2.1: Axiomas y Definiciones Básicas
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Los números reales se pueden construir paso a paso: primero los enteros, luego los racionales, y finalmente los irracionales. Aquí, sin embargo, asumiremos el conjunto de todos los números reales, denotados\(E^{1},\) como ya dados, sin intentar reducir esta noción a conceptos más simples. También aceptaremos sin definición (como conceptos primitivos) las nociones de la suma\((a+b)\) y el producto,\((a \cdot b)\) o\((a b),\) de dos números reales, así como la relación de desigualdad\(<\) (léase "menor que"). Tenga en cuenta que\(x \in E^{1}\) significa “x está en\(E^{1,},\) es decir," x es un número real. ”
Es un hecho importante que todas las propiedades aritméticas de los reales se pueden deducir de varios axiomas simples, enumerados (y nombrados) a continuación.
Axiomas de Adición y Multiplicación
Definición
1. (leyes de cierre) La suma\(x+y,\) y el producto\(x y,\) cualquier número real son números reales en sí mismos. En símbolos,
\[\left(\forall x, y \in E^{1}\right) \quad(x+y) \in E^{1} \text{ and } (x y) \in E^{1}\]
2. (leyes conmutativas)
\[\left(\forall x, y \in E^{1}\right) \quad x+y=y+x \text{ and } x y=y x\]
3. (leyes asociativas)
\[\left(\forall x, y, z \in E^{1}\right) \quad(x+y)+z=x+(y+z) \text{ and } (x y) z=x(y z)\]
4. (existencia de elementos neutros)
(a) Hay un número real (único), llamado cero (0), tal que, para todos reales\(x, x+0=x\).
b) Hay un número real (único), llamado uno (1), tal que 1\(1 \neq 0\) y, para todos los reales\(x, x \cdot 1=x .\)
En símbolos,
(a)\[\left(\exists ! 0 \in E^{1}\right)\left(\forall x \in E^{1}\right) \quad x+0=x;\]
b)\[\left(\exists 1 \in E^{1}\right)\left(\forall x \in E^{1}\right) \quad x \cdot 1=x, 1 \neq 0.\]
(Los números reales 0 y 1 se denominan los elementos neutros de suma y multiplicación, respectivamente).
5. (existencia de elementos inversos)
(a) Por cada real\(x,\) hay un (único) real, denotado\(-x,\) tal que\(x+(-x)=0\).
b) Por cada real que\(0,\) no\(x\) sea existe un real (único), denotado\(x^{-1}\), tal que\(x \cdot x^{-1}=1\).
En símbolos,
(a)\[\left(\forall x \in E^{1}\right)\left(\exists !-x \in E^{1}\right) \quad x+(-x)=0;\]
b)\[\left(\forall x \in E^{1} | x \neq 0\right)\left(\exists ! x^{-1} \in E^{1}\right) \quad x x^{-1}=1.\]
(Los números reales\(-x\) y\(x^{-1}\) se denominan, respectivamente, el inverso aditivo (o el simétrico) y el inverso multiplicativo (o el recíproco) de\(x . )\)
6. (derecho distributivo)
\[\left(\forall x, y, z \in E^{1}\right) \quad(x+y) z=x z+y z\]
Axiomas del Orden
Definición
7. (tricotomía) Para cualquier real\(x\) y\(y,\) tenemos
\[\text{either} x<y \text{ or } y<x \text{ or } x=y\]
pero nunca dos de estas relaciones juntas.
8. (transitividad)
\[\left(\forall x, y, z \in E^{1}\right) \quad x<y \text{ and } y<z \text{ implies } x<z\]
9. (monotonicidad de suma y multiplicación) Para cualquiera\(x, y, z \in E^{1}\), tenemos
(a)\[x<y \text{ implies } x+z<y+z;\]
b)\[x<y \text{ and } z>0 \text{ implies ] x z<y z.\]
Nota 1: Las afirmaciones de unicidad en los Axiomas 4 y 5 son en realidad redundantes ya que pueden deducirse de otros axiomas. No vamos a detenernos en esto.
Nota 2: El cero no tiene recíproco; es decir, porque no\(x\) es\(0 x=1 .\) De hecho,\(0 x=0 .\) Porque, por los Axiomas VI y IV,
\[0 x+0 x=(0+0) x=0 x=0 x+0.\]
Cancelando\(0 x(\) es decir, sumando\(-0 x\) en ambos lados\(),\) obtenemos\(0 x=0,\) por los Axiomas 3 y 5 (a).
Nota 3: Debido a los Axiomas 7 y 8, los números reales pueden considerarse dados en cierto orden bajo el cual los números más pequeños preceden a los más grandes. (Por eso hablamos de “axiomas de orden”.) El orden de los números reales se puede visualizar “trazándolos” como puntos en una línea dirigida (“el eje real”) de una manera bien conocida. Por lo tanto, también\(E^{1}\) se suele llamar "el eje real”, y los números reales se llaman "puntos “; decimos “el punto x en lugar de" el número x.
