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2.7: Los Infinidades. Límites Superior e Inferior de Secuencias

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    Los Infinidades

    Como hemos visto, un conjunto\(A \neq \emptyset\) en E^ {1} tiene un lub (\ mathrm {glb}) si A está delimitado arriba (respectivamente, abajo), pero no de otra manera.

    Para evitar esta restricción inconveniente, ahora agregamos a\(E^{1}\) dos nuevos objetos de naturaleza arbitraria, y los llamamos “menos infinito”\((-\infty)\) y “más infinito”\((+\infty)\), con la convención eso\(-\infty<+\infty\) y\(-\infty<x<+\infty\) para todos\(x \in E^{1}\).
    Se ve fácilmente que con esta convención siguen siendo válidas las leyes de transitividad y tricotomía (Axiomas 7 y 8).

    El conjunto que consta de todos los reales y los dos infinitos se llama el sistema de números reales extendidos. Lo denotamos por\(E^{*}\) y llamamos a sus elementos números reales extendidos. Los reales ordinarios también se llaman números finitos, mientras que\(\pm \infty\) son los dos únicos elementos infinitos de\(E^{*}\). (Precaución: No son números reales.)

    En esta etapa no definimos ninguna operación que implique\(\pm \infty\). (Esto se hará más adelante. Sin embargo, las nociones de límite superior e inferior, máximo, mínimo, supremo e infimum se definen\(E^{*}\) exactamente como en\(E^{1} .\) En particular,
    \[-\infty=\min E^{*} \text{ and } +\infty=\max E^{*}\]

    Así en\(E^{*}\) todos los conjuntos están acotados.

    De ello se deduce que en\(E^{*}\) cada set\(A \neq \emptyset\) tiene un lub y un glb. Porque si no\(A\) tiene ninguno en\(E^{1},\) ella todavía tiene el límite superior\(+\infty\) en el\(E^{*},\) que en este caso es el único (de ahí también el menor) límite superior; así sup\(A=+\infty .\) I Del mismo modo, inf\(A=-\infty\) si no hay otro límite inferior.? Como se ve fácilmente, todas las propiedades de lub y glb establecidas en §§8-9 siguen siendo válidas en\(E^{*}\) (con la misma prueba). La única excepción es el Teorema 2\(\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right)\) en el caso\(q=+\infty\) (respectivamente,\(p=-\infty ) \sin \mathrm{ce}+\infty-\varepsilon\) y\(-\infty+\varepsilon\) no tienen sentido. La Parte (ii) del Teorema 2 es válida.

    Ahora podemos definir intervalos\(E^{*}\) exactamente como en\(E^{1}\) §§8-9, Ejemplo (3), permitiendo también valores infinitos de\(a, b, x .\) Por ejemplo,

    \[ \begin{aligned} (-\infty, a) &=\left\{x \in E^{*} |-\infty<x<a\right\}=\left\{x \in E^{1} | x<a\right\} \\ (a,+\infty) &=\left\{x \in E^{1} | a<x\right\} \\ (-\infty,+\infty) &=\left\{x \in E^{*} |-\infty<x<+\infty\right\}=E^{1} \\ [-\infty,+\infty] &=\left\{x \in E^{*} |-\infty \leq x \leq+\infty\right\} ; \text { etc. } \end{aligned} \]

    Se dice que los intervalos con puntos finales finitos son finitos; todos los demás intervalos se llaman infinitos. Los intervalos infinitos

    \[(-\infty, a),(-\infty, a],(a,+\infty),[a,+\infty), \quad a \in E^{1}\]

    son en realidad subconjuntos de\(E^{1},\) como es\((-\infty,+\infty) .\) Así hablaremos de intervalos infinitos en\(E^{1}\) también.

    Límites Superior e Inferior

    En el Capítulo 1, §§1-3 ya mencionamos que un número real\(p\) se llama el límite de una secuencia\( \left\{ x_{n} \right\} \subseteq E^{1} \left( p=\lim x_{n} \right) \) iff

    \[(\forall \varepsilon > 0)( \exists k)( \forall n>k) \quad \left| x_{n} - p \right| < \varepsilon , \text{ i.e., } p - \varepsilon < x_{n} < p - \varepsilon \]

    dónde\( \varepsilon \in E^{1} \) y\( n, k \in N \).

    Esto puede afirmarse de la siguiente manera:

    Para suficientemente grande\(n(n>k), x_{n}\) se vuelve y se queda lo más cerca\(p\) que nos gusta (”\(\varepsilon\) -cerrar”).

