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# 4.4: Límites Infinitos. Operaciones en E*

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Como hemos señalado, el Teorema 1 de §3 no se aplica a límites infinitos, aunque los valores de la función$$f(x), g(x), h(x)$$ permanezcan finitos (es decir,$$i n E^{1} ) .$$ Sólo en ciertos casos (se indica a continuación) podemos probar algunos análogos.

Hay bastantes casos separados de este tipo. Así, por brevedad, adoptaremos una especie de taquigrafía matemática. La letra no necesariamente$$q$$ denotará una constante; representará

$\text{"a function } f : A \rightarrow E^{1}, A \subseteq(S, \rho),\text{ such that } f(x) \rightarrow q \in E^{1}\text{ as } x \rightarrow p.\text{"}$

De igual manera, “0" y"$$\pm\infty$$ "” representarán expresiones análogas, con$$q$$ sustituidas por 0 y$$\pm \infty,$$ respectivamente.

Por ejemplo, la “fórmula taquigráfica”$$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$$ significa

$\text{"The sum of two real functions, with limit}+\infty\text{ at } p\text{ } (p \in S),\text{ is itself a function with limit}+\infty\text{ at } p.\text{"}$

El punto$$p$$ es fijo, posiblemente$$\pm \infty\left(\text {if } A \subseteq E^{*}\right).$$ con esta notación, tenemos los siguientes teoremas.

## Teoremas

1. $$(\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty$$.

2. $$(\pm \infty)+q=q+(\pm \infty)=\pm \infty$$.

3. $$(\pm \infty) \cdot(\pm \infty)=+\infty$$.

4. $$(\pm \infty) \cdot(\mp \infty)=-\infty$$.

5. $$|\pm \infty|=+\infty$$.

6. $$(\pm \infty) \cdot q=q \cdot(\pm \infty)=\pm \infty$$si$$q>0$$.

7. $$(\pm \infty) \cdot q=q \cdot(\pm \infty)=\mp \infty$$si$$q<0$$.

8. $$-(\pm \infty)=\mp \infty$$.

9. $$\frac{(\pm \infty)}{q}=(\pm \infty) \cdot \frac{1}{q}$$si$$q \neq 0$$.

10. $$\frac{q}{(\pm \infty)}=0$$.

11. $$(+\infty)^{+\infty}=+\infty$$.

12. $$(+\infty)^{-\infty}=0$$.

13. $$(+\infty)^{q}=+\infty$$si$$q>0$$.

14. $$(+\infty)^{q}=0$$si$$q<0$$.

15. Si$$q>1,$$ entonces$$q^{+\infty}=+\infty$$ y$$q^{-\infty}=0$$.

16. Si$$0<q<1,$$ entonces$$q^{+\infty}=0$$ y$$q^{-\infty}=+\infty$$.

Prueba

Demostramos los Teoremas 1 y 2, dejando el resto como problemas. (Los teoremas 11-16 se posponen mejor hasta que se desarrolle la teoría de logaritmos).

1. Vamos$$f(x)$$ y$$g(x) \rightarrow+\infty$$ como$$x \rightarrow p.$$ tenemos que demostrar que

$f(x)+g(x) \rightarrow+\infty,$

es decir, que

$\left(\forall b \in E^{1}\right)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)+g(x)>b$

(podemos asumir$$b>0 ).$$ Así fijar$$b>0.$$ Como$$f(x)$$ y$$g(x) \rightarrow+\infty,$$ hay$$\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}>0$$ tales que

$\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right)\right) f(x)>b\text{ and } \left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime \prime}\right)\right) g(x)>b.$

Vamos$$\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right).$$ Entonces

$\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)+g(x)>b+b>b,$

según se requiera; de igual manera para el caso de$$-\infty$$.

2. Dejar$$f(x) \rightarrow+\infty$$ y$$g(x) \rightarrow q \in E^{1}.$$ Entonces hay$$\delta^{\prime}>0$$ tal que para$$x$$ adentro para$$A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right),|q-g(x)|<1,$$ que$$g(x)>q-1$$.

También, dado alguno$$b \in E^{1},$$ hay$$\delta^{\prime \prime}$$ tal que

$\left(\forall x \in A \cap G_{-p}\left(\delta^{\prime \prime}\right)\right) \quad f(x)>b-q+1.$

Vamos$$\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right).$$ Entonces

$\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)+g(x)>(b-q+1)+(q-1)=b,$

según se requiera; de igual manera para el caso de$$f(x) \rightarrow-\infty$$.

Precaución: No existen teoremas de este tipo para los siguientes casos (que por lo tanto se denominan expresiones indeterminadas):

$(+\infty)+(-\infty), \quad( \pm \infty) \cdot 0, \quad \frac{ \pm \infty}{ \pm \infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad( \pm \infty)^{0}, \quad 0^{0}, \quad 1^{ \pm \infty}.$

En estos casos, no basta con conocer solo los límites de$$f$$ y$$g.$$ Es necesario investigar las propias funciones para dar una respuesta definitiva, ya que en cada caso la respuesta puede ser diferente, dependiendo de las propiedades de$$f$$ y$$g.$$ Las expresiones (1*) permanecen indeterminados aunque consideremos el tipo de funciones más simples, es decir, las secuencias, como mostramos a continuación.

