2.6.E: Problemas de raíces, poderes e irracionales (ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(n \in N\) entrar\(E^{1} ;\) dejar\(p>0\) y\(a>0\) ser elementos de un campo ordenado\(F\).
Demostrar que
(i) si\(p^{n}>a,\) entonces\((\exists x \in F) p>x>0\) y\(x^{n}>a\);
(ii) si\(p^{n}<a,\) entonces\((\exists x \in F) x>p\) y\(x^{n}<a\).
[Pista: Para (i), pon
\ [
x=p-d,\ text {con} 0<d<p.
\]
Usa la desigualdad de Bernoulli (Problema 5 (ii) en §§5-6) para encontrar\(d\) tal que
\ [
x^ {n} =( p-d) ^ {n} >a,
\]
es decir,
\ [
\ izquierda (1-\ frac {d} {p}\ derecha) ^ {n} >\ frac {a} {p^ {n}}.
\]
Resolviendo para\(d,\) mostrar que esto se mantiene si
\ [
0<d<\ frac {p^ {n} -a} {n p^ {n-1}} <p. \ quad\ text {(¿Por qué existe tal} d\ text {? })
\]
Para\((\mathrm{ii}),\) si\(p^{n}<a,\) entonces
\ [
\ frac {1} {p^ {n}} >\ frac {1} {a}.
\]
Usar (i) con\(a\) y\(p\) reemplazado por 1\(/ a\) y 1\(/ p . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar el Teorema 1 asumiendo que

(i)\(a>1\);\(0<a<1\) (ii) (los casos\(a=0\) y\(a=1\) son triviales).
\([\text { Hints: }(\text { i) Let }\)
\ [
A=\ izquierda\ {x\ en F | x\ geq 1, x^ {n} >a\ derecha\}.
\]
Mostrar que\(A\) está delimitado a continuación (por 1) y\(A \neq \emptyset\) (por ejemplo,\(a+1 \in A-\) ¿por qué?).
Por completitud, poner\(p=\) inf\(A .\)
Luego mostrar que\(p^{n}=a\) (es decir,\(p\) es lo requerido\(\sqrt[n]{a} )\).
En efecto, si\(p^{n}>a,\) entonces el Problema 1 produciría un\(x \in A\) con
\ [
x<p=\ inf A. \ text {(¡Contradicción!) }
\]
Del mismo modo, utilice el Problema 1 para excluir\(p^{n}<a\).
Para probar la singularidad, use el Problema 4 (ii) de §§5-6.
El caso (ii) se reduce a (i) considerando 1\(/ a\) en lugar de\(a . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar Nota 1.
[Pista: Supongamos primero que no\(a\) es divisible por ningún cuadrado de un primo, es decir,
\ [
a=p_ {1} p_ {2}\ cdots p_ {m},
\]
donde los\(p_{k}\) son primos distintos. (Suponemos que se sabe que cada uno\(a \in N\) es producto de primos [posiblemente repetitivos].) Después proceder como en la prueba del Teorema 2, sustituyendo “par” por “divisible por”\(p_{k}\).
El caso general, se\(a=p^{2} b,\) reduce al caso anterior ya que\(\sqrt{a}=p \sqrt{b} . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(r\) es racional y\(q\) no lo es, entonces\(r \pm q\) es irracional; así también lo son\(r q, q / r,\) y\(r / q\) si\(r \neq 0\).
[Pista: Asumir lo contrario y encontrar una contradicción.]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\Rightarrow 5 .\)Demostrar la densidad de los irracionales en un campo completo\(F :\) Si\(a<b(a, b \in F)\), hay una irracional\(x \in F\) con
\ [
a<x<b
\]
(de ahí infinitamente muchos de esos irracionales\(x ) .\) Véase también Capítulo 1, §9, Problema\(4 .\)
[Pista: Por Teorema 3 de §10,
\ [
(\ existe r\ in R)\ quad a\ sqrt {2} <r<b\ sqrt {2}, r\ neq 0. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Poner\(x=r / \sqrt{2} ;\) ver Problema 4].

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que el subcampo racional\(R\) de cualquier campo ordenado es Arquímedes.
[Pista: Si
\ [
x=\ frac {k} {m}\ texto {y} y=\ frac {p} {q}\ quad (k, m, p, q\ in N),
\]
entonces\(n x>y\) para\(n=m p+1 ]\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Verificar las fórmulas\((1)\) para potencias con exponentes racionales positivos\(r, s .\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que
(i)\(a^{r+s}=a^{r} a^{s}\) y
(ii)\(a^{r-s}=a^{r} / a^{s}\) para\(r, s \in E^{1}\) y\(a \in F(a>0)\).
[Consejos: Para\((\mathrm{i}),\) si\(r, s>0\) y\(a>1,\) usa el Problema 9 en §§8-9 para obtener
Verifica que