    También definimos (in\(E^{1}\) y\( E^{*}\))

    \[\begin{align} \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} &= +\infty \Longleftrightarrow\left( \forall a \in E^{1} \right)( \exists k)( \forall n>k) \quad x_{n}>a \text{ and} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} &= -\infty \Longleftrightarrow\left( \forall b \in E^{1} \right)( \exists k)( \forall n>k) \quad x_{n}<b.\end{align}\]

    Obsérvese eso\((2)\) y tenga\((3)\) sentido en\(E^{1},\) también, ya que los símbolos\(\pm \infty\) no aparecen en el lado derecho de las fórmulas. Fórmula\((2)\) significa que\(x_{n}\) se vuelve arbitrariamente más grande que cualquier\(a \in E^{1}\) dada de antemano) por suficientemente grande\(n(n>k) .\) La interpretación de\((3)\) es análoga. Ahora se desarrollará un enfoque más general y unificado para\(E^{*}\) (permitiendo\(x_{n},\) también términos infinitos).

    Dejar\(\left\{x_{n}\right\}\) ser cualquier secuencia en\(E^{*} .\) Para cada\(n,\) dejar\(A_{n}\) ser el conjunto de todos los términos a partir de\(x_{n}\) adelante, es decir,

    \[\left\{x_{n}, x_{n+1}, \ldots\right\}\]

    Por ejemplo,

    \[A_{1}=\left\{x_{1}, x_{2}, \dots\right\}, A_{2}=\left\{x_{2}, x_{3}, \ldots\right\}, \text{ etc.}\]

    La\(A_{n}\) forma una secuencia de contratación (ver Capítulo 1, §8) desde

    \[A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots.\]

    Ahora, para cada\(n,\) let

    \[p_{n}=\inf A_{n} \text{ and } q_{n}=\sup A_{n}\]

    también denotado

    \[p_{n}=\inf _{k \geq n} x_{k} \text{ and } q_{n}=\sup _{k \geq n} x_{k}.\]

    (Estos infima y suprema siempre existen en\(E^{*},\) como se señaló anteriormente.) Dado que el\(A_{n} \supseteq A_{n+1},\) Corolario 2 de §§8-9 rinde

    \[\inf A_{n} \leq \inf A_{n+1} \leq \sup A_{n+1} \leq \sup A_{n}\]

    Así

    \[p_{1} \leq p_{2} \leq \cdots \leq p_{n} \leq p_{n+1} \leq \cdots \leq q_{n+1} \leq q_{n} \leq \cdots \leq q_{2} \leq q_{1}\]

    y así\(\left\{p_{n}\right\} \uparrow,\) mientras\(\left\{q_{n}\right\} \downarrow\) en\(E^{*} .\) Nosotros también vemos que cada uno\(q_{m}\) es un límite superior de todos\(p_{n}\) y de ahí

    \[q_{m} \geq \sup _{n} p_{n}\left( = \operatorname{lub} \text{ of all } p_{n} \right).\]

    Esto, a su vez, demuestra que este sup (llamarlo\(\underline{L} )\) es un límite inferior de todos\(q_{m},\) y así

    \[\underline{L} \leq \inf _{m} q_{m}.\]

    Ponemos

    \[\inf _{m} q_{m}=\overline{L}.\]

    Definición

    Para cada secuencia\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq E^{*},\) definimos su límite superior\(\overline{L}\) y su límite inferior\(\underline{L},\) denotado

    \[\overline{L}=\overline{\lim } x_{n}=\limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n} \text{ and } \underline{L}=\lim x_{n}=\liminf _{n \rightarrow \infty} x_{n}\]

    como se indica a continuación.

    Ponemos\((\forall n)\)

    \[q_{n}=\sup _{k \geq n} x_{k} \text{ and } p_{n}=\inf _{k \geq n} x_{k},\]

    como antes. Luego establecemos

    \[\overline{L}=\overline{\lim } x_{n}=\inf _{n} q_{n}\text{ and } \underline{L}=\underline{\lim} x_{n}=\sup _{n} p_{n}, \text{ all in } E^{*}.\]

    Aquí y abajo, inf\(_{n} q_{n}\) es el inf de todos\(q_{n},\) y\(\sup _{n} p_{n}\) es el sup de todos\(p_{n}\).

