4.3: Divergencia de una serie
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- Explicar la divergencia
En el Teorema 3.2.1 vimos que hay un reordenamiento de la serie armónica alterna que diverge a\(∞\) o\(-∞\). En esa sección no nos preocupamos por ninguna noción formal de divergencia. Supusimos en cambio que ya estás familiarizado con el concepto de divergencia, probablemente de tomar cálculo en el pasado.
Sin embargo, ahora estamos en el proceso de construir definiciones precisas y formales para los conceptos que vamos a utilizar por lo que definimos la divergencia de una secuencia de la siguiente manera.
Una secuencia de números reales\((s_n)_{n=1}^\infty\) diverge si no converge a ninguno\(a \in \mathbb{R}\).
Puede parecer innecesariamente pedante de nuestra parte insistir en afirmar formalmente una definición tan obvia. Después de todo, “converger” y “divergir” son opuestos en el inglés ordinario. ¿Por qué no serían matemáticamente opuestos también? ¿Por qué tenemos que tomarnos la molestia de definirlos formalmente a ambos? Ya que son opuestos definiendo uno define implícitamente al otro ¿no?
Una forma de responder a esa crítica es afirmar que en las matemáticas siempre trabajamos a partir de definiciones precisamente establecidas y argumentos lógicos fuertemente razonados.
Pero esto es sólo más pedantería. Es una manera de decir: “Porque así lo dijimos” todo vestido con un lenguaje imponente. Tenemos que hacerlo mejor que eso.
Una razón para proporcionar definiciones formales tanto de convergencia como de divergencia es que en matemáticas frecuentemente cooptamos palabras de lenguajes naturales como el inglés y las imbuimos de significado matemático que solo está tangencialmente relacionado con la definición original en inglés. Cuando tomamos dos palabras de este tipo que resultan ser opuestas en inglés y les damos significados matemáticos que no son opuestos puede resultar muy confuso, especialmente al principio.
Esto es lo que pasó con las palabras “abierto” y “cerrado”. Estos son opuestos en inglés: “not open” is “closed”, “not closed” is “open”, y no hay nada que sea tanto open como closed. Pero recordemos que un intervalo abierto en la línea real\((a,b)\),, es aquel que no incluye ninguno de sus extremos mientras que un intervalo cerrado\([a,b]\),, es uno que incluye a ambos.
Estos pueden parecer opuestos al principio pero no lo son. Para ver esto observamos que el intervalo no\((a,b]\) es ni abierto ni cerrado ya que solo contiene uno de sus extremos. 1 Si “abierto” y “cerrado” fueran matemáticamente opuestos entonces cada intervalo estaría abierto o cerrado.
Los matemáticos han aprendido a ser extremadamente cuidadosos con este tipo de cosas. En el caso de convergencia y divergencia de una serie, a pesar de que estas palabras son en realidad opuestas matemáticamente (cada secuencia o bien converge o diverge y ninguna secuencia converge y diverge) es mejor decirlo explícitamente para que no pueda haber confusión.
Una secuencia sólo\((a_n)_{n=1}^\infty\) puede converger a un número real, a, de una manera: acercándose arbitrariamente a a Sin embargo, hay varias formas en que una secuencia puede divergir.
Considera la secuencia,\((n)_{n=1}^\infty\). Esto claramente diverge al hacerse cada vez más grande... ¡Uy! Tengamos cuidado. La secuencia\(\left (1 - \frac{1}{n} \right )_{n=1}^\infty\) se hace más y más grande también, pero converge. Lo que pretendíamos decir fue que los términos de la secuencia\((n)_{n=1}^\infty\) se vuelven arbitrariamente grandes a medida que\(n\) aumenta.
Esto es claramente una secuencia divergente pero puede que no quede claro cómo probarlo formalmente. Aquí hay una manera.
Para mostrar divergencia debemos demostrar que la secuencia satisface la negación de la definición de convergencia. Es decir, debemos demostrar que para cada\(r ∈ R\) hay un\(ε > 0\) tal que para cada\(N ∈ R\), hay un\(n > N\) con\(|n-r|≥ ε\).
