\). La suma se define como\[(a+bx+cx^2)+(\hat{d}+\hat{b}x+\hat{c}x^2)=(a+\hat{a})+(b+\hat{b})x+(c+\hat{c})x^2\nonumber\] y la multiplicación escalar se define como\[d(a+bx+cx^2)=da+dbx+cdx^2\nonumber\] Mostrar eso, con esta definición de las operaciones espaciales vectoriales que\(\mathbb{P}_2\) es un espacio vectorial. Ahora vamos a\(V\) denotar esos polinomios\(a+bx+cx^2\) tales que\(a+b+c = 0\). ¿Es\(V\) un subespacio de\(\mathbb{P}_2\)? Explique.
Dejar\(M,N\) ser subespacios de un espacio vectorial\(V\) y considerar\(M +N\) definidos como el conjunto de todos\(m+n\) donde\(m ∈ M\) y\(n ∈ N\). Demostrar que\(M +N\) es un subespacio de\(V\).
Dejar\(M,N\) ser subespacios de un espacio vectorial\(V\). Entonces\(M ∩N\) consiste en todos los vectores que están en ambos\(M\) y\(N\). Demostrar que\(M ∩N\) es un subespacio de\(V\).
Dejar\(M,N\) ser subespacios de un espacio vectorial\(\mathbb{R}^2\). Entonces\(N ∪M\) consiste en todos los vectores que están en cualquiera\(M\) o\(N\). Demostrar que no\(N ∪M\) es necesariamente un subespacio de\(\mathbb{R}^2\) dando un ejemplo donde\(N ∪M\) no logra ser un subespacio.
\(X\)Consiste en las funciones de valor real que se definen en un intervalo\([a,b]\). Porque\(f ,g ∈ X, f +g\) es el nombre de la función que satisface\((f +g) (x) = f (x) +g(x)\). Para\(s\) un número real,\((s f) (x) = s(f (x))\). Mostrar este es un espacio vectorial.
- Responder
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Los axiomas de un espacio vectorial se mantienen todos porque se mantienen para un espacio vectorial. Lo único que queda por verificar son las aseveraciones sobre las cosas que se supone que existen. \(0\)sería la función cero que envía todo a\(0\). Esta es una identidad aditiva. Ahora si\(f\) es una función,\(−f (x) ≡ (−f (x))\). Entonces\[(f + (−f)) (x) ≡ f (x) + (−f) (x) ≡ f (x) + (−f (x)) = 0\nonumber\] De ahí\(f + −f = 0\). Para cada uno\(x ∈ [a,b]\), vamos\(f_x (x) = 1\) y\(f_x (y) = 0\) si\(y\neq x\). Entonces estos vectores son obviamente linealmente independientes.
Considerar funciones definidas al\(\{1, 2,\cdots ,n\}\) tener valores en\(\mathbb{R}\). Explicar cómo, si\(V\) es el conjunto de todas esas funciones, se\(V\) puede considerar como\(\mathbb{R}^n\).
- Responder
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Dejar\(f (i)\) ser el\(i\) th componente de un vector\(\vec{x} ∈ \mathbb{R}^n\). Así un elemento típico en\(\mathbb{R}^n\) es\((f (1),\cdots , f (n))\).
Que los vectores sean polinomios de grado no más que\(3\). Mostrar que con las definiciones habituales de multiplicación y adición escalar en donde, para\(p(x)\) un polinomio,\((ap) (x) = ap(x)\) y para\(p,q\) polinomios\((p+q) (x) = p(x) +q(x)\), este es un espacio vectorial.
- Responder
-
Esto es solo un subespacio del espacio vectorial de funciones porque está cerrado con respecto a la suma vectorial y la multiplicación escalar. De ahí que este sea un espacio vectorial.
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y supongamos que\(\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_l\}\) es un conjunto de vectores en\(V\). Espectáculo que\(\vec{0}\) está en\(span\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}\).