## Ejemplos

(a) Dejar

$u_{m}=2 m\text{ and } v_{m}=-m.$

(Esto corresponde a$$f(x)=2 x$$ y$$g(x)=-x.)$$ Entonces, como se ve fácilmente,

$u_{m} \rightarrow+\infty, v_{m} \rightarrow-\infty,\text{ and } u_{m}+v_{m}=2 m-m=m \rightarrow+\infty.$

Si, sin embargo, tomamos$$x_{m}=2 m$$ y$$y_{m}=-2 m,$$ luego

$x_{m}+y_{m}=2 m-2 m=0;$

así$$x_{m}+y_{m}$$ es constante, con límite 0 (para el límite de una función constante es igual a su valor; ver §1, Ejemplo (a)).

A continuación, vamos

$u_{m}=2 m\text{ and } z_{m}=-2 m+(-1)^{m}.$

Entonces otra vez

$u_{m} \rightarrow+\infty\text{ and } z_{m} \rightarrow-\infty,\text{ but } u_{m}+z_{m}=(-1)^{m};$

$$u_{m}+z_{m}$$“oscila” de$$-1$$ a 1 ya$$m \rightarrow+\infty,$$ que así no tiene límite en absoluto.

Estos ejemplos muestran que efectivamente$$(+\infty)+(-\infty)$$ es una expresión indeterminada ya que la respuesta depende de la naturaleza de las funciones involucradas. No es posible una respuesta general.

b) Ahora demostramos que$$1^{+\infty}$$ es indeterminado.

Toma primero una constante$$\left\{x_{m}\right\}, x_{m}=1,$$ y deja$$y_{m}=m.$$ Luego

$x_{m} \rightarrow 1, y_{m} \rightarrow+\infty,\text{ and } x_{m}^{y_{m}}=1^{m}=1=x_{m} \rightarrow 1.$

Si, sin embargo,$$x_{m}=1+\frac{1}{m}$$ y$$y_{m}=m,$$ luego otra vez$$y_{m} \rightarrow+\infty$$ y$$x_{m} \rightarrow 1$$ (por el Teorema 10 anterior y el Teorema 1 del Capítulo 3, §15), pero

$x_{m}^{y_{m}}=\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}$

no tiende a$$1 ;$$ que tiende a$$e>2,$$ como se muestra en el Capítulo 3, §15. Así nuevamente el resultado depende de$$\left\{x_{m}\right\}$$ y$$\left\{y_{m}\right\}.$$

De manera similar, uno demuestra que los otros casos (1*) son indeterminados.

Nota 1. A menudo es útil introducir convenciones adicionales de “taquigrafía”. Así, el símbolo$$\infty$$ (infinito sin signo) podría denotar una función$$f$$ tal que

$|f(x)| \rightarrow+\infty\text{ as } x \rightarrow p;$

entonces también escribimos$$f(x) \rightarrow \infty.$$ El símbolo$$0^{+}$$ (respectivamente,$$0^{-})$$ denota una función$$f$$ tal que

$f(x) \rightarrow 0\text{ as } x \rightarrow p$

$f(x)>0\text{ } (f(x)<0,\text { respectively})\text{ on some } G_{\neg p}(\delta).$

Luego tenemos las siguientes fórmulas adicionales:

(i)$$\frac{( \pm \infty)}{0^{+}}=\pm \infty, \frac{( \pm \infty)}{0^{-}}=\mp \infty$$.

ii) Si$$q>0,$$ entonces$$\frac{q}{0^{+}}=+\infty$$ y$$\frac{q}{0^{-}}=-\infty$$.

iii)$$\frac{\infty}{0}=\infty$$.

iv)$$\frac{q}{\infty}=0$$.

La prueba se deja al lector.

Nota 2. Todas estas fórmulas y teoremas también tienen límites relativos.

Hasta el momento, no hemos definido operaciones aritméticas en$$E^{*}.$$ Para llenar este vacío (al menos parcialmente), en adelante trataremos a los Teoremas 1-16 anteriores no solo como ciertas declaraciones límite (en “taquigrafía”) sino también como definiciones de ciertas operaciones en$$E^{*}.$$ Por ejemplo, la fórmula$$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$$ será tratada como la definición de la suma real de$$+\infty$$ y$$+\infty$$ en$$E^{*},$$ con$$+\infty$$ considerada esta vez como un elemento de$$E^{*}$$ (no como una función). Esta convención define las operaciones aritméticas solo para ciertos casos; las expresiones indeterminadas (1*) permanecen indefinidas, a menos que decidamos asignarles algún significado.

En análisis superiores, efectivamente resulta conveniente asignar un significado a al menos algunos de ellos. Adoptaremos estas convenciones (ciertamente arbitrarias):

$$\left\{\begin{array}{l}{( \pm \infty)+(\mp \infty)=( \pm \infty)-( \pm \infty)=+\infty ; 0^{0}=1;} \\ {0 \cdot( \pm \infty)=( \pm \infty) \cdot 0=0 \text { (even if } 0 \text { stands for the zero-vector } ).}\end{array}\right.$$

Precaución: Estas fórmulas no deben ser tratadas como teoremas límite (en “mano corta”). Las sumas y productos de la forma (2*) se llamarán "poco ortodoxos”.

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