9.1: Serie Trigonométrica
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- Explicar la serie Trigonométrica
Como hemos visto, cuando convergen, las series de potencia se comportan muy bien y las series de Fourier (trigonométricas) no necesariamente lo son. El hecho de que las series trigonométricas fueran tan interesantes las convirtió en un pararrayos para el estudio matemático a finales del siglo XIX.
Por ejemplo, considere la cuestión de la singularidad. Vimos en el Capítulo 5 que si una función pudiera ser representada por una serie power, entonces esa serie debe ser la serie Taylor. Más precisamente, si
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } a_n(x-a)^n, \text{ then } a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\]
Pero, ¿qué se puede decir de la singularidad de una serie trigonométrica? Si podemos representar una función\(f\) como una serie trigonométrica general
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } (a_n\cos n\pi x + b_n\sin n\pi x)\]
entonces, ¿debe ser esta la serie de Fourier con los coeficientes determinados por Fourier?
Por ejemplo, si\(\sum_{n=0}^{\infty } (a_n\cos n\pi x + b_n\sin n\pi x)\) converge de\(f\) manera uniforme en el intervalo\((0,1)\), entonces debido a la convergencia uniforme, la integración término por término de Fourier que vimos antes es perfectamente legítima y los coeficientes son, necesariamente, los coeficientes que computó. Sin embargo, hemos visto que la convergencia de una serie de Fourier no necesita ser uniforme. Esto no significa que no podamos integrar término por término, pero sí dice que no podemos estar seguros de que la integración término por término de una serie de Fourier producirá la integral de la función asociada.
Esto llevó a una generalización de la integral de Henri Lebesgue en 1905. El profundo trabajo de Lebesgue resolvió la cuestión de si una serie trigonométrica convergente puntual delimitada es o no la serie de Fourier de una función, pero no vamos a ir en esta dirección. En cambio, nos centraremos en el trabajo que Georg Cantor hizo en los años justo antes. El trabajo de Cantor también fue profundo y tuvo implicaciones de largo alcance en las matemáticas modernas. También lleva a algunas conclusiones muy raras. 1
Para comenzar, suprimamos la función subyacente y supongamos que tenemos
\[\sum_{n=0}^{\infty } (a_n\cos n\pi x + b_n\sin n\pi x) = \sum_{n=0}^{\infty } (a'_n\cos n\pi x + b'_n\sin n\pi x)\]
Nos preguntamos: Si estas dos series son iguales debe ser cierto que\(a_n = a'_n\) y\(b_n = b'_n\)? Podemos reformular esta pregunta de singularidad de la siguiente manera: Supongamos
\[\sum_{n=0}^{\infty } ((a_n - a'_n)\cos n\pi x + (b_n - b'_n)\sin n\pi x) = 0\]
Si dejamos\(c_n = a_n - a'_n\) y\(d_n = b_n = b'_n\), entonces la pregunta se convierte en: Si\(\sum_{n=0}^{\infty } (c_n\cos n\pi x + d_n\sin n\pi x) = 0\), entonces\(c_n = d_n = 0\) ¿lo hará? Ciertamente parece razonable suponerlo, pero en este punto tenemos suficiente experiencia con sumas infinitas para saber que hay que tener mucho cuidado al confiar en la intuición que hemos perfeccionado en las sumas finitas.
La respuesta a esta pregunta aparentemente básica conduce a algunos resultados muy profundos. En particular, responder a esta pregunta llevó al matemático Georg Cantor (1845-1918) a estudiar la composición del sistema numérico real. Esto a su vez abrió la puerta a la visión moderna de las matemáticas del siglo XX. En particular, Cantor demostró el siguiente resultado en 1871.
Si la serie trigonométrica
\[\sum_{n=0}^{\infty } (c_n\cos n\pi x + d_n\sin n\pi x) = 0\]
“con la excepción de ciertos valores de”\(x\), entonces todos sus coeficientes desaparecen.
En sus intentos de precisar precisamente qué “ciertos valores” podían ser excepcionales, Cantor fue llevado a examinar la naturaleza de los subconjuntos de números reales y, en última instancia, a dar una definición precisa del concepto de conjuntos infinitos y a definir una aritmética de “números infinitos”. (En realidad, los llamó números transfinitos porque, por definición, los números son finitos.)
