9.7: Isomorfismos

Resultados

1. Aplicar los conceptos de uno a uno y sobre las transformaciones de espacios vectoriales.
2. Determinar si una transformación lineal de espacios vectoriales es un isomorfismo.
3. Determinar si dos espacios vectoriales son isomórficos.

Uno a uno y sobre transformaciones

Recordemos las siguientes definiciones, dadas aquí en términos de espacios vectoriales.

Definición\(\PageIndex{1}\): One to One Transformation

Dejar\(V, W\) ser espacios vectoriales con\(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) vectores en\(V\). Entonces una transformación lineal\(T: V \mapsto W\) se llama uno a uno si cada vez\(\vec{v}_1 \neq \vec{v}_2\) que sigue eso\[T(\vec{v}_1) \neq T (\vec{v}_2)\nonumber \]

Definición\(\PageIndex{2}\): Onto Transformation

\(V, W\)Dejen ser espacios vectoriales. Entonces\(T: V \mapsto W\) se llama a una transformación lineal si por todos\(\vec{w} \in \vec{W}\) existe\(\vec{v} \in V\) tal que\(T(\vec{v}) = \vec{w}\).

Recordemos que toda transformación lineal\(T\) tiene la propiedad de que\(T(\vec{0})=\vec{0}\). Esto será necesario para acreditar el siguiente lema útil.

Lema\(\PageIndex{1}\): One to One

La afirmación de que una transformación lineal\(T\) es uno a uno equivale a decir que si\(T(\vec{v})=\vec{0},\) entonces\(\vec{v}=0.\)

Prueba

Supongamos primero que\(T\) es uno a uno.

\[T(\vec{0})=T\left( \vec{0}+\vec{0}\right) =T(\vec{0})+T(\vec{0})\nonumber \]y así, sumando la inversa aditiva de\(T(\vec{0})\) a ambos lados, uno ve eso\(T(\vec{0})=\vec{0}\). Por lo tanto, si\(T(\vec{v})=\vec{0},\) debe ser así\(\vec{v}=\vec{0}\) porque solo se demostró eso\(T(\vec{0})=\vec{0}\).

Ahora supongamos que si\(T(\vec{v})=\vec{0},\) entonces\(\vec{v}=0.\) Si\(T(\vec{v})=T(\vec{u}),\) entonces\(T(\vec{v})-T(\vec{u})=T\left( \vec{v}-\vec{u}\right) =\vec{0}\) lo que demuestra eso\(\vec{v}-\vec{u}=0\) o en otras palabras,\(\vec{v}=\vec{u}\).

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): One to One Transformation

Dejar\(S:\mathbb{P}_2\to\mathbb{M}_{22}\) ser una transformación lineal definida por\[S(ax^2+bx+c) = \left [\begin{array}{cc} a+b & a+c \\ b-c & b+c \end{array}\right ] \nonumber\] para todos\(ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2.\)

Demostrar que\(S\) es uno a uno pero no sobre.

Solución

Por definición,\[\ker(S)=\{ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2 ~|~ a+b=0, a+c=0, b-c=0, b+c=0\}. \nonumber\]

Supongamos\(p(x)=ax^2+bx+c\in\ker(S)\). Esto conduce a un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones en tres variables. Poner la matriz aumentada en forma de escalón de fila reducida:

\[\left [\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ].\nonumber\]

La solución es\(a=b=c=0\). Esto nos dice que si\(S(p(x)) = 0\), entonces\(p(x) = ax^2+bx+c = 0x^2 + 0x + 0 = 0\). Por lo tanto es uno a uno.

