1.4.E: Problemas en Conjuntos Contables e Incontables (Ejercicios)
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Demostrar que si\(A\) es contable pero\(B\) no lo es, entonces\(B-A\) es incontable.
[Pista: Si\(B-A\) fueran contables, así sería
\ [
(B-A)\ copa A\ supseteq B. \ quad (\ mathrm {¿Por qué?})
\]
Usar Corolario\(1 . ]\)
Dejar\(f\) ser un mapeo, y\(A \subseteq D_{f} .\) Demostrar que
(i) si\(A\) es contable, así es\(f[A]\);
(ii) si\(f\) es uno a uno y\(A\) es incontable, así es\(f[A]\).
\(\left[\text { Hints: }\left(\text { i) If } A=\left\{u_{n}\right\}, \text { then }\right.\right.\)
\ [
f [A] =\ left\ {f\ left (u_ {1}\ right), f\ left (u_ {2}\ right),\ ldots, f\ left (u_ {n}\ right),\ ldots\ right
\}\]
(ii) Si\(f[A]\) fueran contables, así sería\(f^{-1}[f[A]],\) por (i). Verifica que
\ [
f^ {-1} [f [A]] =A
\]
aquí; cf. Problema 7 en §§4-7.]
Dejar\(a, b\) ser números reales\((a<b) .\) Definir un mapa\(f\) en\([0,1)\) por
\ [
f (x) =a+x (b-a).
\]
Mostrar que\(f\) es uno a uno y en el intervalo\([a, b)=\{x | a \leq x<b\}\). De Problema\(2,\) deducir que\([a, b)\) es incontable. De ahí, por Problema\(1,\) así\(i s(a, b)=\{x | a<x<b\}\).
Demostrar que entre cualquier número real\(a, b(a<b)\) hay incontables muchos irracionales, es decir, números que no son racionales.
[Pista: Por Corolario 3 y Problemas 1 y\(3,\) el conjunto\((a, b)-R\) es incontable. Explique en detalle.
Mostrar que cada conjunto infinito\(A\) contiene un conjunto infinitamente contable, es decir, una secuencia infinita de términos distintos.
[Pista: Se corrige que cualquiera\(a_{1} \in A ; A\) no puede consistir\(a_{1}\) solo, así que hay otro elemento
\ [
a_ {2}\ en A-\ left\ {a_ {1}\ right\}. \ quad (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Otra vez,\(A \neq\left\{a_{1}, a_{2}\right\},\) así que hay un\(a_{3} \in A-\left\{a_{1}, a_{2}\right\} .\) (¿Por qué?) Continuar así ad infinitum para obtener la secuencia requerida\(\left\{a_{n}\right\} .\) ¿Por qué todos son\(a_{n}\) distintos? \(]\)
De Problema\(5,\) probar que si\(A\) es infinito, hay un mapa\(f : A \rightarrow A\) que es uno a uno pero no sobre\(A .\)
[Pista: Con\(a_{n}\) como en Problema\(5,\) definir\(f\left(a_{n}\right)=a_{n+1} .\) Si, sin embargo, no\(x\) es ninguno de los\(a_{n},\) put\(f(x)=x\). Observe que nunca\(f(x)=a_{1}\) es cierto, así que no\(f\) está en\(A .\) Show, sin embargo, eso\(f\) es uno a uno.
Por el contrario (cf. Problema 6), probar que si hay un mapa\(f : A \rightarrow A\) que es uno a uno pero no hacia\(A,\) entonces\(A\) contiene una secuencia infinita\(\left\{a_{n}\right\}\) de términos distintos.
[Pista: Como no\(f\) está en\(A,\) hay\(a_{1} \in A\) tal que\(a_{1} \notin f[A] .\) (¿Por qué?) Corrige\(a_{1}\) y define
\ [
a_ {2} =f\ left (a_ {1}\ right), a_ {3} =f\ left (a_ {2}\ right),\ ldots, a_ {n+1} =f\ left (a_ {n}\ right),\ ldots\ text {ad infinitum.}
\]
Para probar la distinción, muestra que cada uno\(a_{n}\) es distinto de todos\(a_{m}\) con \(m>n .\)Para\(a_{1},\) esto es cierto ya\(a_{1} \notin f[A],\) que mientras\(a_{m} \in f[A](m>1) .\) Entonces proceder inductivamente.]