- Responder
-
\(\sum\limits_{i=1}^k0\vec{x}_k=\vec{0}\)
Determinar si\(p(x) = 4x^2 −x\) está en el lapso dado por\[span \{x^2+x,\:x^2-1,\:-x+2\}\nonumber\]
Determinar si\(p(x) = −x^2 +x+2\) está en el lapso dado por\[span\{ x^2 +x+1,\: 2x^2 +x\}\nonumber\]
Determinar si\(A=\left[\begin{array}{cc}1&3\\0&0\end{array}\right]\) está en el lapso dado por\[span\left\{\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Mostrar que el conjunto de expansión en Ejercicio\(\PageIndex{26}\) es un conjunto de expansión para\(M_{22}\), el espacio vectorial de todas las\(2\times 2\) matrices.
Considerar el espacio vectorial de polinomios de grado como máximo\(2\),\(\mathbb{P}_2\). Determinar si lo siguiente es una base para\(\mathbb{P}_2\). \[\{x^2 +x+1,\: 2x^2 +2x+1,\: x+1\}\nonumber\]Pista: Hay un isomorfismo de\(\mathbb{R}^3\) a\(\mathbb{P}_2\). Se define de la siguiente manera:\[T\vec{e}_1 = 1,\: T\vec{e}_2 = x,\: T\vec{e}_3= x^2\nonumber\] Luego extender\(T\) linealmente. Así\[T\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=x^2+x+1,\:T\left[\begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right]=2x^2+2x+1,\:T\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=1+x\nonumber\] se deduce que si\[\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber\] es una base para\(\mathbb{R}^3\), entonces los polinomios serán una base para\(\mathbb{P}_2\) porque serán independientes. Recordemos que un isomorfismo toma un conjunto linealmente independiente a un conjunto linealmente independiente. También, dado que\(T\) es un isomorfismo, conserva todas las relaciones lineales.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_2\) para el subespacio\[span\{ 1+x+x^2 ,\: 1+2x,\: 1+5x−3x^2\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros. Pista: Esta es la situación en la que tienes un conjunto de expansión y quieres cortarlo para formar un conjunto linealmente independiente que también es un conjunto de expansión. Usa el mismo isomorfismo anterior. Dado que\(T\) es un isomorfismo, conserva todas las relaciones lineales por lo que si tal se puede encontrar en\(\mathbb{R}^3\), las mismas relaciones lineales estarán presentes en\(\mathbb{P}_2\).
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ 1+x−x^2 +x^3 ,\: 1+2x+3x^3 ,\:−1+3x+5x^2 +7x^3 ,\: 1+6x+4x^2 +11x^3\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ 1+x−x^2 +x^3 ,\: 1+2x+3x^3 ,\:−1+3x+5x^2 +7x^3 ,\: 1+6x+4x^2 +11x^3\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 7x^3 +x^2 +4x+2,\: 5x^3 +3x+2\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 +2x^2 +x−2,\: 3x^3 +3x^2 +2x−2,\: 3x^3 +x+2,\: 3x^3 +x+2\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −5x^2 +x+5,\: 3x^3 −4x^2 +2x+5,\: 5x^3 +8x^2 +2x−5,\: 11x^3 +6x+5\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{x^3 −3x^2 +x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3,\: 7x^3 +7x^2 +3x−3,\: 7x^3 +4x+3\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 4x^3 +x^2 +2x+1,\: 3x^3 +2x−1\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 13x^3 +x^2 +8x+4,\: 3x^3 +2x−1\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −3x^2 +x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3,\:−5x^3 +5x^2 −4x−6,\: 7x^3 +4x−3\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 7x^3 −x^2 +4x+4,\: 5x^3 +3x−2\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 3x^3 +4x^2 +x−2,\: 7x^3 −x^2 +4x+4\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −4x^2 +x+4,\: 3x^3 −3x^2 +2x+4,\:−3x^3 +3x^2 −2x−4,\:−2x^3 +4x^2 −2x−4\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 +2x^2 +x−2,\: 3x^3 +3x^2 +2x−2,\: 5x^3 +x^2 +2x+2,\: 10x^3 +10x^2 +6x−6\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 +x^2 +x−1,\: 3x^3 +2x^2 +2x−1,\: x^3 +1,\: 4x^3 +3x^2 +2x−1\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Encontrar una base en\(\mathbb{P}_3\) para el subespacio\[span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: x^3 +2x^2 −1,\: 4x^3 +x^2 +2x+1\}\nonumber\] Si los tres vectores anteriores no dan una base, exhibir uno de ellos como una combinación lineal de los otros.
