9.2: Conjuntos Infinitos
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- Explicar conjuntos infinitos
El siguiente teorema sigue directamente de nuestro trabajo previo con el NIP y será muy útil después. Básicamente dice que una secuencia de intervalos cerrados anidados seguirá teniendo una intersección no vacía aunque sus longitudes no converjan a cero como en el NIP.
Dejar\(\left ( [a_n, b_n] \right )_{n=1}^{\infty }\) ser una secuencia de intervalos anidados tal que\(\lim_{n \to \infty } \left | b_n - a_n \right | > 0\). Entonces hay al menos uno de\(c ∈ \mathbb{R}\) esos que\(c ∈ [a_n, b_n]\) para todos\(n ∈ N\).
- Prueba
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Por Corolario 7.4.1 del Capítulo 7, sabemos que una secuencia acotada creciente tal como\((a_n)\) converge, digamos a\(c\). Desde\(a_n ≤ a_m ≤ b_n\) para\(m > n\) y\(\lim_{m \to \infty } a_m = c\), luego para cualquier fijo\(n\),\(a_n ≤ c ≤ b_n\). Esto lo dice\(c ∈ [a_n, b_n]\) para todos\(n ∈ N\).
Supongamos\(\lim_{n \to \infty } \left | b_n - a_n \right | > 0\). Demostrar que hay al menos dos puntos,\(c\) y\(d\), tal que\(c ∈ [a_n,b_n]\) y\(d ∈ [a_n,b_n]\) para todos\(n ∈ N\).
Nuestro siguiente teorema dice que en cierto sentido muy técnico hay más números reales que números contando 2. Esto probablemente no parece terriblemente significativo. Después de todo, hay números reales que no están contando números. Lo que hará que esto sea tan sorprendente es que no se puede decir lo mismo de todos los conjuntos que contienen estrictamente los números de conteo. Entraremos en los detalles de esto después de que se pruebe el teorema.
\(S = \left ( s_n \right )_{n=1}^{\infty }\)Sea una secuencia de números reales. Hay un número real\(c\), que no está en 1\(S\).
- Prueba
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Para obtener una contradicción supongamos que la secuencia\(S\) contiene cada número real; es decir,\(S = \mathbb{R}\). Como de costumbre construiremos una secuencia de intervalos anidados\(\left ( [x_i, y_i] \right )_{i=1}^{\infty }\).
Dejar\(x_1\) ser el menor de los dos primeros elementos distintos de\(S\), dejar\(y_1\) ser el más grande y tomar\([x_1, y_1]\) para ser el primer intervalo.
A continuación asumimos que se\([x_{n-1}, y_{n-1}]\) ha construido y construido de la\([x_n, y_n]\) siguiente manera. Observe que hay infinitamente muchos elementos de\(S\) in\((x_{n-1}, y_{n-1})\) since\(S = \mathbb {R}\). Dejar\(s_m\) y\(s_k\) ser los dos primeros elementos distintos de\(S\) tal manera que
\[s_m,s_k \epsilon (x_{n-1}, y_{n-1})\]
Tomar\(x_n\) para ser el más pequeño y\(y_n\) ser el más grande de\(s_m\) y\(s_k\). Entonces\([x_n, y_n]\) es el\(n_{th}\) intervalo.
Por la forma en que los construimos queda claro que
\[[x_1, y_1] ⊇ [x_2, y_2] ⊇ [x_3, y_3] ⊇ .... \]
Por lo tanto por Teorema\(\PageIndex{1}\) hay un número real, digamos\(c\), tal que
\[c ∈ [x_n, y_n] \text{ for all } n ∈ \mathbb {N}\]
De hecho, ya\(x_1 < x_2 < x_3 ... < y_3 < y_2 < y_1\) que es claro que
\[x_n < c < y_n, ∀n\]
Demostraremos que\(c\) es el número que buscamos. Que las desigualdades en la fórmula anterior\(\PageIndex{4}\) sean estrictas jugará un papel crucial.