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    Para cualquier secuencia en\(E^{*},\)

    \[\inf _{n} x_{n} \leq \underline{\lim} x_{n} \leq \overline{\lim } x_{n} \leq \sup _{n} x_{n}.\]

    Porque, como señalamos anteriormente,

    \[\underline{L}=\sup _{n} p_{n} \leq \inf _{m} q_{m}=\overline{L}.\]

    Además,

    \[\underline{L} \geq p_{n}=\inf A_{n} \geq \inf A_{1}=\inf _{n} x_{n}\text{ and }\]

    \[\overline{L} \leq q_{n}=\sup A_{n} \leq \sup A_{1}=\sup _{n} x_{n},\]

    con\(A_{n}\) lo anterior.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    (a) Dejar

    \[x_{n}=\frac{1}{n}.\]

    Aquí

    \[q_{1}=\sup \left\{1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots\right\}=1, q_{2}=\frac{1}{2}, q_{n}=\frac{1}{n}.\]

    De ahí

    \[\overline{L}=\inf _{n} q_{n}=\inf \left\{1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots\right\}=0,\]

    como sigue fácilmente el Teorema 2 en §§8-9 y la propiedad de Arquímedes. (¡Verifica!) Además,

    \[p_{1}=\inf _{k \geq 1} \frac{1}{k}=0, p_{2}=\inf _{k \geq 2} \frac{1}{k}=0, \ldots, p_{n}=\inf _{k \geq n} \frac{1}{k}=0.\]

    ya que todos\(p_{n}\) son\(0,\) así es\(\overline{L}=\sup _{n} p_{n} .\) así aquí\(\underline{L}=\overline{L}=0.\)

    b) Considerar la secuencia

    \[1,-1,2,-\frac{1}{2}, \ldots, n,-\frac{1}{n}, \ldots\]

    Aquí

    \[p_{1}=-1=p_{2}, p_{3}=-\frac{1}{2}=p_{4}, \ldots ; p_{2 n-1}=-\frac{1}{n}=p_{2 n}.\]

    Así

    \[\underline{\lim} _{n} x_{n}=\sup _{n} p_{n}=\sup \left\{-1,-\frac{1}{2}, \ldots,-\frac{1}{n}, \ldots\right\}=0.\]

    Por otro lado,\(q_{n}=+\infty\) para todos\(n .\) (¿Por qué?) Así

    \[\overline{\lim } x_{n}=\inf _{n} q_{n}=+\infty.\]

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    (i) Si\(x_{n} \geq b\) por infinitamente muchos\(n,\) entonces

    \[\overline{\lim } x_{n} \geq b \quad\text{ as well }.\]

    (ii) Si\(x_{n} \leq a\) para todos pero finitamente muchos\(n,\) entonces

    \[\overline{\lim } x_{n} \leq a \quad\text{ as well }.\]

    De manera similar para los límites inferiores (con todas las desigualdades invertidas).

    Prueba

    (i) Si\(x_{n} \geq b\) por infinitamente muchos\(n,\) entonces tal\(n\) debe ocurrir en cada conjunto

    \[A_{m}=\left\{x_{m}, x_{m+1}, \ldots\right\}.\]

    De ahí

    \[(\forall m) \quad q_{m}=\sup A_{m} \geq b;\]

    así\(\overline{L}=\inf _{m} q_{m} \geq b,\) por Corolario 1 de §§8-9.

    (ii) Si\(x_{n} \leq a\) salvo finitamente muchos\(n,\)\(n_{0}\) dejaran ser el último de estos valores “excepcionales” de\(n .\)

    Entonces para\(n>n_{0}, x_{n} \leq a,\) i.e., el conjunto

    \[A_{n}=\left\{x_{n}, x_{n+1}, \ldots\right\}\]

    está delimitado arriba por\(a ;\) lo

    \[\left(\forall n>n_{0}\right) \quad q_{n}=\sup A_{n} \leq a.\]

    Por lo tanto, ciertamente\(\overline{L}=\inf _{n} q_{n} \leq a. \square\)

    corolario\(\PageIndex{2}\)

    (i) Si\(\overline{\lim } x_{n}>a,\) entonces\(x_{n}>a\) por infinitamente muchos\(n.\)

    (ii) Si\(\overline{\lim } x_{n}<b,\) entonces\(x_{n}<b\) para todos pero finitamente muchos\(n.\)

    De manera similar para los límites inferiores (con todas las desigualdades invertidas).

    Prueba

    Asumir lo contrario y encontrar una contradicción al Teorema 1. \(\square\)

    Para unificar nuestras definiciones, ahora introducimos algunas nociones útiles.