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 +x^2 −x−1,\: 3x^3 +2x^2 +2x−1\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 −2x^2 −x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 −3x^2 −x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 −2x^2 −3x+2,\: 3x^3 −x^2 −6x+2,\:−8x^3 +18x+10\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 −3x^2 −3x+3,\: 3x^3 −2x^2 −6x+3,\:−8x^3 +18x+40\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 4x^3 +2x+2\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Aquí hay algunos vectores. \[\{ x^3 +x^2 +2x−1,\: 3x^3 +2x^2 +4x−1,\: 7x^3 +8x+23\}\nonumber\]Si estos son linealmente independientes, extender a una base para todos\(\mathbb{P}_3\).
Determine si el siguiente conjunto es linealmente independiente. Si es linealmente dependiente, escriba un vector como una combinación lineal de los otros vectores del conjunto. \[\{ x+1,\: x^2 +2,\: x^2 −x−3\}\nonumber\]
Determine si el siguiente conjunto es linealmente independiente. Si es linealmente dependiente, escriba un vector como una combinación lineal de los otros vectores del conjunto. \[\{ x^2 +x,\:−2x^2 −4x−6,\: 2x−2\}\nonumber\]
Determine si el siguiente conjunto es linealmente independiente. Si es linealmente dependiente, escriba un vector como una combinación lineal de los otros vectores del conjunto. \[\left\{\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{rr}-7&2\\-2&-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}4&0\\1&2\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Determine si el siguiente conjunto es linealmente independiente. Si es linealmente dependiente, escriba un vector como una combinación lineal de los otros vectores del conjunto. \[\left\{\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Si tienes\(5\) vectores en\(\mathbb{R}^5\) y los vectores son linealmente independientes, ¿siempre se puede concluir que abarcan\(\mathbb{R}^5\)?
- Responder
-
Sí. Si no, existiría un vector que no estuviera en el lapso. Pero entonces podrías agregar en este vector y obtener un conjunto linealmente independiente de vectores con más vectores que una base.
Si tienes\(6\) vectores en\(\mathbb{R}^5\), ¿es posible que sean linealmente independientes? Explique.
- Responder
-
No. No pueden ser.
\(\mathbb{P}_3\)Dejen ser los polinomios de grado no más que\(3\). Determinar cuáles de las siguientes son las bases para este espacio vectorial.
- \(\{ x+1,\: x^3 +x^2 +2x,\: x^2 +x,\: x^3 +x^2 +x\}\)
- \(\{ x^3 +1,\: x^2 +x,\: 2x^3 +x^2 ,\: 2x^3 −x^2 −3x+1\}\)
- Responder
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- Supongamos\[c_1(x^3 +1)+c_2 (x^2 +x) +c_3( 2x^3 +x^2) +c_4 (2x^3 −x^2 −3x+1) = 0\nonumber\] Entonces combinar los términos según el poder de\(x\). \[(c_1 +2c_3 +2c_4) x^3 + (c_2 +c_3 −c_4) x^2 + (c_2 −3c_4) x+ (c_1 +c_4) = 0\nonumber\]¿Hay una solución no nula para el sistema?\[\begin{aligned}c_1 +2c_3 +2c_4 &= 0\\ c_2 +c_3 −c_4 &= 0\\ c_2 −3c_4 &= 0\\ c_1 +c_4 &= 0\end{aligned}\] La solución es:\[[c_1 = 0,\: c_2 = 0,\: c_3 = 0,\: c_4 = 0]\nonumber\] Por lo tanto, estos son linealmente independientes.
En el contexto del problema anterior, considerar polinomios\[\{a_ix^3 +b_ix^2 +c_ix+d_i ,\: i = 1, 2, 3, 4\}\nonumber\] Mostrar que esta colección de polinomios es linealmente independiente en un intervalo\([s,t]\) si y sólo si\[\left[\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2&b_2&c_2&d_2 \\ a_3&b_3&c_3&d_3\\ a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right]\nonumber\] es una matriz invertible.
