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2.6.E: Problemas de raíces, poderes e irracionales (ejercicios)

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(n \in N\) entrar\(E^{1} ;\) dejar\(p>0\) y\(a>0\) ser elementos de un campo ordenado\(F\).
    Demostrar que
    (i) si\(p^{n}>a,\) entonces\((\exists x \in F) p>x>0\) y\(x^{n}>a\);
    (ii) si\(p^{n}<a,\) entonces\((\exists x \in F) x>p\) y\(x^{n}<a\).
    [Pista: Para (i), pon
    \ [
    x=p-d,\ text {con} 0<d<p.
    \]
    Usa la desigualdad de Bernoulli (Problema 5 (ii) en §§5-6) para encontrar\(d\) tal que
    \ [
    x^ {n} =( p-d) ^ {n} >a,
    \]
    es decir,
    \ [
    \ izquierda (1-\ frac {d} {p}\ derecha) ^ {n} >\ frac {a} {p^ {n}}.
    \]
    Resolviendo para\(d,\) mostrar que esto se mantiene si
    \ [
    0<d<\ frac {p^ {n} -a} {n p^ {n-1}} <p. \ quad\ text {(¿Por qué existe tal} d\ text {? })
    \]
    Para\((\mathrm{ii}),\) si\(p^{n}<a,\) entonces
    \ [
    \ frac {1} {p^ {n}} >\ frac {1} {a}.
    \]
    Usar (i) con\(a\) y\(p\) reemplazado por 1\(/ a\) y 1\(/ p . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar el Teorema 1 asumiendo que

    (i)\(a>1\);\(0<a<1\) (ii) (los casos\(a=0\) y\(a=1\) son triviales).
    \([\text { Hints: }(\text { i) Let }\)
    \ [
    A=\ izquierda\ {x\ en F | x\ geq 1, x^ {n} >a\ derecha\}.
    \]
    Mostrar que\(A\) está delimitado a continuación (por 1) y\(A \neq \emptyset\) (por ejemplo,\(a+1 \in A-\) ¿por qué?).
    Por completitud, poner\(p=\) inf\(A .\)
    Luego mostrar que\(p^{n}=a\) (es decir,\(p\) es lo requerido\(\sqrt[n]{a} )\).
    En efecto, si\(p^{n}>a,\) entonces el Problema 1 produciría un\(x \in A\) con
    \ [
    x<p=\ inf A. \ text {(¡Contradicción!) }
    \]
    Del mismo modo, utilice el Problema 1 para excluir\(p^{n}<a\).
    Para probar la singularidad, use el Problema 4 (ii) de §§5-6.
    El caso (ii) se reduce a (i) considerando 1\(/ a\) en lugar de\(a . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar Nota 1.
    [Pista: Supongamos primero que no\(a\) es divisible por ningún cuadrado de un primo, es decir,
    \ [
    a=p_ {1} p_ {2}\ cdots p_ {m},
    \]
    donde los\(p_{k}\) son primos distintos. (Suponemos que se sabe que cada uno\(a \in N\) es producto de primos [posiblemente repetitivos].) Después proceder como en la prueba del Teorema 2, sustituyendo “par” por “divisible por”\(p_{k}\).
    El caso general, se\(a=p^{2} b,\) reduce al caso anterior ya que\(\sqrt{a}=p \sqrt{b} . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que si\(r\) es racional y\(q\) no lo es, entonces\(r \pm q\) es irracional; así también lo son\(r q, q / r,\) y\(r / q\) si\(r \neq 0\).
    [Pista: Asumir lo contrario y encontrar una contradicción.]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(\Rightarrow 5 .\)Demostrar la densidad de los irracionales en un campo completo\(F :\) Si\(a<b(a, b \in F)\), hay una irracional\(x \in F\) con
    \ [
    a<x<b
    \]
    (de ahí infinitamente muchos de esos irracionales\(x ) .\) Véase también Capítulo 1, §9, Problema\(4 .\)
    [Pista: Por Teorema 3 de §10,
    \ [
    (\ existe r\ in R)\ quad a\ sqrt {2} <r<b\ sqrt {2}, r\ neq 0. (\ mathrm {¿Por qué}?)
    \]
    Poner\(x=r / \sqrt{2} ;\) ver Problema 4].

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que el subcampo racional\(R\) de cualquier campo ordenado es Arquímedes.
    [Pista: Si
    \ [
    x=\ frac {k} {m}\ texto {y} y=\ frac {p} {q}\ quad (k, m, p, q\ in N),
    \]
    entonces\(n x>y\) para\(n=m p+1 ]\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Verificar las fórmulas\((1)\) para potencias con exponentes racionales positivos\(r, s .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar que
    (i)\(a^{r+s}=a^{r} a^{s}\) y
    (ii)\(a^{r-s}=a^{r} / a^{s}\) para\(r, s \in E^{1}\) y\(a \in F(a>0)\).
    [Consejos: Para\((\mathrm{i}),\) si\(r, s>0\) y\(a>1,\) usa el Problema 9 en §§8-9 para obtener
    Verifica que

