2.6: Juegos Abiertos, Conjuntos Cerrados, Conjuntos Compactos y Puntos Límite
- Page ID
- 107815
La bola abierta\(\mathbb{R}\) con centro\(a \in \mathbb{R}\) y radio\(\delta>0\) es el conjunto
\[B(a ; \delta)=(a-\delta, a+\delta).\]
Se dice que un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\) está abierto si para cada uno\(a \in A\), existe\(\delta>0\) tal que
\[B(a ; \delta) \subset A.\]
- Cualquier intervalo abierto\(A=(c, d)\) está abierto. Efectivamente, para cada uno\(a \in A\), uno tiene\(c<a<d\).
- Los sets\(A=(-\infty, c)\) y\(B=(c, \infty)\) están abiertos, pero el no\(C=[c, \infty)\) está abierto.
Solución
- Let
\[\delta=\min \{a-c, d-a\}.\]
Entonces
\[B(a ; \delta)=(a-\delta, a+\delta) \subset A.\]
Por lo tanto,\(A\) está abierto.
- El lector puede verificar fácilmente que A y B están abiertos. Demostremos que no\(C\) está abierto. Asumir por contradicción que\(C\) es abierto. Entonces, para el elemento\(c \in C\), existe\(\delta>0\) tal que
\[B(c ; \delta)=(c-\delta, c+\delta) \subset C.\]
No obstante, esto es una contradicción porque\(c-\delta / 2 \in B(c ; \delta)\), pero\(c-\delta / 2 \notin C\).
Se mantienen los siguientes:
- Los subconjuntos\(\emptyset\) y\(\mathbb{R}\) están abiertos.
- La unión de nay colección de subconjuntos abiertos de\(\mathbb{R}\) es abierta.
- La intersección de un número finito de subconjuntos abiertos de\(\mathbb{R}\) es abierta.
- Prueba
-
La prueba de (a) es sencilla.
(b) Supongamos que\(\left\{G_{\alpha}: \alpha \in I\right\}\) es una colección arbitraria de subconjuntos abiertos de\(\mathbb{R}\). Eso significa que\(G_{\alpha}\) está abierto para todos\(\alpha \in I\). Demostremos que el conjunto
\[G=\bigcup_{\alpha \in I} G_{\alpha}\]
está abierto. Toma cualquiera\(a \in G\). Entonces existe\(\alpha_{0} \in I\) tal que
\[a \in G_{\alpha_{0}}.\]
Ya que\(G_{\alpha_{0}}\) está abierto, existe\(\delta>0\) tal que
\[B(a ; \delta) \subset G_{\alpha_{0}}\]
Esto implica
\[B(a ; \delta) \subset G\]
porque\(G_{\alpha_{0}} \subset G\). Por lo tanto,\(G\) está abierto.
(c) Supongamos\(G_{i}, i=1, \ldots, n\), son subconjuntos abiertos de\(\mathbb{R}\). Demostremos que el conjunto
\[G=\bigcap_{i=1}^{n} G_{i}\]
también está abierto. Toma cualquiera\(a \in G\). Entonces\(a \in G_{i}\) para\(i=1, \ldots, n\). Ya que cada uno\(G_{i}\) está abierto, existe\(\delta_{i}>0\) tal que
\[B\left(a ; \delta_{i}\right) \subset G_{i}.\]
Vamos\(\delta=\min \left\{\delta_{i}: i=1, \ldots, n\right\}\). Entonces\(\delta>0\) y
\[B(a ; \delta) \subset G.\]
Por lo tanto,\(G\) está abierto. \(\square\)
Un subconjunto\(S\) de\(\mathbb{R}\) se llama cerrado si su complemento,\(S^{c}=\mathbb{R} \backslash S\), está abierto.
Los conjuntos\([a, b]\),\((-\infty, a]\), y\([a, \infty)\) están cerrados.
Solución
En efecto,\((-\infty, a]^{c}=(a, \infty)\) y\([a, \infty)^{c}=(-\infty, a)\) que están abiertos por el Ejemplo 2.6.1. Ya que\([a, b]^{c}=(-\infty, a) \cup(b, \infty)\),\([a, b]^{c}\) está abierto por el Teorema 2.6.1. Además, los conjuntos de elementos individuales están cerrados ya que, digamos,\(\{b\}^{c}=(-\infty, b) \cup(b, \infty)\).
Se mantienen los siguientes:
- Los conjuntos\(\emptyset\) y\(\mathbb{R}\) están cerrados.
- La intersección de cualquier colección de subconjuntos cerrados de\(\mathbb{R}\) es cerrada.
