9.3: Independencia Lineal
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- Determine si un conjunto es linealmente independiente.
En esta sección, volveremos a explorar conceptos introducidos anteriormente en términos de\(\mathbb{R}^n\) y extenderlos para aplicarlos a espacios vectoriales abstractos.
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial. Si\(\{\vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\} \subseteq V,\) entonces es linealmente independiente si\[\sum_{i=1}^{n}a_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0} \;\mbox{implies}\; a_{1}=\cdots =a_{n}=0\nonumber \] donde\(a_i\) están los números reales.
El conjunto de vectores se denomina linealmente dependiente si no es linealmente independiente.
Let\(S \subseteq \mathbb{P}_2\) Ser un conjunto de polinomios dados por\[S = \left\{ x^2 + 2x - 1, 2x^2 - x + 3 \right\}\nonumber \] Determinar si\(S\) es linealmente independiente.
Solución
Para determinar si este conjunto\(S\) es linealmente independiente, escribimos\[a ( x^2 + 2x -1 ) + b(2x^2 - x + 3) = 0x^2 + 0x + 0\nonumber \] Si es linealmente independiente, entonces\(a=b=0\) será la única solución. Procedemos de la siguiente manera. \[\begin{aligned} a ( x^2 + 2x -1 ) + b(2x^2 - x + 3) &= 0x^2 + 0x + 0 \\ ax^2 + 2ax - a + 2bx^2 - bx + 3b &= 0x^2 + 0x + 0 \\ (a+2b)x^2 + (2a -b)x - a + 3b &= 0x^2 + 0x + 0\end{aligned}\]
De ello se deduce que\[\begin{aligned} a + 2b &= 0 \\ 2a - b &= 0 \\ -a + 3b &= 0\end{aligned}\]
La matriz aumentada y la forma reducida resultante de fila-escalón están dadas por\[\left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{array} \right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
De ahí que la solución es\(a=b=0\) y el conjunto es linealmente independiente.
El siguiente ejemplo nos muestra lo que significa que un conjunto sea dependiente.
Determinar si el conjunto\(S\) que se da a continuación es independiente. \[S=\left\{ \left [\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right ], \left [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right ], \left [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right ] \right\}\nonumber \]
Solución
Para determinar si\(S\) es linealmente independiente, buscamos soluciones para\[a\left [\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right ] +b\left [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right ] +c\left [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right ] =\left [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right ]\nonumber \] Notar que esta ecuación tiene soluciones no triviales, por ejemplo\(a=2\),\(b=3\) y\(c=-1\). Por lo tanto\(S\) es dependiente.
El siguiente es un resultado importante con respecto a los conjuntos dependientes.
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y supongamos que\(W = \left\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_k \right\}\) es un subconjunto de\(V\). Entonces\(W\) es dependiente si y sólo si se\(\vec{v}_i\) puede escribir como una combinación lineal de\(\left\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_{i-1}, \vec{v}_{i+1}, \cdots, \vec{v}_k \right\}\) para algunos\(i \leq k\).
Vuelva a visitar Ejemplo\(\PageIndex{2}\) con esto en mente. Observe que podemos escribir uno de los tres vectores como una combinación de los otros. \[\left [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right ] = 2\left [\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right ] +3\left [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right ]\nonumber \]
Por Lemma\(\PageIndex{1}\) este conjunto es dependiente.
Si sabemos que un conjunto en particular es linealmente independiente, podemos usar esta información para determinar si un conjunto relacionado es linealmente independiente. Considera el siguiente ejemplo.
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y supongamos que\(S \subseteq V\) es un conjunto de vectores linealmente independientes dados por\(S = \left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}\). \(R \subseteq V\)Déjese dar por\(R = \left\{ 2\vec{u} - \vec{w}, \vec{w} + \vec{v}, 3\vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u} \right\}\). Demostrar que también\(R\) es linealmente independiente.
