4.3.E: Problemas sobre la continuidad de las funciones valoradas por vectores

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dar una "\(\varepsilon, \delta\)" prueba de Teorema 1 para\(f \pm g\).
[Pista: Se prueba como en el Teorema 1 del Capítulo 3, §15, sustituyendo\(\max \left(k^{\prime}, k^{\prime \prime}\right)\) por\(\delta= \min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right)\). Así fijar\(\varepsilon>0\) y\(p \in S .\) Si\(f(x) \rightarrow q\) y\(g(x) \rightarrow r\) como\(x \rightarrow p\) terminado\(B\), entonces\(\left(\exists \delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}>0\right)\) tal que
\ [
\ izquierda (\ forall x\ in B\ cap G_ {\ neg p}\ left (\ delta^ {\ prime}\ right)\ right)\ quad|f (x) -q|<\ frac {\ varepsilon} {2}\ text {y}\ left (\ forall x\ in B\ cap G_ {\ neg p}\ left (\ delta^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ derecha)\ quad|g (x) -r|<\ frac {\ varepsilon} {2}.
\]
Poner\(\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right),\) etc.\(]\)

En Problemas\(2,3,\) y\(4, E=E^{n}(\text { * or another normed space }), F\) es su campo escalar,\(B \subseteq A \subseteq(S, \rho),\) y\(x \rightarrow p\) más\(B .\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para una función\(f : A \rightarrow E\) probar que
\ [
f (x)\ rightarrow q\ LongLeftRightArrow|F (x) -q|\ rightarrow 0,
\]
\ [
\ begin {array} {l} {\ text {equivalentemente, iff} f (x) -q\ rightarrow\ overline {0}.}\\ {\ text {[Pista: Proceder como en el Capítulo} 3, 14 ,\ text {Corolario} 2.]}\ end {array}
\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dado\(f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\) con\(f(x) \rightarrow q\) como\(x \rightarrow p\) sobre\(B .\) Mostrar que para algunos\(\delta>0, f\) está acotado en\(B \cap G_{\neg p}(\delta),\) i.e.,
\ [
f\ left [B\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right]\ text {es un conjunto acotado en}\ left (T,\ rho^ {\ prime}\ right).
\]
Así si\(T=E,\) hay\(K \in E^{1}\) tal que
\ [
\ left (\ forall x\ in B\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ quad|f (x) |<K
\]
(\(3, §13,\)Teorema del Capítulo 2\()\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dado\(f, h : A \rightarrow E^{1}(C)\) (o\(f : A \rightarrow E, h : A \rightarrow F ),\) probar que si uno de\(f\) y\(h\) tiene límite 0 (respectivamente,\(\overline{0} ),\) mientras que el otro está acotado en\(B \cap G_{\neg p}(\delta),\) entonces\(h(x) f(x) \rightarrow 0(\overline{0})\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dado\(h : A \rightarrow E^{1}(C),\) con\(h(x) \rightarrow a\) como\(x \rightarrow p\) terminado\(B,\) y\(a \neq 0\).
Demostrar que
\ [
(\ existe\ varepsilon,\ delta>0)\ left (\ forall x\ in B\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ right)\ quad|h (x) |\ geq\ varepsilon,
\] es
decir,\(h(x)\) está delimitado lejos de 0 on\(B \cap G_{\neg p}(\delta) .\) De ahí mostrar que 1\(/ h\) está acotado en \(B \cap G_{\neg p}(\delta) .\)
\([\text { Hint: Proceed as in the proof of Corollary } 1 \text { in } §1, \text { with } q=a \text { and } r=0 . \text { Then use }\)
\ [
\ izquierda (\ forall x\ in B\ cap G_ {\ neg p} (\ delta)\ derecha)\ quad\ izquierda|\ frac {1} {h (x)}\ derecha|\ leq\ frac {1} {\ varepsilon}.]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Usando Problemas 1 a 5, dar una prueba independiente del Teorema 1.
[Pista: Proceder como en los Problemas 2 y 4 del Capítulo 3, §15 para obtener el Teorema 1 (ii). Luego usa Corolario 2 de\(\$ 1 . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Deducir los teoremas 1 y 2 del Capítulo\(3,\) §15 a partir de los de la presente sección, ambientación\(A=B=N, S=E^{*},\) y\(p=+\infty\).
[Pista: Ver §1, Nota 5.]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Rehacer el Problema 8 de §1 de dos maneras:
(i) Usar el Teorema 1 solamente.
(ii) Uso Teorema 3.
\(\left[\text { Example for }(\mathrm{i}) : \text { Find } \lim _{x \rightarrow 1}(x^{2}+1\right)\).
Aquí\(f(x)=x^{2}+1,\) o\(f=g g+h,\) donde\(h(x)=1\) (constante) y\(g(x)=x\) (mapa de identidad). Como\(h\) y\(g\) son continuos\((§1, \text { Examples }(\text { a }) \text { and }(\mathrm{b})),\) así es\(f\) por Teorema\(1 .\) Así\(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)=1^{2}+1=2\).
O, usando el Teorema 1\((\text { ii) }, \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+1\right)=\lim _{x \rightarrow 1} x^{2}+\lim _{x \rightarrow 1} 1, \text { etc. }]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Definir\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) por
\ [
f (x, y) =\ frac {x^ {2} y} {\ left (x^ {4} +y^ {2}\ right)},\ text {con} f (0,0) =0.
\]
Mostrar que\(f(x, y) \rightarrow 0\) como\((x, y) \rightarrow(0,0)\) a lo largo de cualquier línea recta a través\(\overline{0},\) pero no por encima de la parábola\(y=x^{2}\) (entonces el límite es\(\frac{1}{2} ) .\) Deducir que\(f\) es continuo\(\overline{0}=(0,0)\) en adentro\(x\) y\(y\) por separado, pero no conjuntamente.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Hacer problema\(9,\) configurando
\ [
f (x, y) =0\ text {if} x=0,\ text {y} f (x, y) =\ frac {|y|} {x^ {2}}\ cdot 2^ {-|y|/x^ {2}}\ text {if} x\ neq 0.
\]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Discutir la continuidad de\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}\) in\(x\) y\(y\) conjuntamente y por separado,\(\overline{0},\) cuando
(
a)\(f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, f(0,0)=0\);
(b) parte\(f(x, y)=\) integral de\(x+y\);
(c)\(f(x, y)=x+\frac{x y}{|x|}\) si; (d) si\(x \neq 0, f(0, y)=0\);
(d)\(f(x, y)=\frac{x y}{|x|}+x \sin \frac{1}{y}\) si \(x y \neq 0,\)y de\(f(x, y)=0\) otra manera; e
)\(f(x, y)=\frac{1}{x} \sin \left(x^{2}+|x y|\right)\) si\(x \neq 0,\) y\(f(0, y)=0\).
[Consejos: En\((\mathrm{c}) \text { and }(\mathrm{d}),|f(x, y)| \leq|x|+|y| ; \text { in }(\mathrm{e}), \text { use }|\sin \alpha| \leq|\alpha| \cdot]\).