Así que vamos\(ε = 1\), y dejemos\(r ∈ R\) que se den. Vamos\(N = r + 2\). Entonces para cada\(n > N |n - r| > |(r + 2) - r| = 2 > 1\). Por lo tanto, la secuencia diverge.
Esto parece haber sido más trabajo del que deberíamos tener que hacer para un problema tan sencillo. Aquí hay otra forma en la que se destaca este tipo particular de divergencia.
Primero necesitaremos una nueva definición:
Una secuencia,\((a_n)_{n=1}^\infty\), diverge al infinito positivo si por cada número real\(r\), hay un número real\(N\) tal que\(n > N ⇒ a_n > r\).
Una secuencia,\((a_n)_{n=1}^\infty\), diverge al infinito negativo si por cada número real\(r\), hay un número real\(N\) tal que\(n > N ⇒ a_n < r\).?
Se dice que una secuencia diverge al infinito si diverge al infinito positivo o negativo.
En la práctica queremos pensar en un número muy grande.\(|r|\) Esta definición dice que una secuencia diverge al infinito si se vuelve arbitrariamente grande a medida que\(n\) aumenta, y de manera similar para la divergencia al infinito negativo.
Espectáculo que\((n)_{n=1}^\infty\) diverge hasta el infinito.
Mostrar que si\((a_n)_{n=1}^\infty\) diverge al infinito entonces\((a_n)_{n=1}^\infty\) diverge.
Denotaremos divergencia al infinito como
\[\lim_{n \to \infty } a_n = \pm \infty\]
Sin embargo, estrictamente hablando esto es un abuso de notación ya que el símbolo ∞ no representa un número real. Esta notación puede ser muy problemática ya que se parece mucho a la notación que usamos para denotar convergencia:\(\lim_{n \to \infty } a_n = a\).
Sin embargo, la notación es apropiada porque la divergencia al infinito es divergencia “agradable” en el sentido de que comparte muchas de las propiedades de la convergencia, como muestra el siguiente problema.
Supongamos\(\lim_{n \to \infty } a_n = \infty\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = \infty\).
- Demostrar que\(\lim_{n \to \infty } a_n + b_n = \infty\)
- Demostrar que\(\lim_{n \to \infty } a_n b_n = \infty\)
- ¿Es cierto eso\(\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = \infty\)? Explique.
Debido a que la divergencia al infinito positivo o negativo comparte algunas de las propiedades de la convergencia es fácil dejarse descuidar con ella. Recuerda que aunque escribamos\(\lim_{n \to \infty } a_n = \infty\) esta sigue siendo una secuencia divergente en el sentido de que\(\lim_{n \to \infty } a_n\) no existe. El símbolo\(∞\) no representa un número real. Esto es solo una cómoda taquigrafía notacional que nos dice que la secuencia diverge al volverse arbitrariamente grande.
supongamos\(\lim_{n \to \infty } a_n = \infty\) y\(\lim_{n \to \infty } b_n = -\infty\) y\(\alpha \in \mathbb{R}\). Probar o dar un contraejemplo:
- \(\lim_{n \to \infty } a_n + b_n = \infty\)
- \(\lim_{n \to \infty } a_n b_n = \infty\)
- \(\lim_{n \to \infty } \alpha a_n = \infty\)
- \(\lim_{n \to \infty } \alpha a_n = -\infty\)
Finalmente, una secuencia puede divergir de otras maneras, ya que se muestra el siguiente problema.
Mostrar que cada una de las siguientes secuencias divergen.
- \(\left ((-1)^n \right )_{n=1}^{\infty }\)
- \(\left ((-1)^n n \right )_{n=1}^{\infty }\)
- \(a_n = \begin{cases} 1 & \text{ if } n=2^p \text{ for some } p\in \mathbb{N} \\ \frac{1}{n} & \text{ otherwise } \end{cases}\)
Supongamos que\((a_n)_{n=1}^\infty\) diverge pero no hasta el infinito y ese\(α\) es un número real. En qué condiciones\(α\) garantizarán que:
- \((\alpha a_n)_{n=1}^\infty\)converge?
- \((\alpha a_n)_{n=1}^\infty\)diverge?
Demostrar que si\(|r| > 1\) entonces\((r^n)_{n=1}^\infty\) diverge. ¿Divergirá hasta el infinito?