2.3: Enteros y Racionales
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Se dice que un elemento\(x \in F\) es racional iff\(x=\frac{p}{q}\) para algunos enteros\(p\) y\(q\)\((q \neq 0) ; x\) es irracional si no es racional.
Denotamos por\(J\) el conjunto de todos los enteros, y por\(R\) el conjunto de todos los racionales, en\(F .\) Cada entero\(p\) es también un racional ya que se\(p\) puede escribir como\(p / q\) con\(q=1\)
Así
\[R \supseteq J \supset N\]
En un campo ordenado,
\[N=\{x \in J | x>0\} .(\mathrm{Why} ?)\]
Si\(a\) y\(b\) son enteros (o racionales) en\(F,\) así son\(a+b\) y\(ab\).
- Prueba
-
Para los enteros, esto se desprende de los Ejemplos (a) y (d) en la Sección 2; uno sólo tiene que distinguir tres casos:
i)\(a, b \in N\);
ii)\(-a \in N, b \in N\);
iii)\(a \in N,-b \in N\).
Los detalles se dejan al lector (ver Conceptos Básicos de Matemáticas,\(2, § 7,\) Teorema del Capítulo 1\()\).
Ahora dejemos\(a\) y\(b\) sean racionales, digamos,
\[a=\frac{p}{q} \text{ and } b=\frac{r}{s}\]
dónde\(q s \neq 0 ;\) y\(q s\) y\(p r\) son\(i n t e g e r s\) por la primera parte de la prueba (desde\(p, q, r, s \in J ) .\)
\[a \pm b=\frac{p s \pm q r}{q s} \text{ and } a b=\frac{p r}{q s}\]
donde\(q s \neq 0 ;\) y\(q s\) y\(p r\) son enteros por la primera parte de la prueba (ya que\(p, q, r, s \in J )\).
Así\(a \pm b\) y\(a b\) son fracciones con numeradores y denominadores integrales. Por lo tanto, por definición,\(a \pm b \in R\) y\(a b \in R .\)\(\square\)
En cualquier campo\(F,\) el conjunto\(R\) de todos los racionales es un campo en sí mismo, bajo las operaciones definidas en\(F,\) con los mismos elementos neutros 0 y 1. Además,\(R\) es un campo ordenado si\(F\) es. (Llamamos\(R\) al subcampo racional de\(F.)\)
- Prueba
-
Tenemos que comprobar que\(R\) satisfaga los axiomas de campo.
La ley de cierre 1 se desprende del Teorema 1.
Los axiomas 2, 3 y 6 se mantienen para los racionales porque mantienen para todos los elementos de\(F ;\) manera similar para los Axiomas 7 a 9 si\(F\) se ordena.
Axioma 4 se sostiene\(R\) porque los elementos neutros 0 y 1 pertenecen de\(R ;\) hecho, son enteros, de ahí ciertamente racionales.
Para verificar el Axioma 5, debemos demostrar eso\(-x\) y\(x^{-1}\) pertenecer a\(R\) si\(x\) lo hace. Si, sin embargo,
\[x=\frac{p}{q} \quad(p, q \in J, q \neq 0)\]
entonces
\[-x=\frac{-p}{q}\]
donde de nuevo\(-p \in J\) por la definición de\(J ;\) así\(-x \in R\).
Si, además,\(x \neq 0,\) entonces\(p \neq 0,\) y
\[x=\frac{p}{q} \text{ implies } x^{-1}=\frac{q}{p} .(\mathrm{Why} ?)\]
Por lo tanto\(x^{-1} \in R\). \(\square\)
Nota. La representación
\[x=\frac{p}{q} \quad(p, q \in J)\]
no es único en general; en un campo ordenado, sin embargo, siempre podemos elegir\(q>0,\) i.e.,\(q \in N(\) tomar\(p \leq 0\) si\(x \leq 0)\).
Entre todos esos\(q\) hay al menos uno por el Teorema 2 de\(\$ 85-6 .\) Si\(x=p / q\), con este mínimo\(q \in N,\) decimos que lo racional\(x\) se da en términos más bajos.