Para ver eso\(c \not{\epsilon }\; S\) suponemos eso\(c ∈ S\) y derivar una contradicción.
Entonces, supongamos que\(c = s_p\) para algunos\(p ∈ \mathbb {N}\). Entonces sólo\(\{s_1, s_2,..., s_{p-1}\}\) aparecen antes\(s_p\) en la secuencia\(S\). Dado que cada uno\(x_n\) se toma de\(S\) él se deduce que solo finitamente muchos elementos de la secuencia (\(x_n\)) aparecen antes\(s_p = c\) en la secuencia también.
Dejar\(x_l\) ser el último elemento de (\(x_n\)) que aparece antes\(c = s_p\) en la secuencia y considerar\(x_{l+1}\). La forma en que se construyó,\(x_{l+1}\) fue uno de los dos primeros términos distintos en la secuencia\(S\) estrictamente entre\(x_l\) y\(y_l\), siendo el otro\(y_{l+1}\). Ya que\(x_{l+1}\) no aparece antes\(c = s_p\) en la secuencia y\(x_l < c < y_l\), de ello se deduce que\(c = x_{l+1}\) o bien\(c = y_{l+1}\). Sin embargo, esto nos da una contradicción como sabemos por la ecuación\(\PageIndex{4}\) que\(x_{l+1} < c < y_{l+1}\).
Así no\(c\) es un elemento de\(S\).
Entonces, ¿cómo muestra este teorema que hay “más” números reales que contar números? Antes de abordar esa pregunta necesitamos tener mucho cuidado con el significado de la palabra 'más' cuando estamos hablando de conjuntos infinitos.
Primero consideremos dos conjuntos finitos, digamos\(A = {α,β,γ,δ}\) y\(B = {a,b,c,d,e}\). ¿Cómo sabemos que\(B\) es el conjunto más grande? (Obviamente lo es.) Claramente podemos simplemente contar el número de elementos en ambos\(A\) y\(B\). Desde\(|A| = 4\) y\(|B| = 5\) y\(4 < 5\). \(B\)es claramente más grande. Pero estamos buscando una manera de determinar el tamaño relativo de dos conjuntos sin contarlos porque no tenemos forma de contar el número de elementos de un conjunto infinito. En efecto, ni siquiera está claro qué podría significar la frase “el número de elementos” cuando se aplica a los elementos de un conjunto infinito.
Cuando contamos el número de elementos en un conjunto finito lo que realmente estamos haciendo es hacer coincidir los elementos del conjunto con un conjunto de enteros positivos consecutivos, comenzando en\(1\). Así ya\[1 \leftrightarrow \alpha \\ 2 \leftrightarrow \beta \\ 3 \leftrightarrow \gamma \\ 4 \leftrightarrow \delta\] que vemos eso\(|A| = 4\). Además, el orden del enfrentamiento no tiene importancia. Por lo tanto\[2 \leftrightarrow e \\ 3 \leftrightarrow a \\ 5 \leftrightarrow b \\ 4 \leftrightarrow d \\ 1 \leftrightarrow c\], ya que está claro que los elementos de\(B\) y el conjunto también se\(\{1,2,3,4,5\}\) pueden emparejar. Y no importa en qué orden esté cualquiera de los dos conjuntos. Ambos tienen\(5\) elementos.
Tal enfrentamiento se llama correspondencia uno a uno. En general, si dos conjuntos se pueden poner en correspondencia uno a uno, entonces son del mismo “tamaño”. Por supuesto que la palabra “tamaño” tiene muchas connotaciones que comenzarán a interponerse en el camino cuando hablemos de conjuntos infinitos, así que en cambio diremos que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Hablando vagamente, esto solo significa que son del mismo tamaño.