Solución
Para determinar si\(R\) es linealmente independiente, escribimos\[a(2\vec{u} - \vec{w}) + b(\vec{w} + \vec{v}) + c( 3\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{u}) = \vec{0}\nonumber \] Si el conjunto es linealmente independiente, la única solución será\(a=b=c=0\). Procedemos de la siguiente manera. \[\begin{aligned} a(2\vec{u} - \vec{w}) + b(\vec{w} + \vec{v}) + c( 3\vec{v} + \frac{1}{2} \vec{u}) &= \vec{0} \\ 2a\vec{u} - a\vec{w} + b\vec{w} + b\vec{v} + 3c\vec{v} + \frac{1}{2}c\vec{u} &= \vec{0}\\ (2a + \frac{1}{2}c) \vec{u} + (b+3c)\vec{v} + (-a + b) \vec{w} &= \vec{0}\end{aligned}\]
Sabemos que el conjunto\(S = \left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}\) es linealmente independiente, lo que implica que los coeficientes en la última línea de esta ecuación deben ser todos iguales\(0\). En otras palabras:\[\begin{aligned} 2a + \frac{1}{2} c &= 0 \\ b + 3c &= 0 \\ -a + b &= 0 \end{aligned}\]
La matriz aumentada y la forma resultante de fila-escalón reducida están dadas por:\[\left [ \begin{array}{rrr|r} 2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ]\nonumber \] De ahí que la solución es\(a=b=c=0\) y el conjunto es linealmente independiente.
El siguiente teorema se discutió en términos en\(\mathbb{R}^n\). Lo consideramos aquí en el caso general.
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y dejar\(U = \left\{ \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_k \right\} \subseteq V\) ser un conjunto independiente. Si\(\vec{v} \in \mathrm{span} \;U\), entonces se\(\vec{v}\) puede escribir de forma única como una combinación lineal de los vectores en\(U\).
Considere el lapso de un conjunto linealmente independiente de vectores. Supongamos que tomamos un vector que no está en este lapso y lo agregamos al conjunto. El siguiente lema afirma que el conjunto resultante sigue siendo linealmente independiente.
Supongamos\(\vec{v}\notin \mathrm{span}\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) y\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots , \vec{u}_{k}\right\}\) es linealmente independiente. Entonces el conjunto también\[\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k},\vec{v} \right\}\nonumber \] es linealmente independiente.
- Prueba
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Supongamos\(\sum_{i=1}^{k}c_{i}\vec{u}_{i}+d\vec{v}= \vec{0}.\) Se requiere verificar que cada uno\(c_{i}=0\) y eso\(d=0.\) Pero si\(d\neq 0,\) entonces se puede resolver para\(\vec{v}\) como una combinación lineal de los vectores,\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u} _{k}\right\}\),\[\vec{v}=-\sum_{i=1}^{k}\left( \frac{c_{i}}{d}\right) \vec{u}_{i}\nonumber \] contrario a la suposición de que no\(\vec{v}\) está en el lapso de la\(\vec{u}_{i}\). Por lo tanto,\(d=0.\) Pero entonces\(\sum_{i=1}^{k}c_{i} \vec{u}_{i}=\vec{0}\) y la independencia lineal de\(\left\{ \vec{u} _{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) implica cada uno\(c_{i}=0\) también.
Considera el siguiente ejemplo.
Let\(S \subseteq M_{22}\) Ser un conjunto linealmente independiente dado por\[S = \left\{ \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ], \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] \right\}\nonumber \] Mostrar que el conjunto\(R \subseteq M_{22}\) dado por\[R = \left\{ \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ], \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ], \left [ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right ] \right\}\nonumber \] es también linealmente independiente.
Solución
En lugar de escribir una combinación lineal de las matrices que es igual\(0\) y mostrar que los coeficientes deben ser iguales\(0\), podemos usar Lemma\(\PageIndex{2}\).
Para ello, demostramos que\[\left [ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right ] \notin \mathrm{span}\left\{ \left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ], \left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] \right\}\nonumber \]
Escribir\[\begin{aligned} \left [ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right ] &= a\left [ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] + b\left [ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] \\ &= \left [ \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{rr} 0 & b \\ 0 & 0 \end{array} \right ] \\ &= \left [ \begin{array}{rr} a & b \\ 0 & 0 \end{array} \right ]\end{aligned}\]
Claramente no hay posibilidad de\(a,b\) hacer que esta ecuación sea cierta. De ahí que la nueva matriz no se encuentre en el lapso de las matrices en\(S\). Por Lemma\(\PageIndex{2}\), también\(R\) es linealmente independiente.