Para demostrar que no\(S\) está en, encontrar una matriz\(A\in\mathbb{M}_{22}\) tal que para cada\(p(x)\in \mathbb{P}_2\),\(S(p(x))\neq A\). Dejemos\[A=\left [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right ], \nonumber\] y supongamos que\(p(x)=ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2\) es tal que\(S(p(x))=A\). Entonces\[\begin{array}{ll} a+b=0 & a+c=1 \\ b-c=0 & b+c=2 \end{array}\nonumber \] Resolviendo este sistema\[\left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ] \rightarrow \left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ]. \nonumber\]

Dado que el sistema es inconsistente, no hay\(p(x)\in \mathbb{P}_2\) así que eso\(S(p(x))=A\), y por lo tanto no\(S\) está encendido.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): An Onto Transformation

Let\(T:\mathbb{M}_{22}\to\mathbb{R}^2\) Ser una transformación lineal definida por\[T\left [\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right ] = \left [\begin{array}{c} a+d \\ b+c \end{array}\right ] \mbox{ for all } \left [\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right ] \in\mathbb{M}_{22}.\nonumber\]

Demostrar que\(T\) es sobre pero no uno a uno.

Solución

Dejar\(\left [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ]\) ser un vector arbitrario en\(\mathbb{R}^2\). Ya que\(T\left [\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & 0 \end{array}\right ] =\left [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ]\),\(T\) está en.

Por Lema\(\PageIndex{1}\)\(T\) es uno a uno si y sólo si\(T(A) = \vec{0}\) implica que\(A = 0\) la matriz cero. Observe que\[T \left( \left [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right ] \right) = \left [ \begin{array}{c} 1 + -1 \\ 0 + 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber\]

Existe una matriz diferente de cero\(A\) tal que\(T(A) = \vec{0}\). De ello se deduce que no\(T\) es uno a uno.

El siguiente ejemplo demuestra que una transformación uno a uno preserva la independencia lineal.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): One to One and Independence

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales y\(T: V \mapsto W\) una transformación lineal. Demostrar que si\(T\) es uno a uno y\(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\) es un subconjunto independiente de\(V\), entonces\(\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\) es un subconjunto independiente de\(W\).

Solución

Dejar\(\vec{0}_V\) y\(\vec{0}_W\) denotar los vectores cero de\(V\) y\(W\), respectivamente. Supongamos que\[a_1T(\vec{v}_1) + a_2T(\vec{v}_2) +\cdots +a_kT(\vec{v}_k) =\vec{0}_W \nonumber\] para algunos\(a_1, a_2, \ldots, a_k\in\mathbb{R}\). Dado que las transformaciones lineales conservan combinaciones lineales (suma y multiplicación escalar),\[T(a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 +\cdots +a_k\vec{v}_k) =\vec{0}_W. \nonumber\]

Ahora, ya que\(T\) es uno a uno,\(\ker(T)=\{\vec{0}_V\}\), y así\[a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 +\cdots +a_k\vec{v}_k =\vec{0}_V. \nonumber\]

Sin embargo,\(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\) es independiente así\(a_1=a_2=\cdots=a_k=0\). Por lo tanto,\(\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\) es independiente.

Se puede hacer una afirmación similar con respecto a las transformaciones. En este caso, una transformación onto conserva un conjunto de expansión.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Onto and Spanning

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales y\(T:V\to W\) una transformación lineal. Demostrar que si\(T\) está en y\(V=span\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\), entonces\[W=span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}.\nonumber\]

Solución

Supongamos que\(T\) es sobre y vamos\(\vec{w}\in W\). Entonces existe\(\vec{v}\in V\) tal que\(T(\vec{v})=\vec{w}\). Ya que\(V=span\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\), existen\(a_1, a_2, \ldots a_k\in\mathbb{R}\) tal que\(\vec{v} = a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_k\vec{v}_k\). Utilizando el hecho de que\(T\) es una transformación lineal,\[\begin{aligned} \vec{w} =T(\vec{v}) & = T(a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_k\vec{v}_k) \\ & = a_1T(\vec{v}_1) + a_2T(\vec{v}_2) + \cdots + a_kT(\vec{v}_k),\end{aligned}\] es decir,\(\vec{w}\in span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\), y por lo tanto\[W\subseteq span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}. \nonumber\]

Ya que\(T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\in W\), de eso se desprende\(span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\subseteq W\), y por lo tanto\(W=span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\).

Isomorfismos

El enfoque de esta sección está en las transformaciones lineales que son a la vez uno a uno y sobre. Cuando este es el caso, llamamos a la transformación isomorfismo.