- La unión de un número finito de subconjuntos cerrados de\(\mathbb{R}\) es cerrada.
- Prueba
-
Las pruebas para estos son simples usando la ley de De Morgan. Demostremos, por ejemplo, (b). Dejar\(\left\{S_{\alpha}: \alpha \in I\right\}\) ser una colección de conjuntos cerrados. Demostraremos que el conjunto
\[S=\bigcap_{\alpha \in I} S_{\alpha}\]
también está cerrado. Tenemos
\[S^{c}=\left(\bigcap_{\alpha \in I} S_{\alpha}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha \in I} S_{\alpha}^{c}.\]
Así,\(S^{c}\) está abierto porque es una unión de conjuntos abiertos en\(\mathbb{R}\) (Teorema 2.6.1 (b)). Por lo tanto,\(S\) está cerrado. \(\square\)
De la parte (c) y del Ejemplo 2.6.2 se deduce que cualquier conjunto finito está cerrado.
Solución
Agrega texto aquí.
Un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\) se cierra si y sólo si para cualquier secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) en\(A\) que converge a un punto\(a \in \mathbb{R}\), se deduce que\(a \in A\).
- Prueba
-
Supongamos que\(A\) es un subconjunto cerrado de\(\mathbb{R}\) y\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia en la\(A\) que converge a\(a\). Supongamos por contradicción eso\(a \notin A\). Ya que\(A\) está cerrado, existe\(\varepsilon>0\) tal que\(B(a ; \varepsilon)=(a-\varepsilon, a+\varepsilon) \subset A^{c}\). Ya que\(\left\{a_{n}\right\}\) converge a\(a\), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que
\[a-\varepsilon<a_{N}<a+\varepsilon.\]
Esto implica\(a_{N} \in A^{c}\), una contradicción.
Ahora probemos lo contrario. Supongamos por contradicción que no\(A\) está cerrado. Entonces no\(A^{c}\) está abierto. Ya que no\(A^{c}\) está abierto, existe\(a \in A^{c}\) tal que para cualquiera\(\varepsilon>0\), uno tiene\(B(a ; \varepsilon) \cap A \neq \emptyset\). En particular, para tal\(a\) y para cada uno\(n \in \mathbb{N}\), existe\(a_{n} \in B\left(a ; \frac{1}{n}\right) \cap A\). Es claro que la secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) está en\(A\) y es convergente a\(a\) (porque\(\left|a_{n}-a\right|<\frac{1}{n}\), para todos\(n \in \mathbb{N}\)). Esto es una contradicción desde entonces\(a \notin A\). Por lo tanto,\(A\) está cerrado. \(\square\)
Si\(A\) es un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) eso está cerrado y delimitado arriba, entonces\(\max A\) existe. Del mismo modo, si\(A\) es un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) eso está cerrado y delimitado por debajo, entonces\(\min A\) existe
- Prueba
-
Dejar\(A\) ser un conjunto cerrado no vacío que está delimitado arriba. Entonces\(\sup A\) existe. Vamos\(m = \sup A\). Para completar la prueba, lo demostraremos\(m \in A\). Asumir por contradicción eso\(m \notin A\). entonces\(m \in A^{c}\), que es un conjunto abierto. Entonces existe\(\delta>0\) tal que
\[(m-\delta, m+\delta) \subset A^{c}.\]
Esto significa que no existe\(a \in A\) con
\[m-\delta<a \leq m.\]
Esto contradice el hecho de que\(m\) es el límite inferior superior de\(A\) (ver Proposición 1.5.1). Por lo tanto,\(max A\) existe. \(square\)
Un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\) se llama compacto si por cada secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) en\(A\), existe una subsecuencia\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) que converge a un punto\(a \in A\). 1
Vamos\(a, b \in \mathbb{R}\),\(a \leq b\). Mostramos que el conjunto\(A=[a, b]\) es compacto. Dejar\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia en\(A\). Ya que\(a \leq a_{n} \leq b\) para todos\(n\), entonces la secuencia está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 2.4.1), podemos obtener una subsecuencia convergente\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Diga,\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=s\). Ahora debemos demostrarlo\(s \in A\). Ya que\(a \leq a_{n_{k}} \leq b\) para todos\(k\), se desprende del Teorema 2.1.5, eso\(a \leq s \leq b\) y, por lo tanto,\(s \in A\) como se desee. Concluimos que\(A\) es compacto.