    Por un barrio de\(p,\) brevemente\(G_{p},\) queremos decir, para\(p \in E^{1},\) cualquier intervalo de la forma

    \[(p-\varepsilon, p+\varepsilon), \quad \varepsilon>0.\]

    Si\(p=+\infty(\) respectivamente\(, p=-\infty), G_{p}\) es un intervalo infinito de la forma

    \[(a,+\infty] \text{ (respectively, } [-\infty, b)),\text{ with } a, b \in E^{1}.\]

    Ahora podemos combinar las fórmulas (1) - (3) en una definición equivalente.

    Definición

    Un elemento\(p \in E^{*}\) (finito o no) se llama el límite de una secuencia\(\left\{x_{n}\right\}\) en\(E^{*}\) iff cada uno\(G_{p}\) (no importa lo pequeño que sea) contiene todos menos finitamente muchos,\(x_{n},\) es decir, todos\(x_{n}\) de algunos en\(x_{k}\) adelante. En símbolos,

    \[\left(\forall G_{p}\right)(\exists k)(\forall n>k) \quad x_{n} \in G_{p}.\]

    Usaremos la notación

    \[p=\lim x_{n}\text{ or } \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}.\]

    En efecto, si\(p \in E^{1},\) entonces\(x_{n} \in G_{p}\) significa

    \[p-\varepsilon<x_{n}<p+\varepsilon,\]

    como en (1). Si, sin embargo,\(p=\pm \infty,\) significa

    \[x_{n}>a\left(\text { respectively, } x_{n}<b\right),\]

    como en (2) y (3).

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Tenemos\(q=\overline{\lim } x_{n}\) en\(E^{*}\) iff

    (i) cada barrio\(G_{q}\) contiene\(x_{n}\) para infinitamente muchos\(n,\) y

    (ii') si\(q<b,\) entonces\(x_{n} \geq b\) por lo sumo finitamente muchos\(n .\)

    Prueba

    Si\(q=\overline{\lim } x_{n},\) Corolario 2 rinde (ii')

    También muestra que cualquier intervalo\((a, b),\) con\(a<q<b,\) contiene infinitamente muchos\(x_{n}\) (porque hay infinitamente muchos\(x_{n}>a,\) y solo finitamente muchos\(x_{n} \geq b\) por\(\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) ).\)

    Ahora si\(q \in E^{1},\)

    \[G_{q}=(q-\varepsilon, q+\varepsilon)\]

    es tal intervalo, así obtenemos\(\left(i^{\prime}\right) .\) Los casos\(q=\pm \infty\) son análogos; los dejamos al lector.

    Por el contrario, asuma\(\left(\mathrm{i}^{\prime}\right)\) y\(\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right).\)

    Buscando una contradicción,\(q<\overline{L} ;\) digamos,

    \[q<b<\overline{\lim } x_{n}.\]

    Entonces Corolario 2\((\mathrm{i})\) rinde\(x_{n}>b\) para infinitamente muchos\(n,\) contrarios a nuestra suposición\(\left(\mathrm{i} i^{\prime}\right) .\)

    Del mismo modo,\(q>\overline{\lim } x_{n}\) contradiría\(\left(\mathrm{i}^{\prime}\right).\)

    Por lo tanto necesariamente\(q=\overline{\lim } x_{n} . \square\)

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Tenemos\(q=\lim x_{n}\) en\(E^{*}\) iff

    \[\underline{\lim} x_{n}=\overline{\lim } x_{n}=q.\]

    Prueba

    Supongamos

    \[\underline{\lim} x_{n}=\overline{\lim } x_{n}=q.\]

    Si\(q \in E^{1},\) entonces cada\(G_{q}\) es un intervalo\((a, b), a<q<b\); por lo tanto, el Corolario 2 (ii) y su análogo para\(\underline{\lim} x_{n}\) implican (con\(q\) tratado como ambos\(\overline{\lim} x_{n}\) y\(\underline{\lim} x_{n}\) que

    \[a<x_{n}<b\text{ for all but finitely many n}.\]

    Así por Definición\(2, q=\lim x_{n},\) como se reivindica.

    Por el contrario, si es así, entonces cualquiera\(G_{q}\) (no importa cuán pequeño sea) contiene todos menos finitamente muchos\(x_{n} .\) Por lo tanto, también lo hace cualquier intervalo\((a, b)\) con\(a<q<b,\) para que contenga algunos pequeños\(G_{q} .\)

    Ahora, exactamente como en la prueba del teorema\(2,\) se excluye

    \[q \neq \underline{\lim} x_{n}\text{ and } q \neq \overline{\lim } x_{n}.\]

    Esto resuelve el caso\(q \in E^{1} .\) Los casos\(q=\pm \infty\) son bastante análogos. \(\square\)


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