Definición\(\PageIndex{3}\): Isomorphism

Dejar\(V\) y\(W\) ser dos espacios vectoriales y dejar\(T: V \mapsto W\) ser una transformación lineal. Entonces\(T\) se llama isomorfismo si se cumplen las dos condiciones siguientes.

• \(T\)es uno a uno.
• \(T\)está en.

Definición\(\PageIndex{4}\): Isomorphic

Dejar\(V\) y\(W\) ser dos espacios vectoriales y dejar\(T: V \mapsto W\) ser una transformación lineal. Entonces si\(T\) es un isomorfismo, decimos eso\(V\) y\(W\) somos isomórficos.

Consideremos el siguiente ejemplo de un isomorfismo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Isomorphism

\(T:\mathbb{M}_{22}\to\mathbb{R}^4\)Déjese definir por\[T \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left[ \begin{array}{c} a\\ b\\ c \\ d \end{array} \right] \mbox{ for all } \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \in\mathbb{M}_{22}.\nonumber \] Show que\(T\) es un isomorfismo.

Solución

Observe que si podemos probar que\(T\) es un isomorfismo, significará eso\(\mathbb{M}_{22}\) y\(\mathbb{R}^4\) son isomórficos. Queda por probar que

1. \(T\)es una transformación lineal;
2. \(T\)es uno a uno;
3. \(T\)está en.

\(T\)es lineal: Let\(k,p\) be scalares.

\[\begin{aligned} T \left( k \left[\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right] + p \left[\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right] \right) &= T \left( \left[\begin{array}{cc} k a_1 & k b_1 \\ k c_1 & k d_1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} p a_2 & p b_2 \\ p c_2 & p d_2 \end{array}\right] \right) \\ &= T \left( \left[\begin{array}{cc} k a_1 + p a_2 & k b_1 + p b_2 \\ k c_1 + p c_2& k d_1 + p d_2 \end{array}\right] \right) \\ &= \left[ \begin{array}{c} k a_1 + p a_2 \\ k b_1 + p b_2 \\ k c_1 + p c_2 \\ k d_1 + p d_2 \end{array}\right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} k a_1 \\ k b_1 \\ k c_1 \\ k d_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} p a_2 \\ p b_2 \\ p c_2 \\ p d_2 \end{array} \right] \\ &= k \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \\ d_1 \end{array} \right] + p \left[ \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \\ d_2 \end{array} \right] \\ &= k T \left(\left[\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right] \right) + p T \left(\left[\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right] \right)\end{aligned}\]

Por lo tanto,\(T\) es lineal.

\(T\)es uno a uno: Por Lemma\(\PageIndex{1}\) tenemos que demostrar que si\(T(A) = 0\) entonces\(A = 0\) para alguna matriz\(A \in \mathbb{M}_{22}\). \[T\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c \\ d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\nonumber \]

Esto claramente solo ocurre cuando\(a=b=c=d=0\) lo que significa que\[A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0\nonumber \]

De ahí\(T\) que sea uno a uno.

\(T\)está en: Let

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{array}\right]\in\mathbb{R}^4, \nonumber\]y defina la matriz de\(A\in\mathbb{M}_{22}\) la siguiente manera:\[A=\left[\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right]. \nonumber\]

Entonces\(T(A)=\vec{x}\), y por lo tanto\(T\) está sobre.

Dado que\(T\) es una transformación lineal que es uno a uno y sobre,\(T\) es un isomorfismo. De ahí\(\mathbb{M}_{22}\) y\(\mathbb{R}^4\) son isomórficos.

Una propiedad importante de los isomorfismos es que lo inverso de un isomorfismo es en sí mismo un isomorfismo y la composición de los isomorfismos es un isomorfismo. Primero recordamos la definición de composición.

Definición\(\PageIndex{5}\): Composition of Transformations

\(V, W, Z\)Dejen ser espacios vectoriales y supongamos\(T: V \mapsto W\) y\(S: W \mapsto Z\) son transformaciones lineales. Entonces el compuesto de\(S\) y\(T\) es\[S \circ T: V \mapsto Z\nonumber \] y se define por\[(S \circ T) (\vec{v}) = S(T(\vec{v})) \mbox{ for all } \vec{v} \in V\nonumber \]

Consideremos ahora la siguiente proposición.