Solución
Dejar\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia en\(A\). Ya que\(a \leq a_{n} \leq b\) para todos\(n\), entonces la secuencia está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 2.4.1), podemos obtener una subsecuencia convergente\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Diga,\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=s\). Ahora debemos demostrarlo\(s \in A\). Ya que\(a \leq a_{n_{k}} \leq b\) para todos\(k\), se desprende del Teorema 2.1.5, eso\(a \leq s \leq b\) y, por lo tanto,\(s \in A\) como se desee. Concluimos que\(A\) es compacto.
Un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\) es compacto si y solo si está cerrado y acotado.
- Prueba
-
Supongamos que\(A\) es un subconjunto compacto de\(\mathbb{R}\). Primero demostremos que\(A\) está acotado. Supongamos, por contradicción, eso no\(A\) está acotado. Entonces para cada\(n \in \mathbb{N}\), existe\(a_{n} \in A\) tal que
\[\left|a_{n}\right| \geq n.\]
Dado que\(A\) es compacto, existe una subsecuencia\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) que converge a algunos\(a \in A\) que converge con algunos\(a \in A\). Entonces
\[\left|a_{n_{k}}\right| \geq n_{k} \geq k \quad \text { for all } k.\]
Por lo tanto,\(\lim _{k \rightarrow \infty}\left|a_{n_{k}}\right|=\infty\). Esto es una contradicción porque\(\left\{\left|a_{n_{k}}\right|\right\}\) converge a\(|a|\). Así\(A\) queda acotado.
Demostremos ahora que\(A\) está cerrado. Dejar\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia en\(A\) que converja a un punto\(a \in \mathbb{R}\). Por la definición de compacidad,\(\left\{a_{n}\right\}\) tiene una subsecuencia\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) que converge a\(b \in A\). Entonces\(a=b \in A\) y, de ahí,\(A\) se cierra por el Teorema 2.6.3.
Para lo contrario, supongamos que\(A\) está cerrado y acotado y deja\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia en\(A\). Ya que\(A\) está acotada, la secuencia está acotada y, por el teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 2.4.1), tiene una subsecuencia convergente,\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Diga,\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a\). Ahora se deduce del Teorema 2.6.3 que\(a \in A\). Thhis demuestra que\(A\) es compacto como se desee. \(\square\)
(cluster/límite/punto de acumulación). Dejar\(A\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un punto\(a \in \mathbb{R}\) (no necesariamente en\(A\)) se llama punto límite de\(A\) si para alguno\(\delta>0\), la bola abierta\(B(a ; \delta)\) contiene un número infinito de puntos de\(A\).
Un punto\(a \in A\) whihc no es un punto de acumulación de\(A\) se llama punto aislado de\(A\).
- Vamos\(A=[0,1)\).
- Vamos\(A = \mathbb{Z}\).
- Vamos\(A=\{1 / n: n \in \mathbb{N}\}\). Entonces\(a=0\) es el único punto límite de\(A\). Todos los elementos de\(A\) son puntos aislados.
Solución
- Entonces\(a=0\) es un punto límite de\(A\) y también\(b=1\) es un límite de pooint de\(A\). De hecho, cualquier punto del intervalo\([0,1]\) es un punto límite de\(A\). El conjunto no\([0,1)\) tiene puntos aislados.
- Entonces\(A\) no tiene ningún punto límite. Cada elemento de\(\mathbb{Z}\) es un punto aislado de\(\matbb{Z}\).
- Entonces\(a=0\) es el único punto límite de\(A\). Todos los elementos de\(A\) son puntos aislados.
Si\(G\) es un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) entonces cada punto de\(G\) es un punto límite de\(G\).
Solución
De hecho, más es cierto. Si\(G\) está abierto y\(a \in G\), entonces\(a\) es un punto límite de\(G \backslash\{a\}\). Efectivamente,\(\delta>0\) seamos tales que\(B(a ; \delta) \subset G\). Entonces\((G \backslash\{a\}) \cap B(a ; \delta)=(a-\delta, a) \cup(a, a+\delta)\) y, así\(B(a ; \delta)\) contiene un número infinito de puntos de\(G \backslash\{a\}\).
El siguiente teorema es una variación del teorema de Bolzano-Weierstrass.
Cualquier subconjunto limitado infinito de\(\mathbb{R}\) tiene al menos un punto límite.
