1.1: Conjuntos y Operaciones en Conjuntos. Cuantificadores
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Conjuntos y operaciones en conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos de cualquier tipo especificado. Los conjuntos generalmente se denotan con mayúsculas. Los objetos que pertenecen a un conjunto se denominan sus elementos o miembros. Escribimos\(x \in A\) si\(x\) es miembro de\(A\), y\(x \notin A\) si no lo es.
\(A = \{a, b, c, ...\}\)significa que\(A\) consiste en los elementos\(a, b, c, ... \). En particular,\(A = \{a, b\}\) consiste en\(a\) y\(b\);\(A = \{p\}\) consiste en\(p\) solo. El conjunto vacío o vacío,\(\emptyset\), no tiene elementos. Igualdad (\(=\)) significa identidad lógica.
Si todos los miembros de también\(A\) están en\(B\), llamamos a\(A\) un subconjunto de\(B\) (y\(B\) es un superconjunto de\(A\)), y escribimos\(A \subseteq B\) o\(B \supseteq A\). Es un axioma que los conjuntos\(A\) y\(B\) son iguales (\(A = B\)) si tienen los mismos miembros, es decir,
\[A \subseteq B \hskip 8pt and \hskip 8pt B \subseteq A.\]
Si, sin embargo,\(A \subseteq B\) pero\(B \nsubseteq A\) (es decir, B tiene algunos elementos que no están en A), llamamos a\(A\) un subconjunto apropiado de\(B\) y escribimos\(A \subset B\) o\(B \supset A\). “\(\subseteq\)” se llama la relación de inclusión.
Establecer igualdad no se ve afectada por el orden en que aparecen los elementos. Así\({a, b} = {b, a}\). No es así para los pares ordenados\((a, b)\). Para tales pares,
\[(a, b) = (x, y) \hskip 8pt \text{iff} \hskip 8pt a = x \hskip 8pt and \hskip 8pt b = y,\]
pero no si\(a = y\) y\(b = x\). Del mismo modo, para n-tuplas ordenadas,
\[(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) = (x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) \hskip 8pt \text{iff} \hskip 8pt a_{k} = x_{k}, k = 1, 2, ... , n.\]
Escribimos\({x | P(x)}\) para “el conjunto de todos\(x\) satisfaciendo la condición”\(P(x)\). De igual manera,\({(x, y) | P(x, y)}\) es el conjunto de todos los pares ordenados para los que se\(P(x, y)\) mantiene;\({x \in A | P(x)}\) es el conjunto de aquellos\(x\) en\(A\) para los que\(P(x)\) es cierto.
Para cualquier conjunto\(A\) y\(B\), definimos su unión\(A \cup B\), intersección\(A \cap B\)\(A = B\), diferencia y producto cartesiano (o producto cruzado)\(A \times B\), de la siguiente manera:
\(A \cup B\)es el conjunto de todos los miembros de\(A\) y\(B\) tomado junto:
\[\{x | x \in A \hskip 2pt or \hskip 2pt x \in B\}.\]
\(A \cap B\)es el conjunto de todos los elementos comunes de\(A\) y\(B\):
\[\{x \in A | x \in B\}.\]
\(A - B\)consiste en aquellos\(x \in A\) que no están en\(B\):
\[\{x \in A | x \notin B\}.\]
\(A \times B\)es el conjunto de todos los pares ordenados\((x, y)\), con\(x \in A\) y\(y \in B\):
\[\{(x, y) \ x \in A, y \in B\}.\]
De igual manera,\(A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n}\) es el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas\((x_{1}, ... , x_{n})\) tal que\(x_{k} \in A_{k}, k = 1, 2, ... , n\). Escribimos\(A^{n}\) para\(A \times A \times ... \times A\) (\(n\)factores).
\(A\)y\(B\) se dice que son disjuntos iff\(A \cap B\ = \emptyset\) (no hay elementos comunes). De lo contrario, decimos que\(A\) cumple\(B\) (\(A \cap B \neq \emptyset\)). Por lo general, todos los conjuntos involucrados son subconjuntos de un "conjunto maestro"\(S\), llamado el espacio. Entonces escribimos\(-X\) para\(S - X\), y llamamos\(-X\) al complemento de\(X\) (in\(S\)). Varias otras notaciones están igualmente en uso.
Vamos\(A = \{1, 2, 3\}, B = \{2, 4\}\). Entonces
\[A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}, \hskip 8pt A \cap B - \{2\}, \hskip 8pt A - B = \{1, 3\},\]
\[A \times B = \{(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)\}.\]
Si\(N\) es el conjunto de todos los naturales (enteros positivos), también podríamos escribir
\[A = \{x \in N | x < 4\}.\]
- \(A \cup A = A; A \cap A = A\);
- \(A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A\);
- \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C); (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\);
- \((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\);
- \((A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\).
- Prueba
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La prueba de (d) se esboza en el Problema 1. El resto se deja al lector.