Proposición\(\PageIndex{1}\): Composite and Inverse Isomorphism

\(T:V\rightarrow W\)Déjese ser un isomorfismo. Entonces también\(T^{-1}:W\rightarrow V\) es un isomorfismo. También si\(T:V\rightarrow W\) es un isomorfismo y si\(S:W\rightarrow Z\) es un isomorfismo para los espacios vectoriales\(V,W,Z,\) entonces\(S\circ T\) definido por\(\left( S\circ T\right) \left( v\right) = S\left( T\left( v\right) \right)\) es también un isomorfismo.

Prueba

Considera el primer reclamo. Ya que\(T\) es on, un vector típico en\(W\) es de la forma\(T(\vec{v})\) donde\(\vec{v} \in V\). Considerar entonces para\(a,b\) los escalares,\[T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right)\nonumber \] donde\(\vec{v}_{1}, \vec{v}_2 \in V\). Considera si esto es igual a\[aT^{-1}\left( T(\vec{v}_{1})\right) +bT^{-1}\left( T(\vec{v}_{2})\right) =a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}?\nonumber \] Dado que\(T\) es uno a uno, esto será así si\[T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) =T\left( T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \right) =aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\nonumber \] Sin embargo, la declaración anterior es solo la condición que\(T\) es un mapa lineal. Así\(T^{-1}\) es efectivamente un mapa lineal. Si\(\vec{v} \in V\) se da, entonces\(\vec{v}=T^{-1}\left( T(\vec{v})\right)\) y así\(T^{-1}\) está en. Si\(T^{-1}(\vec{v})=\vec{0},\) entonces\[\vec{v}=T\left( T^{-1}(\vec{v})\right) =T(\vec{0})=\vec{0}\nonumber \] y así\(T^{-1}\) es uno a uno.

Siguiente supongamos\(T\) y\(S\) son como se describe. ¿Por qué es\(S\circ T\) un mapa lineal? Dejar que para\(a,b\) los escalares,\[\begin{aligned} S\circ T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) &\equiv S\left( T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) \right) =S\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \\ &=aS\left( T(\vec{v}_{1})\right) +bS\left( T(\vec{v}_{2})\right) \equiv a\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{1}\right) +b\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{2}\right)\end{aligned}\] Por lo tanto\(S\circ T\) es un mapa lineal. Si\(\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}\right) =0,\) entonces\(S\left( T\left( \vec{v} \right) \right) =\vec{0}\) y se deduce eso\(T(\vec{v})=\vec{0}\) y de ahí por este lema otra vez,\(\vec{v}=\vec{0}\). Así\(S\circ T\) es uno a uno. Queda por verificar que está sobre. Vamos\(\vec{z}\in Z\). Entonces ya que\(S\) está en, existe\(\vec{w}\in W\) tal que\(S(\vec{w})=\vec{z}.\) También, ya que\(T\) es onto, existe\(\vec{v}\in V\) tal que De\(T(\vec{v})=\vec{w}.\) ello se deduce\(S\left( T\left( \vec{v}\right) \right) =\vec{z}\) y así también\(S\circ T\) está on.

Supongamos que decimos que dos espacios vectoriales\(V\) y\(W\) están relacionados si existe un isomorfismo de uno a otro, escrito como\(V\sim W\). Entonces la proposición anterior sugiere que\(\sim\) es una relación de equivalencia. Es decir:\(\sim\) satisface las siguientes condiciones:

• \(V\sim V\)
• Si\(V\sim W,\) se deduce que\(W\sim V\)
• Si\(V\sim W\) y\(W\sim Z,\) entonces\(V\sim Z\)

Dejamos la prueba de estos al lector.

El siguiente lema fundamental describe la relación entre bases e isomorfismos.

Lema\(\PageIndex{2}\): Bases and Isomorphisms

Dejar\(T:V\rightarrow W\) ser un mapa lineal donde\(V,W\) están los espacios vectoriales. Entonces una transformación lineal\(T\) que es uno a uno tiene la propiedad de que si\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) es linealmente independiente, entonces así es\(\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}\). De manera más general,\(T\) es un isomorfismo si y sólo si siempre\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) es una base para\(V,\) ello se deduce que\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) es una base para\(W\).