- Responder
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Vamos a\(p_i(x)\) denotar el\(i\) th de estos polinomios. Supongamos\(\sum_i C_ip_i(x) = 0\). Entonces recogiendo términos según el exponente de\(x\), es necesario tener\[\begin{aligned}C_1a_1 +C_2a_2 +C_3a_3 +C_4a_4 &= 0\\ C_1b_1 +C_2b_2 +C_3b_3 +C_4b_4 &= 0\\ C_1c_1 +C_2c_2 +C_3c_3 +C_4c_4 &= 0\\ C_1d_1 +C_2d_2 +C_3d_3 +C_4d_4 &= 0\end{aligned}\] La matriz de coeficientes es solo la transposición de la matriz anterior. Existe una solución no trivial si y sólo si el determinante de esta matriz es igual\(0\).
Que el campo de los escalares sea\(\mathbb{Q}\), los números racionales y que los vectores sean de la forma\(a+b\sqrt{2}\) donde\(a,b\) están los números racionales. Mostrar que esta colección de vectores es un espacio vectorial con campo de escalares\(\mathbb{Q}\) y dar una base para este espacio vectorial.
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Cuando agregas dos de estos obtienes uno y cuando multiplicas uno de estos por un escalar, obtienes otro. Una base es\(\{1,\sqrt{2}\}\). Por definición, el lapso de estos da la colección de vectores. ¿Son independientes? Decir\(a + b\sqrt{2} = 0\) dónde\(a,b\) están los números racionales. Si\(a\neq 0\), entonces\(b\sqrt{2} = −a\) lo que no puede suceder ya que a es racional. Si\(b\neq 0\), entonces\(−a = b\sqrt{2}\) lo que de nuevo no puede suceder porque a la izquierda hay un número racional y a la derecha es un irracional. De ahí ambos\(a,b = 0\) y así esto es una base.
Supongamos que\(V\) es un espacio vectorial dimensional finito. Con base en el teorema de intercambio anterior, se demostró que dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores en ellas. Dar una prueba diferente de este hecho utilizando el material anterior en el libro. Pista: Supongamos\(\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_n\}\) y\(\{\vec{y}_1,\cdots , \vec{y}_m\}\) son dos bases con\(m < n\). Luego definir\[φ : \mathbb{R}^n \mapsto V,\: ψ :\mathbb{R}^m\mapsto V\nonumber\] por\[φ (\vec{a}) = \sum\limits_{k=1}^n a_k\vec{x}_k ,\: ψ(\vec{b}) =\sum\limits_{j=1}^m b_j\vec{y}_j\nonumber\] Considerar la transformación lineal,\(ψ^{−1}\circ φ\). Argumenta que es uno a uno y sobre mapeo de\(\mathbb{R}^n\) a\(\mathbb{R}^m\). Consideremos ahora una matriz de esta transformación lineal y su forma reducida de fila-escalón.
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Esto es obvio porque cuando agregas dos de estos obtienes uno y cuando multiplicas uno de estos por un escalar, obtienes otro. Una base es\(\{1,\sqrt{2}\}\). Por definición, el lapso de estos da la colección de vectores. ¿Son independientes? Decir\(a+b\sqrt{2} = 0\) dónde\(a,b\) están los números racionales. Si\(a\neq 0\), entonces\(b\sqrt{2} = −a\) lo que no puede suceder ya que\(a\) es racional. Si\(b\neq 0\), entonces\(−a = b\sqrt{2}\) lo que de nuevo no puede suceder porque a la izquierda hay un número racional y a la derecha es un irracional. De ahí ambos\(a,b = 0\) y así esto es una base.
Vamos\(M =\{\vec{u} = (u_1,\:u_2,\:u_3,\:u_4)\in \mathbb{R}^4\: :\: |u_1| ≤ 4\}\). ¿Es\(M\) un subespacio de\(\mathbb{R}^4\)?
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Esto no es un subespacio. \(\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]\)está en él, pero no lo\(20\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]\) está.