Debido a (c), podemos omitir corchetes en\(A \cup B \cup C\) y\(A \cap B \cap C\); de manera similar para cuatro o más conjuntos. De manera más general, podemos considerar familias enteras de conjuntos, es decir, colecciones de muchos (posiblemente infinitamente muchos) conjuntos. Si\(\mathcal{M}\) es tal familia, definimos su unión,\(\bigcup\mathcal{M}\), para ser el conjunto de todos los elementos\(x\), cada uno perteneciente a al menos un conjunto de la familia. La intersección de\(\mathcal{M}\), denotada\(\bigcap\mathcal{M}\), consiste en aquellos\(x\) que pertenecen a todos los conjuntos de la familia simultáneamente. En su lugar, también escribimos
\[\bigcup \{X | X \in \mathcal{M}\} \hskip 8pt \text{and} \hskip 8pt \bigcap \{X | X \in \mathcal{M}\}, \hskip 8pt \text{respectively.}\]
A menudo podemos numerar los conjuntos de una familia determinada:
\[A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}, ...\]
De manera más general, podemos denotar todos los conjuntos de una familia\(\mathcal{M}\) por alguna letra (digamos,\(X\)) con índices\(i\) unidos a ella (los índices pueden, pero no necesitan, ser números). La familia\(\mathcal{M}\) entonces se denota por\(\{X_{i}\}\) o\(\{X_{i} | i \in I\), donde\(i\) hay un índice variable que va sobre un conjunto adecuado\(I\) de índices (“notación de índice”). En este caso, la unión e intersección de\(\mathcal{M}\) se denotan con símbolos tales como
\[\bigcup\{X_{i} | i \in I\} = \bigcup\limits_{i} X_{i} = \bigcup X_{i} = \bigcup\limits_{i \in I} X_{i};\]
\[\bigcap\{X_{i} | i \in I\} = \bigcap\limits_{i} X_{i} = \bigcap X_{i} = \bigcap\limits_{i \in I} X_{i};\]
Si los índices son enteros, podemos escribir
\[\bigcup\limits_{n = 1}^{m} X_{n}, \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} X_{n}, \bigcup\limits_{n = k}^{m} X_{n}, \text{etc.}\]
Para cualquier conjunto\(S\) y\(A_{i}\)\((i \in I)\), los siguientes son ciertos:
\[(i) \hskip 5pt S - \bigcup_{i} A_{i} = \bigcap_{i}(S - A); \hskip 12pt (ii) \hskip 5pt S - \bigcap_{i}A_{i} = \cup_{i}(S - A_{i}).\]
(Si\(S\) es todo el espacio, podemos escribir\(-A_{i}\) para\(S - A_{i}\),\(-\bigcup A_{i}\) para\(S - \bigcup A_{i}\), etc.
Antes de probar estas leyes, introducimos alguna notación útil.
Cuantificadores lógicos
De la lógica tomamos prestadas las siguientes abreviaturas.
“\((\forall x \in A)\)...” significa “Para cada miembro\(x\) de\(A\), es cierto que.”.
“\((\exists x \in A)\)...” significa “Hay por lo menos uno\(x\) en\(A\) tal que.”.
“\((\exists! x \in A)\)...” significa “Hay un único\(x\) en\(A\) tal que.”
Los símbolos "\((\forall x \in A)\)" y "\((\exists x \in A)\)"” se denominan los cuantificadores universales y existenciales, respectivamente. Si se descarta la confusión, simplemente escribimos "\((\forall x)\),” "\((\exists x)\)” y "\((\exists! x)\)"” en su lugar. Por ejemplo, si estamos de acuerdo en eso\(m\), y\(n\) denotan naturales, entonces
\["(\forall n)(\exists m) \hskip 5pt m > n"\]
significa “Para cada natural\(n\), hay un natural\(m\) tal que”\(m > n\). Damos algunos ejemplos más.
Dejar\(\mathcal{M} = \{A_{i} | i \in I\}\) ser una familia de conjuntos indexados. Por definición,\(x \in \bigcup A_{i}\) significa que\(x\) está en al menos uno de los conjuntos\(A_{i}\); en símbolos,
\[(\exists i \in I) \hskip 5pt x \in A_{i}.\]
Por lo tanto, observamos que
\[x \in \bigcup_{i \in I} A_{i} \hskip 5pt \text{iff} \hskip 5pt [(\exists i \in I) x \in A_{i}].\]
Del mismo modo,
\[x \in \bigcap_{i} A_{i} \hskip 5pt \text{iff} \hskip 5pt [(\forall i \in I) x \in A_{i}].\]
También tenga en cuenta que\(x \notin \bigcup A_{i}\) iff\(x\) está en ninguno de los\(A_{i}\), es decir,
\[(\forall i) \hskip 5pt x \notin A_{i}.\]
Del mismo modo,\(x \notin \bigcap A_{i}\)\(x\) iff no puede estar en \(A_{i}\)algunos. es decir,
\[(\exists i) \hskip 5pt x \notin A_{i}. \hskip 5pt (Why?)\]
Ahora utilizamos estas observaciones para probar el Teorema 2 (i). Tenemos que demostrar que\(S - \bigcup A_{i}\) tiene los mismos elementos que\(\bigcap(S - A_{i})\), es decir, ese\(x \in S - \bigcup A_{i}\) iff\(x \in \bigcap(S - A_{i})\). Pero, según nuestras definiciones, tenemos
\[\begin{equation} \begin{split} x \in S - \bigcup A_{i} &\iff [x \in S, x \notin \bigcup A_{i}] \\ &\iff (\forall i)[x \in S, x \notin A_{i}] \\ &\iff (\forall i) x \in S - A_{i} \\ &\iff x \in \bigcap(S - A_{i}), \end{split} \end{equation}\]
según sea necesario.
