4.4: Límites Infinitos. Operaciones en E*
- Page ID
- 113877
Como hemos señalado, el Teorema 1 de §3 no se aplica a límites infinitos, aunque los valores de la función\(f(x), g(x), h(x)\) permanezcan finitos (es decir,\(i n E^{1} ) .\) Sólo en ciertos casos (se indica a continuación) podemos probar algunos análogos.
Hay bastantes casos separados de este tipo. Así, por brevedad, adoptaremos una especie de taquigrafía matemática. La letra no necesariamente\(q\) denotará una constante; representará
\[\text{"a function } f : A \rightarrow E^{1}, A \subseteq(S, \rho),\text{ such that } f(x) \rightarrow q \in E^{1}\text{ as } x \rightarrow p.\text{"}\]
De igual manera, “0" y"\(\pm\infty\) "” representarán expresiones análogas, con\(q\) sustituidas por 0 y\(\pm \infty,\) respectivamente.
Por ejemplo, la “fórmula taquigráfica”\((+\infty)+(+\infty)=+\infty\) significa
\[\text{"The sum of two real functions, with limit}+\infty\text{ at } p\text{ } (p \in S),\text{ is itself a function with limit}+\infty\text{ at } p.\text{"}\]
El punto\(p\) es fijo, posiblemente\(\pm \infty\left(\text {if } A \subseteq E^{*}\right).\) con esta notación, tenemos los siguientes teoremas.
1. \((\pm \infty)+(\pm \infty)=\pm \infty\).
2. \((\pm \infty)+q=q+(\pm \infty)=\pm \infty\).
3. \((\pm \infty) \cdot(\pm \infty)=+\infty\).
4. \((\pm \infty) \cdot(\mp \infty)=-\infty\).
5. \(|\pm \infty|=+\infty\).
6. \((\pm \infty) \cdot q=q \cdot(\pm \infty)=\pm \infty\)si\(q>0\).
7. \((\pm \infty) \cdot q=q \cdot(\pm \infty)=\mp \infty\)si\(q<0\).
8. \(-(\pm \infty)=\mp \infty\).
9. \(\frac{(\pm \infty)}{q}=(\pm \infty) \cdot \frac{1}{q}\)si\(q \neq 0\).
10. \(\frac{q}{(\pm \infty)}=0\).
11. \((+\infty)^{+\infty}=+\infty\).
12. \((+\infty)^{-\infty}=0\).
13. \((+\infty)^{q}=+\infty\)si\(q>0\).
14. \((+\infty)^{q}=0\)si\(q<0\).
15. Si\(q>1,\) entonces\(q^{+\infty}=+\infty\) y\(q^{-\infty}=0\).
16. Si\(0<q<1,\) entonces\(q^{+\infty}=0\) y\(q^{-\infty}=+\infty\).
- Prueba
-
Demostramos los Teoremas 1 y 2, dejando el resto como problemas. (Los teoremas 11-16 se posponen mejor hasta que se desarrolle la teoría de logaritmos).
1. Vamos\(f(x)\) y\(g(x) \rightarrow+\infty\) como\(x \rightarrow p.\) tenemos que demostrar que
\[f(x)+g(x) \rightarrow+\infty,\]
es decir, que
\[\left(\forall b \in E^{1}\right)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)+g(x)>b\]
(podemos asumir\(b>0 ).\) Así fijar\(b>0.\) Como\(f(x)\) y\(g(x) \rightarrow+\infty,\) hay\(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}>0\) tales que
\[\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right)\right) f(x)>b\text{ and } \left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime \prime}\right)\right) g(x)>b.\]
Vamos\(\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right).\) Entonces
\[\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)+g(x)>b+b>b,\]
según se requiera; de igual manera para el caso de\(-\infty\).
2. Dejar\(f(x) \rightarrow+\infty\) y\(g(x) \rightarrow q \in E^{1}.\) Entonces hay\(\delta^{\prime}>0\) tal que para\(x\) adentro para\(A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right),|q-g(x)|<1,\) que\(g(x)>q-1\).
También, dado alguno\(b \in E^{1},\) hay\(\delta^{\prime \prime}\) tal que
\[\left(\forall x \in A \cap G_{-p}\left(\delta^{\prime \prime}\right)\right) \quad f(x)>b-q+1.\]
Vamos\(\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right).\) Entonces
\[\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)+g(x)>(b-q+1)+(q-1)=b,\]
según se requiera; de igual manera para el caso de\(f(x) \rightarrow-\infty\).
Precaución: No existen teoremas de este tipo para los siguientes casos (que por lo tanto se denominan expresiones indeterminadas):
\[(+\infty)+(-\infty), \quad( \pm \infty) \cdot 0, \quad \frac{ \pm \infty}{ \pm \infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad( \pm \infty)^{0}, \quad 0^{0}, \quad 1^{ \pm \infty}.\]
En estos casos, no basta con conocer solo los límites de\(f\) y\(g.\) Es necesario investigar las propias funciones para dar una respuesta definitiva, ya que en cada caso la respuesta puede ser diferente, dependiendo de las propiedades de\(f\) y\(g.\) Las expresiones (1*) permanecen indeterminados aunque consideremos el tipo de funciones más simples, es decir, las secuencias, como mostramos a continuación.