Vamos\(M =\{\vec{u} = (u_1,\:u_2,\:u_3,\:u_4)\in \mathbb{R}^4\: :\: \sin(u_1) = 1\}\). ¿Es\(M\) un subespacio de\(\mathbb{R}^4\)?
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Esto no es un subespacio.
Dejar\(W\) ser un subconjunto de\(M_{22}\) dado por\[W = \{ A|A\in M_{22},A^T = A\}\nonumber\] En palabras,\(W\) es el conjunto de todas las\(2\times 2\) matrices simétricas. ¿Es\(W\) un subespacio de\(M_{22}\)?
Dejar\(W\) ser un subconjunto de\(M_{22}\) dado por\[W=\left\{\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \: |a,b,c,d\in\mathbb{R},\:a+b=c+d\right\}\nonumber\] Es\(W\) un subespacio de\(M_{22}\)?
Dejar\(W\) ser un subconjunto de\(P_3\) dado por\[W = \{ ax^3 +bx^2 +cx+d|\: a,b, c,d\in\mathbb{R},d = 0\}\nonumber\] Es\(W\) un subespacio de\(P_3\)?
Dejar\(W\) ser un subconjunto de\(P_3\) dado por\[W = \{ p(x) = ax^3 +bx^2 +cx+d|\: a,b, c,d\in\mathbb{R}, p(2) = 1\}\nonumber\] Es\(W\) un subespacio de\(P_3\)?
Dejar\(T\):\(\mathbb{P}_2\to\mathbb{R}\) ser una transformación lineal tal que\[T(x^2)=1;\: T(x^2+x)=5;\: T(x^2+x+1)=-1.\nonumber\] Find\(T(ax^2+bx+c)\).
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Por linealidad tenemos\(T(x^2 ) = 1,\: T(x) = T(x^2 +x−x^2 ) = T(x^2 +x)−T (x^2 ) = 5−1 = 5,\) y\(T(1) = T(x^2 +x+1−(x^2 +x)) = T(x^2 +x+1)−T(x^2 +x)) = −1−5 = −6\). Así\(T(ax^2 +bx+c) = aT(x^2 ) +bT(x) +cT(1) = a+5b−6c\).
Considera las siguientes funciones\(T\):\(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\). Explique por qué cada una de estas funciones no\(T\) es lineal.
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3z+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3z+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3z-\ln z\end{array}\right]\)
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned} T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x})=A\vec{x}\).
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\[\left[\begin{array}{rrr}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber\]
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned} T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x})=A\vec{x}\).
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\[\left[\begin{array}{rrr}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10\\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber\]
Considera las siguientes funciones\(T\):\(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\). Demostrar que cada uno es una transformación lineal y determinar para cada uno la matriz\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]\)
Supongamos que\[[A_1\cdots A_n]^{-1}\nonumber\] existe donde cada uno\(A_j\in\mathbb{R}^n\) y dejar vectores\(\{B_1,\cdots ,B_n\}\) en\(\mathbb{R}^m\) ser dados. Demostrar que siempre existe una transformación lineal\(T\) tal que\(T(A_i)=B_i\).
Dejar\(V\) y\(W\) ser subespacios de\(\mathbb{R}^n\) y\(\mathbb{R}^m\) respectivamente y let\(T\):\(V → W\) ser una transformación lineal. Supongamos que\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) es linealmente independiente. Demostrar que debe ser el caso que también\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) sea linealmente independiente.
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Si\(\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r=0\), entonces usando las propiedades de linealidad de\(T\) obtenemos\[0=T(0)=T\left(\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r\right)=\sum\limits_i^ra_iT(\vec{v}_r).\nonumber\] Ya que asumimos que\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) es linealmente independiente, debemos tener todo\(a_i = 0\), y por lo tanto concluimos que también\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) es linealmente independiente.
\[V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]Let Let\(T\vec{x}=A\vec{x}\) donde\(A\) esta la matriz\[\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber\] Dar una base para\(Im(T)\).
\[V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\4\\4\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]Let Let\(T\vec{x}=A\vec{x}\) donde\(A\) esta la matriz\[\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber\] Encontrar una base para\(Im(T)\). En este caso, los vectores originales no forman un conjunto independiente.