Prueba

Primero supongamos que\(T\) es un mapa lineal y es uno a uno y\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) es linealmente independiente. Se requiere demostrar que también\(\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}\) es linealmente independiente. Supongamos\[\sum_{i=1}^{k}c_{i}T(\vec{u}_{i})=\vec{0}\nonumber \] entonces que Entonces, ya que\(T\) es lineal,\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\right) =\vec{0}\nonumber \] Ya que\(T\) es uno a uno, se deduce que\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}=0\nonumber \] Ahora el hecho de que\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{n}\right\}\) sea linealmente independiente implica que cada uno\(c_{i}=0\). De ahí\(\left\{ T(\vec{u} _{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{n})\right\}\) que sea linealmente independiente.

Ahora supongamos que eso\(T\) es un isomorfismo y\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{ v}_{n}\right\}\) es una base para\(V\). Se acaba de demostrar que\(\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) es linealmente independiente. Queda por verificar que el lapso de\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) es todo de\(W\). Aquí es donde\(T\) se usa onto. Si\(\vec{w}\in W,\) existe\(\vec{v}\in V\) tal que\(T(\vec{v})=\vec{w}\). Ya que\(\left\{ \vec{v} _{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) es una base, se deduce que existen escalares\(\left\{ c_{i}\right\} _{i=1}^{n}\) tales que\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{v}.\nonumber \] De ahí, lo\[\vec{w}=T(\vec{v})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}\nonumber \] que demuestra que el lapso de estos vectores\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T (\vec{v}_{n})\right\}\) es todo de\(W\) mostrar que este conjunto de vectores es una base para\(W\).

A continuación supongamos que\(T\) es un mapa lineal que toma una base a una base. Entonces para\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) una base para\(V,\) ello sigue\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) es una base para\(W.\) Entonces si\(w\in W,\) existen escalares\(c_{i}\) tales que\(w=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\) mostrar que\(T\) está en. Si\(T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =0\) entonces\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\) y dado que los vectores\(\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) son linealmente independientes, se deduce que cada\(c_{i}=0.\) Since\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\) es un vector típico en\(V\), esto ha demostrado que si\(T(\vec{v})=0\) entonces\(\vec{v}=\vec{0}\) y así también\(T\) es uno a uno. Así\(T\) es un isomorfismo.

El siguiente teorema ilustra una idea muy útil para definir un isomorfismo. Básicamente, si sabes lo que hace a una base, entonces puedes construir el isomorfismo.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Isomorphic Vector Spaces

Supongamos\(V\) y\(W\) son dos espacios vectoriales. Entonces los dos espacios vectoriales son isomórficos si y sólo si tienen la misma dimensión. En el caso de que los dos espacios vectoriales tengan la misma dimensión, entonces para una transformación lineal\(T:V\rightarrow W\), los siguientes son equivalentes.

1. \(T\)es uno a uno.
2. \(T\)está en.
3. \(T\)es un isomorfismo.

Prueba

Supongamos primero que estos dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión. Dejar una base para\(V\) ser\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) y dejar una base para\(W\) ser\(\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}\). Ahora defina de\(T\) la siguiente manera. \[T(\vec{v}_{i})=\vec{w}_{i}\nonumber \]para\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\) un vector arbitrario de\(V,\)\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}c_{i}T (\vec{v}_{i})=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}.\nonumber \] Es necesario verificar que esto esté bien definido. Supongamos\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\nonumber \] entonces que Entonces\[\sum_{i=1}^{n}\left( c_{i}-\hat{c}_{i}\right) \vec{v}_{i}=0\nonumber \] y desde\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) es una base,\(c_{i}=\hat{c}_{i}\) para cada uno\(i\). De ahí\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i}\nonumber \] y así el mapeo está bien definido. También si\(a,b\) son escalares,\[\begin{aligned} T\left( a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v} _{i}\right) &=T\left( \sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{v }_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{w}_{i} \\ &=a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i} \\ &=aT\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) +bT\left( \sum_{i=1}^{n} \hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\right)\end{aligned}\] Así\(T\) es un mapa lineal.