Más precisamente, si un conjunto dado se\(S\) puede poner en correspondencia uno a uno con un conjunto finito de enteros consecutivos\(\{1,2,3,...,N\}\), digamos, entonces decimos que la cardinalidad del conjunto es\(N\). Pero esto solo quiere decir que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Es esta noción de correspondencia uno a uno, junto con las dos siguientes definiciones, las que nos permitirán comparar los tamaños (cardinalidades) de conjuntos infinitos.
Cualquier conjunto que se pueda poner en correspondencia uno a uno con\(N = \{1,2,3,...\}\) se llama un conjunto contablemente infinito. Cualquier conjunto que sea finito o contablemente infinito se dice que es contable.
Ya que\(\mathbb{N}\) es un conjunto infinito, no tenemos símbolo para designar su cardinalidad por lo que tenemos que inventar uno. El símbolo utilizado por Cantor y adoptado por los matemáticos desde entonces es\(\aleph _0\). 3 Así es la cardinalidad de cualquier conjunto contablemente infinito\(\aleph _0\).
Ya hemos dado la siguiente definición de manera informal. Lo incluimos formalmente aquí para su posterior referencia.
Si se pueden poner dos conjuntos en correspondencia uno a uno entonces se dice que tienen la misma cardinalidad.
Con estas dos definiciones en su lugar podemos ver que el Teorema\(\PageIndex{2}\) es nada menos que la afirmación de que los números reales no son contablemente infinitos. Como ciertamente no es finito, entonces decimos que el conjunto de números reales es incontable y por lo tanto “más grande” que los números naturales!
Para ver esto supongamos primero que cada número real aparece en la secuencia\(\left ( s_n \right )_{n=1}^{\infty }\) exactamente una vez. En ese caso, la indexación de nuestra secuencia es realmente solo una correspondencia uno a uno entre los elementos de la secuencia y\(\mathbb{N}\):
\[1 \leftrightarrow s_1 \\ 2 \leftrightarrow s_2 \\ 3 \leftrightarrow s_3 \\ 4 \leftrightarrow s_4 \\ \vdots\]
Si algunos números reales se repiten en nuestra secuencia entonces todos los números reales son un subconjunto de nuestra secuencia y por lo tanto también serán contables.
En cualquier caso, cada secuencia es contable. Pero nuestro teorema dice que ninguna secuencia en\(\mathbb{R}\) incluye todos\(\mathbb{R}\). Por lo tanto,\(\mathbb{R}\) es incontable.
La mayoría de los conjuntos que has encontrado en lo que va de tu vida han sido contables.
Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos es contable.
- \(\{2,3,4,5,...\} = \left \{ n \right \}_{n=2}^{\infty }\)
- \(\{0,1,2,3,...\} = \left \{ n \right \}_{n=0}^{\infty }\)
- \(\{1,4,9,16,...,n^2,...\} = \left \{ n^2 \right \}_{n=1}^{\infty }\)
- El conjunto de números primos.
- \(\mathbb{Z}\)
De hecho, si empezamos con un conjunto contable es bastante difícil usarlo para construir cualquier cosa que no sea otro conjunto contable.
Dejar\(\{A_i\}\) ser una colección de conjuntos contables. Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos también es contable:
- Cualquier subconjunto de\(A_1\).
- \(A_1 ∪ A_2\)
- \(A_1 ∪ A_2 ∪ A_3\)
- \(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\)
- \(\bigcup_{i=1}^{\infty } A_i\)
Parece que no importa lo que hagamos el único ejemplo de un conjunto infinitamente infinito es\(\mathbb{R}\). ¡Pero espera! ¿Recuerdas los números racionales? Eran similares a los números reales en muchos sentidos. ¿Quizás también son incontables infinitos?
Ay, no. Los números racionales también resultan ser contables.
Demostrar que\(\mathbb{Q}\) es contable.
- Croquis de Prueba
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Primero explica cómo sabes que todos los números racionales no negativos están en esta lista:
\[\frac{0}{1}, \frac{0}{2}, \frac{1}{1}, \frac{0}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{0}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}, \cdots\]
Sin embargo, es evidente que hay alguna duplicación. Para manejar esto, aplique la parte (a) del Ejercicio\(\PageIndex{3}\). ¿Esto completa la prueba o hay más que hacer?
Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\)
El siguiente corolario dice que la cardinalidad de los números reales es mucho mayor que la cardinalidad de los números racionales, a pesar de que ambos son infinitos.
Es decir, como subconjunto de los reales, los racionales pueden estar contenidos en una secuencia de intervalos, cuya suma de longitudes puede ser arbitrariamente pequeña. En cierto sentido esto dice que un conjunto contablemente infinito es tan pequeño (en la escala transfinita) que es “casi” finito.
Por lo general expresamos esta idea con el enunciado, “\(\mathbb{Q}\)es un conjunto de medida cero adentro\(\mathbb{R}\). ” El término “medida” tiene un significado preciso que no vamos a perseguir. El siguiente corolario contiene la esencia de la idea.
Dejemos\(ε > 0\) que se den. Hay una colección de intervalos en\(\mathbb{R}\),\(I_n = [a_n,b_n]\) tal que
\[\mathbb{Q} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty } I_n\]
y
\[\sum_{n=1}^{\infty } (b_n - a_n) < \varepsilon\]
Demostrar Corolario\(\PageIndex{1}\).
- Pista
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Si tuviéramos sólo finitamente muchos racionales para lidiar con esto sería fácil. Que\(\{r_1, r_2, ..., r_k\}\) sean estos números racionales y tomemos\(a_n = r_n - \frac {ε}{2k}\) y\(b_n = r_n + \frac {ε}{2k}\). Entonces para todos\(n = 1,..., k r_n ∈ [a_n, b_n]\) y
\[\sum_{n=1}^{k} b_n - a_n = \sum_{n=1}^{k} \frac{\varepsilon }{k} = \varepsilon\]
La dificultad es, ¿cómo pasamos del caso finito al infinito?
Observe cómo esta idea se remonta a la discusión del enfoque de Leibniz sobre la Regla del Producto. Simplemente echó a un lado la expresión\(dxdy\) porque era 'infinitamente pequeña' en comparación con cualquiera\(xdy\) o\(ydx\). Aunque esto no es exactamente lo mismo que estamos discutiendo aquí, es similar y está claro que la perspicacia y la intuición de Leibniz fueron extremadamente agudas. Lo estaban moviendo en la dirección correcta, al menos.
Todos nuestros esfuerzos por construir un conjunto incontable a partir de uno contable han llegado a la nada. De hecho muchos conjuntos que al principio “sienten” que deberían ser incontables son de hecho contables. Esto hace que la inccountabilidad de\(\mathbb{R}\) aún más notable.
Sin embargo si empezamos con un conjunto incontable es relativamente fácil construir otros a partir de él.
- Dejar\((a,b)\) y\ ((c, d)\ 0 ser dos intervalos abiertos de números reales. Demostrar que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad al construir una función uno a uno entre los m.
- Pista
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Una función lineal debería hacer el truco.
- Demostrar que cualquier intervalo abierto de números reales tiene la misma cardinalidad que\(\mathbb{R}\).
- Pista
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Considera el intervalo\((-π/2,π/2)\).
- Demostrar eso\((0,1]\) y\((0,1)\) tener la misma cardinalidad.
- Pista
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Obsérvese eso\(\{1,1/2,1/3,...\}\) y\(\{1/2,1/3,...\}\) tengan la misma cardinalidad.
- Demostrar eso\([0,1]\) y\((0,1)\) tener la misma cardinalidad.
Referencias
1 Para agilizar las cosas, estamos abusando de la notación aquí ya que estamos dejando\(S\) denotar tanto la secuencia (que está ordenada) como el conjunto subyacente (desordenado) de entradas en la secuencia.
2\(\aleph _0\) es la primera letra del alfabeto hebreo y se pronuncia “aleph”. \(\aleph _0\)se pronuncia” aleph nulo.”