- Prueba
-
Dejar\(A\) ser un subconjunto infinito de\(\mathbb{R}\) y dejar\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia de\(A\) tales que
\[a_{m} \neq a_{n} \text { for } m \neq n\]
(ver Teorema 1.2.7). Ya que\(\left\{a_{n}\right\}\) está limitado, por el teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 2.4.1), tiene una subsecuencia convergente\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Set\(b=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}\). Dado\(\delta>0\), existe\(K \in \mathbb{N}\) tal que\(a_{n_{k}} \in B(b ; \delta)\) para\(k \geq K\). Dado que el conjunto\(\left\{a_{n_{k}}: k \geq K\right\}\) es infinito, se deduce que\(b\) es un punto límite de\(A\). \(\square\)
Las siguientes definiciones y resultados proporcionan el marco para discutir la convergencia dentro de los subconjuntos de\(\mathbb{R}\).
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Decimos que un subconjunto\(V\) de\(D\) está abierto en\(D\) si por cada\(a \in V\), existe\(\delta >0\) tal que
\[B(a ; \delta) \cap D \subset V.\]
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un subconjunto\(V\) de\(D\) está abierto\(D\) si y solo si existe un subconjunto abierto\(G\) de\(\mathbb{R}\) tal que
\[V=D \cap G.\]
- Prueba
-
Supongamos que\(V\) está abierto en\(D\). Por definición, para cada\(a \in V\), existe\(\delta_{a}>0\) tal que
\[B\left(a ; \delta_{a}\right) \cap D \subset V.\]
Definir
\[G=\cup_{a \in V} B\left(a ; \delta_{a}\right)\]
Entonces\(G\) es una unión de subconjuntos abiertos de\(\mathbb{R}\), así\(G\) es abierta. Por otra parte,
\[V \subset G \cap D=\cup_{a \in V}\left[B\left(a ; \delta_{a}\right) \cap D\right] \subset V.\]
Por lo tanto,\(V=G \cap D\).
Ahora probemos los convers. Supongamos\(V=G \cap D\), dónde\(G\) está un conjunto abierto. Para cualquiera\(a \in V\), tenemos\(a \in G\), por lo que existe\(\delta>0\) tal que
\[B(a ; \delta) \subset G.\]
De ello se deduce que
\[B(a ; \delta) \cap D \subset G \cap D=V.\]
La prueba ya está completa. \(\square\)
Dejar\(D=[0,1)\) y\(V=\left[0, \frac{1}{2}\right)\).
Solución
Podemos escribir\(V=D \cap\left(-1, \frac{1}{2}\right)\). Ya que\(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) está abierto en\(\mathbb{R}\), concluimos del Teorema 2.6.7 que\(V\) está abierto en\(D\). Observe que\(V\) en sí mismo no es un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\).
El siguiente teorema es ahora una consecuencia directa de los Teoremas 2.6.7 y 2.6.1.
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Se mantienen los siguientes:
- Los subconjuntos\(\emptyset\) y\(D\) están abiertos en\(D\).
- La unión de cualquier colección de sets abiertos en\(D\) es abierta en\(D\).
- La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en\(D\) está abierta en\(D\).
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Decimos que un subconjunto\(A\) de\(D\) está cerrado en\(D\) si\(D \backslash A\) está abierto en\(D\).
Un subconjunto\(K\) de\(D\) se cierra en\(D\) si y solo si existe un subconjunto cerrado\(F\) de\(mathbb{R}\) tal que
\[K=D \cap F.\]
- Prueba
-
Supongamos que\(K\) es un conjunto cerrado en\(D\). Entonces\(D \backslash K\) está abierto en\(D\). Por Teorema 2.6.7, existe un conjunto abierto\(G\) tal que
\[D \backslash K=D \cap G.\]
De ello se deduce que
\[K=D \backslash(D \backslash K)=D \backslash(D \cap G)=D \backslash G=D \cap G^{c}.\]
Vamos\(F=G^{c}\). Entonces\(F\) es un subconjunto cerrado de\(\mathbb{R}\) y\(K=D \cap F\).
Por el contrario, supongamos que existe un subconjunto cerrado\(F\) de\(\mathbb{R}\) tal que\(K=D \cap F\). Entonces
\[D \backslash K=D \backslash(D \cap F)=D \backslash F=D \cap F^{c}.\]
Dado que\(F^{c}\) es un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\), aplicando nuevamente el Teorema 2.6.7, uno tiene el\(D \backslash K\) está abierto en\(D\).
Por lo tanto,\(K\) está cerrado\(D\) por definición. \(\square\)
Dejar\(D=[0,1)\) y\(K=\left[\frac{1}{2}, 1\right)\).
Solución
Podemos escribir\(K=D \cap\left[\frac{1}{2}, 2\right]\). Ya que\(\left[\frac{1}{2}, 2\right]\) está cerrado en\(\mathbb{R}\), concluimos del Teorema 2.6.9 que\(K\) está cerrado en\(D\). Observe que\(K\) en sí mismo no es un subconjunto cerrado de\(\mathbb{R}\).