Se prueba la parte (ii) del Teorema 2 de manera bastante similar. (¡Ejercicio!)
Ahora nos detendremos más de cerca en los cuantificadores. A veces una fórmula se\(P(x)\) mantiene no para todos\(x \in A\), sino solo para aquellos con una propiedad adicional\(Q(x)\).
Esto se escribirá como
\[(\forall x \in A | Q(x)) \hskip 5pt P(x),\]
donde el trazo vertical significa “tal que”. Por ejemplo, si\(N\) son de nuevo los naturales, entonces la fórmula
\[(\forall x \in N | x > 3) \hskip 5pt x \geq 4\]
significa “para cada\(x \in N\) tal que”\(x \geq 4\). En otras palabras, para naturales,\(x > 3 \implies x \geq 4\) (la flecha significa “implica”). Así (1) también se puede escribir como
\[(\forall x \in N) \hskip 5pt x > 3 \implies x \geq 4.\]
En matemáticas, muchas veces tenemos que formar la negación de una fórmula que comienza con uno o varios cuantificadores. Es de destacar, entonces, que cada cuantificador universal es sustituido por uno existencial (y viceversa), seguido de la negación de la parte posterior de la fórmula. Por ejemplo, en cálculo, un número real\(p\) se llama el límite de una\(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}, ...\) secuencia si lo siguiente es verdadero:
Por cada real\(\epsilon > 0\), hay un natural\(k\) (dependiendo de\(\epsilon\)) tal que, para todo natural\(n > k\), tenemos\(|x_{n} - p| < \epsilon|\).
Si estamos de acuerdo en que las letras minúsculas (posiblemente con subíndices) denotan números reales, y que\(n\),\(k\) denotan naturales\((n, k \in \mathbb{N})\), esta oración puede escribirse como
\[(\forall \epsilon > 0)(\exists k)(\forall n > k) \hskip 5pt |x_{n} - p| < \epsilon.\]
Aquí las expresiones "\((\forall \epsilon > 0)\)" y "\((\forall n > k)\)" significan ""\((\forall \epsilon | \epsilon > 0)\) "y"”\((\forall n | n > k)\), respectivamente (tales abreviaturas autoexplicativas también se utilizarán en otros casos similares).
Ahora bien, como (2) establece que “para todos\(\epsilon > 0\)" algo (es decir, el resto de (2)) es cierto, la negación de (2) comienza con "hay un\(\epsilon > 0\)" (para lo cual falla el resto de la fórmula). Así partimos con "\((\exists \epsilon > 0)\),” y formamos la negación de lo que sigue, es decir, de
\[(\exists k)(\forall n > k) \hskip 5pt |x_{n} - p| < \epsilon.\]
Esta negación, a su vez, comienza con "\((\forall k)\),” etc. Paso a paso, finalmente llegamos a
\[(\exists \epsilon > 0)(\forall k)(\exists n > k) \hskip 5pt |x_{n} - p| \geq \epsilon.\]
Tenga en cuenta que aquí la elección de\(n > k\) puede depender de k. Para enfatizarlo, a menudo escribimos\(n_{k}\) para\(n\). Así, la negación de (2) finalmente emerge como
\[(\exists \epsilon > 0)(\forall k)(\exists n_{k} > k) \hskip 5pt |x_{n_{k}} - p| \geq \epsilon.\]
El orden en que los cuantificadores se siguen entre sí es esencial. Por ejemplo, la fórmula
\[(\forall n \in N)(\exists m \in N) \hskip 5pt m > n\]
(“cada uno\(n \in N\) es superado por algunos\(m \in N\) “) es cierto, pero
\[(\exists m \in N)(\forall n \in N) \hskip 5pt m > n\]
es falso. Sin embargo, dos cuantificadores universales consecutivos (o dos existenciales consecutivos) pueden intercambiarse. Escribimos brevemente
\["(\forall x, y \in A)" \text{ for } "(\forall x \in A)(\forall y \in A),"\]
y
\["(\exists x, y \in A)" \text{ for } "(\exists x \in A)(\exists y \in A)," \text{ etc.}\]
no implica la existencia de un\(x\) para lo cual\(P(x)\) es cierto. Sólo se pretende dar a entender que no hay\(x\) en\(A\) para el que\(P(x)\) falla.
Esto último es cierto aunque\(A = \emptyset\); entonces decimos que "\((\forall x \in A) \hskip 5pt P(x)\)" es vacuamente cierto. Por ejemplo, la fórmula\(\emptyset \subseteq B\), es decir,
\[(\forall x \in \emptyset) \hskip 5pt x \in B\]
siempre es cierto (vacíamente).