(a) Dejar
\[u_{m}=2 m\text{ and } v_{m}=-m.\]
(Esto corresponde a\(f(x)=2 x\) y\(g(x)=-x.)\) Entonces, como se ve fácilmente,
\[u_{m} \rightarrow+\infty, v_{m} \rightarrow-\infty,\text{ and } u_{m}+v_{m}=2 m-m=m \rightarrow+\infty.\]
Si, sin embargo, tomamos\(x_{m}=2 m\) y\(y_{m}=-2 m,\) luego
\[x_{m}+y_{m}=2 m-2 m=0;\]
así\(x_{m}+y_{m}\) es constante, con límite 0 (para el límite de una función constante es igual a su valor; ver §1, Ejemplo (a)).
A continuación, vamos
\[u_{m}=2 m\text{ and } z_{m}=-2 m+(-1)^{m}.\]
Entonces otra vez
\[u_{m} \rightarrow+\infty\text{ and } z_{m} \rightarrow-\infty,\text{ but } u_{m}+z_{m}=(-1)^{m};\]
\(u_{m}+z_{m}\)“oscila” de\(-1\) a 1 ya\(m \rightarrow+\infty,\) que así no tiene límite en absoluto.
Estos ejemplos muestran que efectivamente\((+\infty)+(-\infty)\) es una expresión indeterminada ya que la respuesta depende de la naturaleza de las funciones involucradas. No es posible una respuesta general.
b) Ahora demostramos que\(1^{+\infty}\) es indeterminado.
Toma primero una constante\(\left\{x_{m}\right\}, x_{m}=1,\) y deja\(y_{m}=m.\) Luego
\[x_{m} \rightarrow 1, y_{m} \rightarrow+\infty,\text{ and } x_{m}^{y_{m}}=1^{m}=1=x_{m} \rightarrow 1.\]
Si, sin embargo,\(x_{m}=1+\frac{1}{m}\) y\(y_{m}=m,\) luego otra vez\(y_{m} \rightarrow+\infty\) y\(x_{m} \rightarrow 1\) (por el Teorema 10 anterior y el Teorema 1 del Capítulo 3, §15), pero
\[x_{m}^{y_{m}}=\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\]
no tiende a\(1 ;\) que tiende a\(e>2,\) como se muestra en el Capítulo 3, §15. Así nuevamente el resultado depende de\(\left\{x_{m}\right\}\) y\(\left\{y_{m}\right\}.\)
De manera similar, uno demuestra que los otros casos (1*) son indeterminados.
Nota 1. A menudo es útil introducir convenciones adicionales de “taquigrafía”. Así, el símbolo\(\infty\) (infinito sin signo) podría denotar una función\(f\) tal que
\[|f(x)| \rightarrow+\infty\text{ as } x \rightarrow p;\]
entonces también escribimos\(f(x) \rightarrow \infty.\) El símbolo\(0^{+}\) (respectivamente,\(0^{-})\) denota una función\(f\) tal que
\[f(x) \rightarrow 0\text{ as } x \rightarrow p\]
y, además
\[f(x)>0\text{ } (f(x)<0,\text { respectively})\text{ on some } G_{\neg p}(\delta).\]
Luego tenemos las siguientes fórmulas adicionales:
(i)\(\frac{( \pm \infty)}{0^{+}}=\pm \infty, \frac{( \pm \infty)}{0^{-}}=\mp \infty\).
ii) Si\(q>0,\) entonces\(\frac{q}{0^{+}}=+\infty\) y\(\frac{q}{0^{-}}=-\infty\).
iii)\(\frac{\infty}{0}=\infty\).
iv)\(\frac{q}{\infty}=0\).
La prueba se deja al lector.
Nota 2. Todas estas fórmulas y teoremas también tienen límites relativos.
Hasta el momento, no hemos definido operaciones aritméticas en\(E^{*}.\) Para llenar este vacío (al menos parcialmente), en adelante trataremos a los Teoremas 1-16 anteriores no solo como ciertas declaraciones límite (en “taquigrafía”) sino también como definiciones de ciertas operaciones en\(E^{*}.\) Por ejemplo, la fórmula\((+\infty)+(+\infty)=+\infty\) será tratada como la definición de la suma real de\(+\infty\) y\(+\infty\) en\(E^{*},\) con\(+\infty\) considerada esta vez como un elemento de\(E^{*}\) (no como una función). Esta convención define las operaciones aritméticas solo para ciertos casos; las expresiones indeterminadas (1*) permanecen indefinidas, a menos que decidamos asignarles algún significado.
En análisis superiores, efectivamente resulta conveniente asignar un significado a al menos algunos de ellos. Adoptaremos estas convenciones (ciertamente arbitrarias):
\(\left\{\begin{array}{l}{( \pm \infty)+(\mp \infty)=( \pm \infty)-( \pm \infty)=+\infty ; 0^{0}=1;} \\ {0 \cdot( \pm \infty)=( \pm \infty) \cdot 0=0 \text { (even if } 0 \text { stands for the zero-vector } ).}\end{array}\right.\)
Precaución: Estas fórmulas no deben ser tratadas como teoremas límite (en “mano corta”). Las sumas y productos de la forma (2*) se llamarán "poco ortodoxos”.