Ahora si\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w} _{i}=\vec{0},\nonumber \] entonces ya que los\(\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}\) son independientes, cada uno\(c_{i}=0\) y así\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\) también. De ahí\(T\) que sea uno a uno. Si\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}\) es un vector en\(W,\) entonces es igual a\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\nonumber \] mostrar que también\(T\) está en. De ahí\(T\) es un isomorfismo y así\(V\) y\(W\) son isomórficos.

A continuación supongamos que estos dos espacios vectoriales son isomórficos. \(T\)Sea el nombre del isomorfismo. Entonces para\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) una base para\(V\), se deduce que una base para\(W\) es\(\left\{ T\vec{v}_{1},\cdots ,T\vec{v}_{n}\right\}\) mostrar que los dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión.

Ahora supongamos que los dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión.

Primero considere la afirmación de que\(1.)\Rightarrow 2.).\) Si\(T\) es uno a uno, entonces si\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n}\right\}\) es una base para\(V,\) entonces\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v }_{n})\right\}\) es linealmente independiente. Si no es una base, entonces debe dejar de abarcar\(W\). Pero entonces existiría\(\vec{w}\notin span \left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) y de ello se deduce que\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n}),\vec{w}\right\}\) sería linealmente independiente lo cual es imposible porque existe una base para\(W\) de\(n\) vectores. De ahí\[span\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v} _{n})\right\} =W\nonumber \] y así\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) es una base. De ahí, si\(\vec{w}\in W,\) existen escalares\(c_{i}\) tales que\[\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}\right)\nonumber \] mostrar eso\(T\) está encendido. Esto demuestra que\(1.)\Rightarrow 2.).\)

A continuación considere la afirmación que\(2.)\Rightarrow 3.).\) Desde\(2.)\) sostiene, de ello se deduce que\(T\) está sobre. Queda por verificar que\(T\) sea uno a uno. Ya que\(T\) es on, existe una base de la forma\(\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T (\vec{v}_{n})\right\} .\) Si\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) es linealmente independiente, entonces este conjunto de vectores también debe ser una base para\(V\) porque si no, existiría\(\vec{u}\notin span\left\{ \vec{ v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) así\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n},\vec{u}\right\}\) sería un conjunto linealmente independiente lo cual es imposible porque por supuesto, existe una base que tiene\(n\) vectores. Entonces, ¿por qué es\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) linealmente independiente? Supongamos\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber \] Entonces\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber \] De ahí que cada uno\(c_{i}=0\) y así, como se acaba de discutir,\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots , \vec{v}_{n}\right\}\) es una base para\(V\). Ahora se deduce que un vector típico en\(V\) es de la forma\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\). Si\(T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\vec{0},\) se deduce eso\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\nonumber \] y así, ya que\(\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) es independiente, le sigue a cada uno\(c_{i}=0\) y por lo tanto\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}=\vec{0}\). Así\(T\) es uno a uno así como sobre y así es un isomorfismo.

Si\(T\) es un isomorfismo, es tanto uno a uno como a uno por definición así\(3.)\) implica ambos\(1.)\) y\(2.)\).

Observe la interesante manera de definir una transformación lineal en la primera parte del argumento describiendo lo que hace a una base y luego “extendiéndola linealmente”.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(V=\mathbb{R}^{3}\) y dejar\(W\) denotar los polinomios de grado como máximo 2. Mostrar que estos dos espacios vectoriales son isomórficos.

Solución

Primero, observar que una base para\(W\) es\(\left\{ 1,x,x^{2}\right\}\) y una base para\(V\) es\(\left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right\} .\) Dado que estos dos tienen la misma dimensión, los dos son isomórficos. Un ejemplo de isomorfismo es este:

\[T(\vec{e}_{1})=1,T(\vec{e}_{2})=x,T(\vec{e}_{3})=x^{2}\nonumber \]y extender\(T\) linealmente como en la prueba anterior. Por lo tanto\[T\left( a,b,c\right) =a+bx+cx^{2}\nonumber \]