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Dado que el tercer vector es una combinación lineal de los dos primeros, entonces la imagen del tercer vector también será una combinación lineal de la imagen de los dos primeros. Sin embargo la imagen de los dos primeros vectores son linealmente independientes (¡check!) , y de ahí formar una base de la imagen. Por lo tanto, una base para\(Im(T)\) es:\[V=span\left\{\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}4\\2\\4\\5\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Si\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) es linealmente independiente y\(T\) es una transformación lineal uno a uno, mostrar que también\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) es linealmente independiente. Dar un ejemplo que demuestre que si sólo\(T\) es lineal, puede suceder que, aunque\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) es linealmente independiente, no lo\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) es. De hecho, muestran que puede suceder que cada uno de los\(T\vec{v}_j\) iguales\(0\).
Dejar\(V\) y\(W\) ser subespacios de\(\mathbb{R}^n\) y\(\mathbb{R}^m\) respectivamente y let\(T\):\(V → W\) ser una transformación lineal. Demuestre que si\(T\) está\(W\) encendido y si\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) es una base para\(V\), entonces\(span\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\} = W\).
Definir\(T\): de\(\mathbb{R}^4 → \mathbb{R}^3\) la siguiente manera. \[T\vec{x}=\left[\begin{array}{rrrr}3&2&1&8\\2&2&-2&6\\1&1&-1&3\end{array}\right]\vec{x}\nonumber\]Encuentra una base para\(Im(T)\). También encuentra una base para\(\text{ker}(T)\).
Definir\(T\): de\(\mathbb{R}^4 → \mathbb{R}^3\) la siguiente manera. \[T\vec{x}=\left[\begin{array}{rrr}1&2&0\\1&1&1\\0&1&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber\]donde a la derecha, es solo la multiplicación matricial del vector\(\vec{x}\) que se entiende. Explicar por qué\(T\) es un isomorfismo de\(\mathbb{R}^3\) a\(\mathbb{R}^3\).
Supongamos\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^3\) es una transformación lineal dada por\[T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber\] donde\(A\) es una\(3\times 3\) matriz. Demostrar que\(T\) es un isomorfismo si y sólo si\(A\) es invertible.
Supongamos\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^3\) es una transformación lineal dada por\[T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber\] donde\(A\) es una\(m\times n\) matriz. Demostrar que nunca\(T\) es un isomorfismo si\(m\neq n\). En particular, mostrar que si\(m>n\),\(T\) no puede estar encendido y si\(m<n\), entonces\(T\) no puede ser uno a uno.
Definir\(T\): de\(\mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^3\) la siguiente manera. \[T\vec{x}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\\0&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber\]donde a la derecha, es solo la multiplicación matricial del vector\(\vec{x}\) que se entiende. Demostrar que\(T\) es uno a uno. Siguiente vamos\(W = Im(T)\). Demostrar que\(T\) es un isomorfismo de\(\mathbb{R}^2\) y\(Im (T)\).
En el problema anterior, encuentra una\(2\times 3\) matriz\(A\) tal que la restricción de\(A\) a\(Im(T)\) da el mismo resultado que\(T^{−1}\) on\(Im(T)\). Pista: Podrías dejar\(A\) ser tal que\[A\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:A\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\nonumber\] ahora encuentre otro vector\(\vec{v} ∈ \mathbb{R}^3\) tal que\[\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right],\:\vec{v}\right\}\nonumber\] sea una base. Podrías escoger\[\vec{v}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\] por ejemplo. Explica por qué este funciona o uno de tu elección funciona. Entonces podrías definir\(A\vec{v}\) para igualar algún vector en\(\mathbb{R}^2\). Explique por qué habrá más de una matriz de este tipo\(A\) que entregará el isomorfismo inverso\(T^{−1}\) sobre\(Im(T)\).