Observe que los axiomas sólo establecen ciertas propiedades de los números reales sin especificar cuáles son estos números. Así podemos tratar a los reales como cualquier objeto matemático que satisfaga nuestros axiomas, pero por lo demás arbitrarios. En efecto, nuestra teoría también se aplica a cualquier otro conjunto de objetos (números o no), siempre que satisfagan nuestros axiomas con respecto a una cierta relación de orden\((<)\) y ciertas operaciones\((+)\) y\((\cdot),\) que pueden, pero no necesitan, ser suma y multiplicación ordinarias. Tales conjuntos existen efectivamente. Ahora les damos un nombre.
Definición 1
Un campo es cualquier conjunto\(F\) de objetos, con dos operaciones\((+)\) y\(( .)\) definidos en él de tal manera que satisfacen los Axiomas 1-6 enumerados anteriormente (con\(E^{1}\) reemplazados por, por\(F,\) supuesto).
Si además\(F\) está dotado de una relación que\(<\) satisfaga a los Axiomas 7 al 9, llamamos\(F\) campo ordenado.
En este sentido, los postulados del 1 al 9 se denominan axiomas de un campo (ordenado).
Por definición\(1, E^{1}\) es un campo ordenado. Claramente, lo que se deduce de los axiomas debe sostenerse no sólo en\(E^{1}\), sino también en cualquier otro campo ordenado. Así
vamos a exponer en adelante nuestras definiciones y teoremas de una manera más general, hablando de campos ordenados en general en lugar de\(E^{1}\) solos.
Definición 2
Se dice que un elemento\(x\) de un campo ordenado es positivo si\(x>0\) o negativo si\(x<0 .\)
Aquí y abajo,\(" x>y "\) significa lo mismo que también\(" y<x . "\) escribimos\(" x \leq y "\) para\(" x<y\) o de\(x=y^{\prime \prime} ;\) manera similar para\(" x \geq y. "\)
Definición 3
Para cualquier elemento\(x, y\) de un campo, definimos su diferencia
\[x-y=x+(-y)\]
Si\(y \neq 0,\) también definimos el cociente de\(x\) por\(y\)
\[\frac{x}{y}=x y^{-1}\]
también denotado por\(x / y\).
Nota 4: División por 0 permanece indefinida.
Definición 4
Para cualquier elemento\(x\) de un campo ordenado, definimos su valor absoluto,
\[|x|=\left\{\begin{array}{ll}{x} & {\text { if } x \geq 0 \text { and }} \\ {-x} & {\text { if } x<0}\end{array}\right.\]
De ello se deduce que\(|x| \geq 0\) siempre; porque si\(x \geq 0,\) entonces
\[|x|=x \geq 0\]
y si\(x<0,\) entonces
\[|x|=-x>0 . \quad( \text{ Why? } )\]
Por otra parte,
\[-|x| \leq x \leq|x|,\]
para,
\[\text{if } x \geq 0, \text{ then } |x|=x;\]
y
\[\text{if } x<0, \text{ then } x<|x| \text{ since } |x|>0.\]
Así, en todos los casos,
\[x \leq|x|.\]
Del mismo modo se demuestra que
\[-|x| \leq x.\]
Como hemos señalado, todas las reglas de la aritmética (que se ocupan de las cuatro operaciones aritméticas y desigualdades) pueden deducirse de los Axiomas 1 al 9 y así aplicarse a todos los campos ordenados, junto con\(E^{1}\). No vamos a detenernos en su deducción, limitándonos a unos simples corolarios como ejemplos.
i)\(a(-b)=(-a) b=-(a b)\);
\((\)ii)\(\quad(-a)(-b)=a b\).
- Prueba
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Por Axioma 6
\[a(-b)+a b=a[(-b)+b]=a \cdot 0=0.\]
Por lo tanto
\[a(-b)+a b=0.\]
Por definición, entonces,\(a(-b)\) es la inversa aditiva de\(a b,\) i.e.
\[a(-b)=-(a b).\]
Del mismo modo, demostramos que
\((-a) b=-(a b)\)
y que
\[-(-a)=a.\]
Finalmente, (ii) se obtiene de (i) cuando\(a\) se sustituye por\(-a . \square\)
En un campo ordenado,\(a \neq 0\) implica
\[a^{2}=(a \cdot a)>0\]
(Por lo tanto\(\hskip 4pt\)\(1 =1^{2}>0 . )\)
- Prueba
-
Si\(a>0,\) podemos multiplicar por\(a(\) Axioma 9 (b) para obtener
\[a \cdot a>0 \cdot a=0, \text{ i.e., } a^{2}>0.\]
Si\(a<0,\) entonces\(-a>0 ;\) es así, podemos multiplicar la desigualdad\(a<0\) por\(-a\) y obtener
\[a(-a)<0(-a)=0;\]
es decir, por Corolario 1,
\[-a^{2}<0,\]
de donde
\[a^{2}>0 \hskip 4pt \square\]