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# 1.4.E: Problemas en Conjuntos Contables e Incontables (Ejercicios)

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que si$$A$$ es contable pero$$B$$ no lo es, entonces$$B-A$$ es incontable.
[Pista: Si$$B-A$$ fueran contables, así sería
\ [
(B-A)\ copa A\ supseteq B. \ quad (\ mathrm {¿Por qué?})
\]
Usar Corolario$$1 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$f$$ ser un mapeo, y$$A \subseteq D_{f} .$$ Demostrar que
(i) si$$A$$ es contable, así es$$f[A]$$;
(ii) si$$f$$ es uno a uno y$$A$$ es incontable, así es$$f[A]$$.
$$\left[\text { Hints: }\left(\text { i) If } A=\left\{u_{n}\right\}, \text { then }\right.\right.$$
\ [
f [A] =\ left\ {f\ left (u_ {1}\ right), f\ left (u_ {2}\ right),\ ldots, f\ left (u_ {n}\ right),\ ldots\ right
\}\]
(ii) Si$$f[A]$$ fueran contables, así sería$$f^{-1}[f[A]],$$ por (i). Verifica que
\ [
f^ {-1} [f [A]] =A
\]
aquí; cf. Problema 7 en §§4-7.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$a, b$$ ser números reales$$(a<b) .$$ Definir un mapa$$f$$ en$$[0,1)$$ por
\ [
f (x) =a+x (b-a).
\]
Mostrar que$$f$$ es uno a uno y en el intervalo$$[a, b)=\{x | a \leq x<b\}$$. De Problema$$2,$$ deducir que$$[a, b)$$ es incontable. De ahí, por Problema$$1,$$ así$$i s(a, b)=\{x | a<x<b\}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar que entre cualquier número real$$a, b(a<b)$$ hay incontables muchos irracionales, es decir, números que no son racionales.
[Pista: Por Corolario 3 y Problemas 1 y$$3,$$ el conjunto$$(a, b)-R$$ es incontable. Explique en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Mostrar que cada conjunto infinito$$A$$ contiene un conjunto infinitamente contable, es decir, una secuencia infinita de términos distintos.
[Pista: Se corrige que cualquiera$$a_{1} \in A ; A$$ no puede consistir$$a_{1}$$ solo, así que hay otro elemento
\ [
a_ {2}\ en A-\ left\ {a_ {1}\ right\}. \ quad (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Otra vez,$$A \neq\left\{a_{1}, a_{2}\right\},$$ así que hay un$$a_{3} \in A-\left\{a_{1}, a_{2}\right\} .$$ (¿Por qué?) Continuar así ad infinitum para obtener la secuencia requerida$$\left\{a_{n}\right\} .$$ ¿Por qué todos son$$a_{n}$$ distintos? $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

De Problema$$5,$$ probar que si$$A$$ es infinito, hay un mapa$$f : A \rightarrow A$$ que es uno a uno pero no sobre$$A .$$
[Pista: Con$$a_{n}$$ como en Problema$$5,$$ definir$$f\left(a_{n}\right)=a_{n+1} .$$ Si, sin embargo, no$$x$$ es ninguno de los$$a_{n},$$ put$$f(x)=x$$. Observe que nunca$$f(x)=a_{1}$$ es cierto, así que no$$f$$ está en$$A .$$ Show, sin embargo, eso$$f$$ es uno a uno.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Por el contrario (cf. Problema 6), probar que si hay un mapa$$f : A \rightarrow A$$ que es uno a uno pero no hacia$$A,$$ entonces$$A$$ contiene una secuencia infinita$$\left\{a_{n}\right\}$$ de términos distintos.
[Pista: Como no$$f$$ está en$$A,$$ hay$$a_{1} \in A$$ tal que$$a_{1} \notin f[A] .$$ (¿Por qué?) Corrige$$a_{1}$$ y define
\ [
a_ {2} =f\ left (a_ {1}\ right), a_ {3} =f\ left (a_ {2}\ right),\ ldots, a_ {n+1} =f\ left (a_ {n}\ right),\ ldots\ text {ad infinitum.}
\]
Para probar la distinción, muestra que cada uno$$a_{n}$$ es distinto de todos$$a_{m}$$ con $$m>n .$$Para$$a_{1},$$ esto es cierto ya$$a_{1} \notin f[A],$$ que mientras$$a_{m} \in f[A](m>1) .$$ Entonces proceder inductivamente.]

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