Ahora vamos\(V\) a igualar\(span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]\right\}\) y dejar\(T\):\(V\to W\) ser una transformación lineal donde\[W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] y\[T\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:T\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber\]
\(T\)Explique por qué es un isomorfismo. Determinar una matriz\(A\) que, cuando se multiplica a la izquierda da el mismo resultado que\(T\) on\(V\) y una matriz\(B\) que entrega\(T^{−1}\) encendido\(W\). Pista: Necesitas tener\[A\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\\0&1\end{array}\right]\nonumber\]
Ahora agrandar\(\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]\) para obtener una base para\(\mathbb{R}^3\). Podrías agregar\(\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\) por ejemplo, y luego elegir otro vector\(\mathbb{R}^4\) y dejar que\(A\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\) sea igual a este otro vector. Entonces tendrías\[A\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\nonumber\]
Esto implicaría escoger para el nuevo vector en\(\mathbb{R}^4\) el vector\(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\end{array}\right]^T\). Entonces podrías encontrar\(A\). Se puede hacer algo similar para encontrar una matriz para\(T^{-1}\) denotada como\(B\).
Let\(V=\mathbb{R}^3\) y let\[W=span(S),\text{ where }S=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\end{array}\right]\right\}\nonumber\] Encuentra una base de\(W\) que consiste en vectores en\(S\).
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En este caso\(\text{dim}(W) = 1\) y se\(S\) puede obtener una base para\(W\) constar de vectores en tomando cualquier vector (distinto de cero) de\(S\).
Dejar\(T\) ser una transformación lineal dada por\[T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber\] Encontrar una base para\(\text{ker}(T)\) y\(Im(T)\).
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Una base para\(\text{ker}(T)\) es\(\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}\) y una base para\(Im(T)\) es\(\left\{\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\right\}\). Hay muchas otras posibilidades para las bases específicas, pero en este caso\(\text{dim}(\text{ker}(T)) = 1\) y\(\text{dim}(Im(T)) = 1\).
Dejar\(T\) ser una transformación lineal dada por\[T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber\] Encontrar una base para\(\text{ker}(T)\) y\(Im(T)\).
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En este caso\(\text{ker}(T) = \{0\}\) y\(Im(T) = \mathbb{R}^2\) (escoger cualquier base de\(\mathbb{R}^2\)).
Dejar\(V=\mathbb{R}^3\) y dejar\[W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] Extender esta base de\(W\) a una base de\(V\).
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Hay muchas posibles extensiones de este tipo, una es (¿cómo sabemos?) :\[\left\{\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Dejar\(T\) ser una transformación lineal dada por\[T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber\] ¿Qué es\(\text{dim}(\text{ker}(T))\)?
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Eso lo podemos ver fácilmente\(\text{dim}(Im(T)) = 1\), y así\(\text{dim}(\text{ker}(T)) = 3−\text{dim}(Im(T)) = 3−1 = 2\).
Considere las siguientes funciones que mapean\(\mathbb{R}^n\) a\(\mathbb{R}^n\).
- \(T\)multiplica el componente\(j\) th de\(\vec{x}\) por un número distinto de cero\(b\).
- \(T\)reemplaza el componente\(i\) th\(\vec{x}\) de\(b\) por veces el componente\(j\) th agregado al componente\(i\) h.
- \(T\)cambia los componentes\(i\) th y\(j\) th.
Mostrar estas funciones son transformaciones lineales y describir sus matrices de\(A\) tal manera que\(T (\vec{x}) = A\vec{x}\).
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- La matriz de\(T\) es la matriz elemental que multiplica la entrada diagonal\(j\) th de la matriz de identidad por\(b\).
- La matriz de\(T\) es la matriz elemental que toma\(b\) veces la fila\(j\) th y se suma a la fila\(i\) th.
- La matriz de\(T\) es la matriz elemental que cambia las filas\(i\) th y\(j\) th donde los dos componentes están en las posiciones\(i\) th y\(j\) th.