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un subconjunto\(K\) de\(D\) se cierra en\(D\) si y solo si por cada secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(K\) que converge a un punto sigue\(\bar{x} \in D\) eso\(\bar{x} \in K\).
- Prueba
-
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\) Supongamos que\(K\) está cerrado en\(D\). Por Teorema 2.6.9, existe un subconjunto cerrado\(F\) de\(\mathbb{R}\) tales que
\[K=D \cap F.\]
Dejar\(\left\{x_{k}\right\}\) ser una secuencia en\(K\) que converja a un punto\(\bar{x} \in D\). Dado que también\(\left\{x_{k}\right\}\) es una secuencia en\(F\) y\(F\) es un subconjunto cerrado de\(\mathbb{R}\),\(\bar{x} \in F\). Por lo tanto,\(\bar{x} \in D \cap F=K\).
Demostremos lo contrario. Supongamos por contradicción que no\(K\) está cerrado\(D\) o no\(D \backslash K\) está abierto en\(D\). Entonces existe\(\bar{x} \in D \backslash K\) tal que para cada\(\delta>0\), uno tiene
\[B(\bar{x} ; \delta) \cap D \nsubseteq D \backslash K.\]
En particular, para cada\(k \in \mathbb{N}\),
\[B\left(\bar{x} ; \frac{1}{k}\right) \cap D \nsubseteq D \backslash K.\]
Para cada uno\(k \in \mathbb{N}\), elige\(x_{k} \in B\left(\bar{x} ; \frac{1}{k}\right) \cap D\) tal que\(x_{k} \notin D \backslash K\). Entonces\(\left\{x_{k}\right\}\) es una secuencia en\(K\) y, además,\(\left\{x_{k}\right\}\) converge a\(\bar{x} \in D\). Entonces\(\bar{x} \in K\). Esto es una contradicción. Concluimos que\(K\) está cerrado en\(D\). \(square\)
El siguiente teorema es una consecuencia directa de los teoremas 2.6.9 y 2.6.2.
Dejar\(D\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Se mantienen los siguientes:
- Los subconjuntos\(\emptyset\) y\(D\) están cerrados en\(D\).
- La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados\(D\) está cerrada en\(D\).
- La unión de un número finito de conjuntos cerrados en\(D\) está cerrada en\(D\).
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Considera el conjunto\(D=[0,1)\) y el subconjunto\(A=\left[\frac{1}{2}, 1\right)\).
Solución
Claramente,\(A\) está acotado. Mostramos en el Eample 2.6.8 que\(A\) está cerrado en\(D\). Sin embargo, no\(A\) es compacto. Esto lo mostramos al encontrar una secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) en\(A\) la que ninguna subsecuencia converge a un punto en\(A\).
En efecto, considere la secuencia\(a_{n}=1-\frac{1}{2 n}\) para\(n \in \mathbb{N}\). Entonces a_ {n}\ en A\) para todos\(n\). Además,\(\left\{a_{n}\right\}\) converge\(1\) y, por lo tanto, cada subsecuencia también converge a\(1\). Ya que\(1 \notin A\), se deduce que no\(A\) es compacto.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Demostrar que un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\) está abierto si y sólo si para alguno\(x \in A\), existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que\((x-1 / n, x+1 / n) \subset A\).
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Demostrar que el intervalo no\([0,1)\) es ni abierto ni cerrado.
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Demostrar que si\(A\) y\(B\) son subconjuntos compactos de\(\mathbb{R}\), entonces\(A \cup B\) es un conjunto compacto.
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Demostrar que la intersección de cualquier colección de subconjuntos compactos de\(\mathbb{R}\) es compacta.
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Encuentra todos los puntos límite y todos los puntos aislados de cada uno de los siguientes conjuntos:
- \(A=(0,1)\).
- \(B=[0,1)\).
- \(C=\mathbb{Q}\).
- \(D=\{m+1 / n: m, n \in \mathbb{N}\}\).
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Vamos\(D=[0, \infty)\). Clasifique cada subconjunto de\(D\) abajo como abierto en\(D\), cerrado en\(D\), ninguno o ambos. Justifica tus respuestas.
- \(A=(0,1)\).
- \(B=\mathbb{N}\).
- \(C=\mathbb{Q} \cap D\).
- \(D=(-1,1]\).
- \(E=(-2, \infty)\).
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
1 Esta definición de compacidad es referida más comúnmente como compacidad secuencial.