Como primer paso hacia la identificación de esos “ciertos valores”, Cantor probó el siguiente teorema, que vamos a exponer pero no probar.
Si la serie trigonométrica
\[\sum_{n=0}^{\infty } (c_n\cos n\pi x + d_n\sin n\pi x) = 0\]
pues todos\(x ∈ \mathbb{R} \) entonces todos sus coeficientes desaparecen.
Posteriormente extendió esto a lo siguiente:
Si la serie trigonométrica
\[\sum_{n=0}^{\infty } (c_n\cos n\pi x + d_n\sin n\pi x) = 0\]
para todos pero finitamente muchos\(x ∈ \mathbb{R}\) entonces todos sus coeficientes desaparecen.
Observe que esto no es una generalización trivial. Si bien los puntos excepcionales están limitados a ser finitos en número, este número aún podría ser extraordinariamente grande. Es decir, aunque la serie dada anteriormente difiriera de cero en\(10^{10^{100000}}\) distintos puntos en\((0,10^{10^{-100000}})\) el intervalo, los coeficientes aún desaparecen. Esto sigue siendo cierto aunque en cada uno de estos\(10^{10^{100000}}\) puntos converja la serie\(10^{10^{100000}}\). Esto es realmente notable cuando lo piensas de esta manera.
Figura\(\PageIndex{1}\): Georg Cantor
En este punto Cantor se interesó más por estos puntos excepcionales que en el problema de la serie de Fourier con el que había comenzado. La siguiente tarea que se fijó fue ver cuán general podría ser el conjunto de puntos excepcionales. Siguiendo el ejemplo de Cantor hacemos las siguientes definiciones.
Dejar\(S ⊆ R\) y dejar que un sea un número real. Decimos que a es un punto límite (o un punto de acumulación) de\(S\) si hay una secuencia (\(a_n\)) con la\(a_n ∈ S - {a}\) que converge a\(a\).
Dejar\(S ⊆ R\) y dejar\(a\) ser un número real. Demostrar que\(a\) es un punto límite de\(S\) si y solo si para cada\(ε > 0\) intersección
\[(a-\varepsilon , a + \varepsilon )\cap S - {a}\neq \varnothing\]
La siguiente definición llega al meollo del asunto.
Vamos\(S ⊆ R\). El conjunto de todos los puntos límite de\(S\) se llama el conjunto derivado de\(S\). Se denota el conjunto derivado\(S'\).
No confunda el conjunto derivado de un conjunto con la derivada de una función. Son objetos completamente diferentes a pesar de la similitud tanto del lenguaje como de la notación. Lo único que tienen en común es que de alguna manera fueron “derivados” de otra cosa.
Determinar el conjunto derivado,\(S'\), de cada uno de los siguientes conjuntos.
- \(S = \left \{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \right \}\)
- \(S = \left \{ 0, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \right \}\)
- \(S = (0,1]\)
- \(S = [0,1/2) ∪ (1/2,1]\)
- \(S = \mathbb {Q}\)
- \(S = \mathbb{R} - \mathbb{Q}\)
- \(S = \mathbb{Z}\)
- Cualquier conjunto finito\(S\).
Vamos\(S ⊆ \mathbb{R}\).
- \((S')' ⊆ S'\)Demuéstralo.
- Dé un ejemplo donde estos dos conjuntos son iguales.
- Dé un ejemplo donde estos dos conjuntos no son iguales.
La noción del conjunto derivado constituye la base del conjunto excepcional de valores de Cantor. Específicamente,\(S\) volvamos a ser un conjunto de números reales y considerar la siguiente secuencia de conjuntos:
\[S' \supseteq (S')' \supseteq ((S')')' \supseteq \cdots\]
Cantor demostró que si, en algún momento, uno de estos conjuntos derivados está vacío, entonces la propiedad de singularidad aún se mantiene. En concreto, contamos con:
Dejar\(S\) ser un subconjunto de los números reales con la propiedad de que uno de sus conjuntos derivados está vacío. Entonces si la serie trigonométrica\(\sum_{n=0}^{\infty } (c_n\cos n\pi x + d_n\sin n\pi x)\) es cero para todos\(x ∈ R-S\), entonces todos los coeficientes de la serie desaparecen.