\ [\ begin {alineado} A_ {a r} A_ {a s} &=\ left\ {a^ {x} a^ {y} | x, y\ in R, 0<x\ leq r, 0<y\ leq s\ right\}\\ &=\ left\ {a^ {z} z\ en R, 0<z\ leq r+s\ right\} =A_ {a, r+s}\ end {alineado}
\]
De ahí deducir que
\ [
a^ {r} a^ {s} =\ sup\ left (A_ {a, r+s}\ right) =a^ {r+s}
\]
por Definición 2.
Para\((\mathrm{ii}),\) si\(r>s>0\) y\(a>1,\) luego por\((\mathrm{i})\),
\ [
a^ {r-s} a^ {s} =a^ {r}
\]
así que
\ [
a^ {r-s} =\ frac {a^ {r}} {a^ {s}}.
\]
Para los casos\(r<0\)\(s<0,\) o\(0<a<1,\) utilizar los resultados anteriores y Definición 2\((\mathrm{ii})(\mathrm{iii}) . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

De la Definición 2 probar que si\(r>0\left(r \in E^{1}\right),\) entonces
\ [
a>1\ Longleftrightarrow a^ {r} >1
\]
para\(a \in F(a>0)\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar para\(r, s \in E^{1}\) ello
(i)\(r<s \Leftrightarrow a^{r}<a^{s}\) si\(a>1\);
(ii)\(r<s \Leftrightarrow a^{r}>a^{s}\) si\(0<a<1\).
[Consejos: (i) Por Problemas 8 y 9,
\ [
a^ {s} =a^ {r+ (s-r)} =a^ {r} a^ {s-r} >a^ {r}
\]
desde\(a^{s-r}>1\) if\(a>1\) y\(s-r>0\).
ii) Para el caso\(0<a<1,\) uso Definición 2 ii).]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que
\ [
(a\ cdot b) ^ {r} =a^ {r} b^ {r}\ text {y}\ left (\ frac {a} {b}\ right) ^ {r} =\ frac {a^ {r}} {b^ {r}}
\]
para\(r \in E^{1}\) y positivo\(a, b \in F\).
[Pista: Proceder como en Problema\(8 . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dado\(a, b>0\)\(F\) y\(r \in E^{1},\) demostrar que
(i)\(a>b \Leftrightarrow a^{r}>b^{r}\) si\(r>0,\) y
(ii)\(a>b \Leftrightarrow a^{r}<b^{r}\) si\(r<0\).
[Pista:
\ [
a>b\ Longleftrightarrow\ frac {a} {b} >1\ Longleftrightarrow\ left (\ frac {a} {b}\ right) ^ {r} >1
\]
if\(r>0\) by Problemas 9 y 11].

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Demostrar que

\ [\ izquierda (a^ {r}\ derecha) ^ {s} =a^ {r s}
\]
para\(r, s \in E^{1}\) y\(a \in F(a>0)\).
[Pista: Primero vamos\(r, s>0\) y\(a>1 .\) Para mostrar que
\ [
\ left (a^ {r}\ right) ^ {s} =a^ {r s} =\ sup A_ {a, r s} =\ sup\ left\ {a^ {x y} | x, y\ in R, 0<x y\ leq r s\ right\},
\]
use Problema 13 en §8-§9. Así demostrar que
(i)\((\forall x, y \in R | 0<x y \leq r s) a^{x y} \leq\left(a^{r}\right)^{s},\) que es fácil, y
(ii)\((\forall d>1)(\exists x, y \in R | 0<x y \leq r s)\left(a^{r}\right)^{s}<d a^{x y}\).
Fijar cualquiera\(d>1\) y poner\(b=a^{r} .\) Entonces
\ [
\ izquierda (a^ {r}\ derecha) ^ {s} =b^ {s} =\ sup A_ {b s} =\ sup\ izquierda\ {b^ {y} | y\ in R, 0<y\ leq s\ derecha\}.
\]
Se corrige que\(y .\) Ahora
\ [
a^ {r} =\ sup A_ {a r} =\ sup\ izquierda\ {a^ {x} | x\ in R, 0<x\ leq r\ derecha\};
\]
así que
\ [
(\ existe x\ in R | 0<x\ leq r)\ quad a^ {r} <d^ {\ frac {1} {2 y} a^ {x} . \ quad (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Combinando todos y usando las fórmulas en\((1)\) para racionales\(x, y,\) obtener
\ [
\ left (a^ {r}\ right) ^ {s} <d^ {\ frac {1} {2}}\ left (a^ {r}\ right) ^ {y} <d^ {\ frac {1} {2}}\ left (d^ {\ frac {1} {2} y} a^ {x}\ derecha) ^ {y} =d a^ {x y},
\]
demostrando así ii)].