9.2: Conjuntos de expansión
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- Determine si un vector está dentro de un lapso dado.
En esta sección examinaremos el concepto de spanning introducido anteriormente en términos de\(\mathbb{R}^n\). Aquí, discutiremos estos conceptos en términos de espacios vectoriales abstractos.
Considera la siguiente definición.
Dejar\(X\) y\(Y\) ser dos conjuntos. Si todos los elementos de también\(X\) son elementos de\(Y\) entonces decimos que\(X\) es un subconjunto de\(Y\) y escribimos\[X \subseteq Y\nonumber \]
En particular, a menudo hablamos de subconjuntos de un espacio vectorial, como\(X \subseteq V\). Con esto queremos decir que cada elemento del conjunto\(X\) está contenido en el espacio vectorial\(V\).
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y dejar\(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_n \subseteq V\). Un vector\(\vec{v} \in V\) se llama una combinación lineal de los escalares\(\vec{v}_i\) si existen\(c_i \in \mathbb{R}\) tales que\[\vec{v} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_n \vec{v}_n\nonumber \]
Esta definición nos lleva a nuestro siguiente concepto de span.
Vamos\(\{\vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\} \subseteq V\). Entonces\[\mathrm{span}\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\} = \left\{ \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}: c_{i}\in \mathbb{R} \right\}\nonumber \]
Cuando decimos que un vector\(\vec{w}\) está en\(\mathrm{span}\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) queremos decir que se\(\vec{w}\) puede escribir como una combinación lineal de la\(\vec{v}_1\). Decimos que una colección de vectores\(\{\vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\}\) es un conjunto de expansión para\(V\) if\(V = \mathrm{span} \{\vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\}\).
Considera el siguiente ejemplo.
Vamos\(A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right ]\),\(B = \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right ]\). Determinar si\(A\) y\(B\) están en\[\mathrm{span}\left\{ M_1, M_2 \right\} = \mathrm{span} \left\{ \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right ], \left [ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right ] \right\}\nonumber \]
Solución
Primero considere\(A\). Queremos ver si se\(s,t\) pueden encontrar escalares de tal manera que\(A = s M_1 + t M_2\). \[\left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right ] = s \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right ] + t \left [ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right ]\nonumber \]La solución a esta ecuación viene dada por\[\begin{aligned} 1 &= s \\ 2 &= t\end{aligned}\] y se deduce que\(A\) está en\(\mathrm{span} \left\{ M_1, M_2 \right\}\).
Ahora considere\(B\). Nuevamente escribimos\(B = sM_1 + t M_2\) y vemos si se puede encontrar una solución para\(s, t\). \[\left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right ] = s \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right ] + t \left [ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right ]\nonumber \]Claramente no hay valores de\(s\) y se\(t\) pueden encontrar tales que esta ecuación se mantenga. Por lo tanto no\(B\) está en\(\mathrm{span} \left\{ M_1, M_2 \right\}\).
Considera otro ejemplo.
Espectáculo que\(p(x) = 7x^2 + 4x - 3\) está en\(\mathrm{span}\left\{ 4x^2 + x, x^2 -2x + 3 \right\}\).
Solución
Para mostrar que\(p(x)\) está en el lapso dado, necesitamos mostrar que se puede escribir como una combinación lineal de polinomios en el lapso. Supongamos que los escalares\(a, b\) existieran de tal manera que\[7x^2 +4x - 3= a(4x^2+x) + b (x^2-2x+3)\nonumber \] si esta combinación lineal tuviera que mantener, sería cierto lo siguiente:\[\begin{aligned} 4a + b &= 7 \\ a - 2b &= 4 \\ 3b &= -3 \end{aligned}\]
Se puede verificar que\(a = 2, b = -1\) satisface este sistema de ecuaciones. Esto significa que podemos escribir de la\(p(x)\) siguiente manera:\[7x^2 +4x-3= 2(4x^2+x) - (x^2-2x+3)\nonumber \]
De ahí\(p(x)\) que esté en el lapso dado.
Considera el siguiente ejemplo.
Vamos\(S = \left\{ x^2 + 1, x-2, 2x^2 - x \right\}\). Mostrar que\(S\) es un conjunto de expansión para\(\mathbb{P}_2\), el conjunto de todos los polinomios de grado como máximo\(2\).
Solución
Dejemos\(p(x)= ax^2 + bx + c\) ser un polinomio arbitrario en\(\mathbb{P}_2\). Para mostrar que\(S\) es un conjunto de expansión, basta con mostrar que se\(p(x)\) puede escribir como una combinación lineal de los elementos de\(S\). En otras palabras, podemos encontrar\(r,s,t\) tal que:\[p(x) = ax^2 +bx + c = r(x^2 + 1) + s(x -2) + t(2x^2 - x)\nonumber \]
Si se\(r,s,t\) puede encontrar una solución, entonces esto muestra que para cualquier polinomio de este tipo\(p(x)\), se puede escribir como una combinación lineal de los polinomios anteriores y\(S\) es un conjunto de expansión.
\[\begin{aligned} ax^2 +bx + c &= r(x^2 + 1) + s(x -2) + t(2x^2 - x) \\ &= rx^2 + r + sx - 2s + 2tx^2 - tx \\ &= (r+2t)x^2 + (s-t)x + (r-2s) \end{aligned}\]
Para que esto sea cierto, se debe mantener lo siguiente:\[\begin{aligned} a &= r+2t \\ b &= s-t \\ c &= r-2s\end{aligned}\]
Para verificar que existe una solución, configura la matriz aumentada y la fila reduce:\[\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 1 & -2 & 0 & c \end{array} \right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [ \begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} a + 2b + \frac{1}{2}c\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}a - \frac{1}{4}c \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}a - b - \frac{1}{4}c \end{array} \right ]\nonumber \]
Claramente existe una solución para cualquier elección de\(a,b,c\). Por lo tanto,\(S\) es un conjunto de expansión para\(\mathbb{P}_2\).