Se te da una transformación lineal\(T\):\(\mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m\) y sabes que\[T(A_i)=B_i\nonumber\] donde\(\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\) existe. Demostrar que la matriz de\(T\) es de la forma\[\left[\begin{array}{ccc}B_1&\cdots&B_n\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber\]
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Supongamos\[\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber\] Así\(\vec{c}_i^T\vec{a}_j=\delta_{ij}\). Por lo\[\begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\: \left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right] \vec{a}_i \\ &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right] \vec{e}_i \\ &=\vec{b}_i\end{aligned}\] tanto, así\(T\vec{a}_i=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\: \left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i=A\vec{a}_i\). Si\(\vec{x}\) es arbitrario, entonces como la matriz\(\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]\) es invertible, existe una única\(\vec{y}\) tal que\(\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]\vec{y}=\vec{x}\) De ahí\[T\vec{x}=T\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=\sum\limits_{i=1}^ny_iT\vec{a}_i=\sum\limits_{i=1}^ny_1A\vec{a}_i=A\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=A\vec{x}\nonumber\]
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
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\[\left[\begin{array}{rrr}5&1&5\\1&1&3\\3&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\2&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}37&17&11\\17&7&5\\11&14&6\end{array}\right]\nonumber\]
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-8\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\3\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\4\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\3\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}6\\1\\-1\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
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\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&6\\3&4&1\\1&1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&3&1\\5&3&1\\6&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}52&21&9\\44&23&8\\5&4&1\end{array}\right]\nonumber\]
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\3\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{4}1\\3\\-3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-3\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
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\[\left[\begin{array}{rrr}-3&1&5\\1&3&3\\3&-3&-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}15&1&3\\17&11&7\\-9&-3&-3\end{array}\right]\nonumber\]
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
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\[\left[\begin{array}{rrr}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber\]
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal tal que\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\] Encuentra la matriz de\(T\). Eso es encontrar\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
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-
\[\left[\begin{array}{rrr}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10 \\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber\]
Considera las siguientes funciones\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2\). Demostrar que cada uno es una transformación lineal y determinar para cada uno la matriz\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]\)
Considera las siguientes funciones\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2\). Explique por qué cada una de estas funciones no\(T\) es lineal.
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3x-\ln z\end{array}\right]\)
Supongamos que\[\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber\] existe donde cada uno\(A_j ∈ \mathbb{R}^n\) y dejar vectores\(\{B_1,\cdots ,B_n\}\) en\(\mathbb{R}^m\) ser dados. Demostrar que siempre existe una transformación lineal\(T\) tal que\(T(A_i) = B_i\).
Encuentra la matriz para\(T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})\) dónde\(\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\end{array}\right]^T\).
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Recordemos que\(\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}\) y así la matriz deseada tiene\(i\) th columna igual a\(\text{proj}_{\vec{u}} (\vec{e}_i)\). Por lo tanto, la matriz deseada es\[\frac{1}{14}\left[\begin{array}{rrr}1&-2&3\\-2&4&-6\\3&-6&9\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la matriz para\(T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})\) dónde\(\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\end{array}\right]^T\).
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\[\frac{1}{35}\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\\5&25&15\\3&15&9\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la matriz para\(T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})\) dónde\(\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\end{array}\right]^T\).
- Responder
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\[\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&0&0\\3&0&9\end{array}\right]\nonumber\]
Dejar\(B=\left\{\left[\begin{array}{r}2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]\right\}\) ser una base de\(\mathbb{R}^2\) y dejar\(\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-7\end{array}\right]\) ser un vector en\(\mathbb{R}^2\). Encontrar\(C_B(\vec{x})\).
Dejar\(B=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}2\\1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right]\right\}\) ser una base de\(\mathbb{R}^3\) y dejar\(\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-1\\4\end{array}\right]\) ser un vector en\(\mathbb{R}^2\). Encontrar\(C_B(\vec{x})\).
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\(C_B(\vec{x})=\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right]\).
Let\(T\):\(\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}^2\) ser una transformación lineal definida por\(T\left(\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}a+b\\a-b\end{array}\right]\).
Considera las dos bases\[B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] y\[B_2=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] Encuentra la matriz\(M_{B_2,B_1}\) de\(T\) con respecto a las bases\(B_1\) y\(B_2\).
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\(M_{B_2B_1}=\left[\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\end{array}\right]\)