    \ [\ begin {alineado} A_ {a r} A_ {a s} &=\ left\ {a^ {x} a^ {y} | x, y\ in R, 0<x\ leq r, 0<y\ leq s\ right\}\\ &=\ left\ {a^ {z} z\ en R, 0<z\ leq r+s\ right\} =A_ {a, r+s}\ end {alineado}
    \]
    De ahí deducir que
    \ [
    a^ {r} a^ {s} =\ sup\ left (A_ {a, r+s}\ right) =a^ {r+s}
    \]
    por Definición 2.
    Para\((\mathrm{ii}),\) si\(r>s>0\) y\(a>1,\) luego por\((\mathrm{i})\),
    \ [
    a^ {r-s} a^ {s} =a^ {r}
    \]
    así que
    \ [
    a^ {r-s} =\ frac {a^ {r}} {a^ {s}}.
    \]
    Para los casos\(r<0\)\(s<0,\) o\(0<a<1,\) utilizar los resultados anteriores y Definición 2\((\mathrm{ii})(\mathrm{iii}) . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    De la Definición 2 probar que si\(r>0\left(r \in E^{1}\right),\) entonces
    \ [
    a>1\ Longleftrightarrow a^ {r} >1
    \]
    para\(a \in F(a>0)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Demostrar para\(r, s \in E^{1}\) ello
    (i)\(r<s \Leftrightarrow a^{r}<a^{s}\) si\(a>1\);
    (ii)\(r<s \Leftrightarrow a^{r}>a^{s}\) si\(0<a<1\).
    [Consejos: (i) Por Problemas 8 y 9,
    \ [
    a^ {s} =a^ {r+ (s-r)} =a^ {r} a^ {s-r} >a^ {r}
    \]
    desde\(a^{s-r}>1\) if\(a>1\) y\(s-r>0\).
    ii) Para el caso\(0<a<1,\) uso Definición 2 ii).]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Demostrar que
    \ [
    (a\ cdot b) ^ {r} =a^ {r} b^ {r}\ text {y}\ left (\ frac {a} {b}\ right) ^ {r} =\ frac {a^ {r}} {b^ {r}}
    \]
    para\(r \in E^{1}\) y positivo\(a, b \in F\).
    [Pista: Proceder como en Problema\(8 . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Dado\(a, b>0\)\(F\) y\(r \in E^{1},\) demostrar que
    (i)\(a>b \Leftrightarrow a^{r}>b^{r}\) si\(r>0,\) y
    (ii)\(a>b \Leftrightarrow a^{r}<b^{r}\) si\(r<0\).
    [Pista:
    \ [
    a>b\ Longleftrightarrow\ frac {a} {b} >1\ Longleftrightarrow\ left (\ frac {a} {b}\ right) ^ {r} >1
    \]
    if\(r>0\) by Problemas 9 y 11].

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Demostrar que

    \ [\ izquierda (a^ {r}\ derecha) ^ {s} =a^ {r s}
    \]
    para\(r, s \in E^{1}\) y\(a \in F(a>0)\).
    [Pista: Primero vamos\(r, s>0\) y\(a>1 .\) Para mostrar que
    \ [
    \ left (a^ {r}\ right) ^ {s} =a^ {r s} =\ sup A_ {a, r s} =\ sup\ left\ {a^ {x y} | x, y\ in R, 0<x y\ leq r s\ right\},
    \]
    use Problema 13 en §8-§9. Así demostrar que
    (i)\((\forall x, y \in R | 0<x y \leq r s) a^{x y} \leq\left(a^{r}\right)^{s},\) que es fácil, y
    (ii)\((\forall d>1)(\exists x, y \in R | 0<x y \leq r s)\left(a^{r}\right)^{s}<d a^{x y}\).
    Fijar cualquiera\(d>1\) y poner\(b=a^{r} .\) Entonces
    \ [
    \ izquierda (a^ {r}\ derecha) ^ {s} =b^ {s} =\ sup A_ {b s} =\ sup\ izquierda\ {b^ {y} | y\ in R, 0<y\ leq s\ derecha\}.
    \]
    Se corrige que\(y .\) Ahora
    \ [
    a^ {r} =\ sup A_ {a r} =\ sup\ izquierda\ {a^ {x} | x\ in R, 0<x\ leq r\ derecha\};
    \]
    así que
    \ [
    (\ existe x\ in R | 0<x\ leq r)\ quad a^ {r} <d^ {\ frac {1} {2 y} a^ {x} . \ quad (\ mathrm {¿Por qué}?)
    \]
    Combinando todos y usando las fórmulas en\((1)\) para racionales\(x, y,\) obtener
    \ [
    \ left (a^ {r}\ right) ^ {s} <d^ {\ frac {1} {2}}\ left (a^ {r}\ right) ^ {y} <d^ {\ frac {1} {2}}\ left (d^ {\ frac {1} {2} y} a^ {x}\ derecha) ^ {y} =d a^ {x y},
    \]
    demostrando así ii)].


    2.6.E: Problemas de raíces, poderes e irracionales (ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.