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# 4.3: Operaciones sobre Límites. Funciones racionales

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I.$$f : A \rightarrow T$$ Se dice que una función es real si su rango$$D_{f}^{\prime}$$ se encuentra en$$E^{1},$$ complejo si el$$D_{f}^{\prime} \subseteq C,$$ vector se valora si$$D_{f}^{\prime}$$ es un subconjunto de$$E^{n},$$ y el valor escalar si$$D_{f}^{\prime}$$ se encuentra en el campo escalar de$$E^{n} .(\text { 'ln the latter two cases, we use the same terminology if }$$$$E^{n}$$ es reemplazado por algún otro (fijo) normado espacio en consideración.) El dominio$$A$$ puede ser arbitrario.

Para tales funciones se pueden definir diversas operaciones siempre que se definan para elementos de sus rangos, a los que$$f(x)$$ pertenecen los valores de las funciones. Así como en el Capítulo 3, §9, definimos las funciones$$f \pm g, f g,$$ y el ajuste$$f / g$$ “puntual”

$(f \pm g)(x)=f(x) \pm g(x), \quad(f g)(x)=f(x) g(x), \text{ and } \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

siempre que se definan las expresiones del lado derecho. También definimos$$|f| : A \rightarrow E^{1}$$ por

$(\forall x \in A) \quad|f|(x)=|f(x)|.$

En particular,$$f \pm g$$ se define si$$f$$ y$$g$$ son ambos valores vectoriales o ambos valores escalares, y$$f g$$ se define si$$f$$ se valora vector mientras que$$g$$ es valorada escalar; de manera similar para$$f / g .$$ (Sin embargo, el dominio de$$f / g$$ consiste en aquellos$$x \in A$$ solo para que$$g(x) \neq 0 . )$$

En los teoremas a continuación, todos los límites están en algún punto (arbitrario, pero fijo)$$p$$ del espacio de dominio.$$(S, \rho) .$$ Por brevedad, a menudo omitimos$$" x \rightarrow p."$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Para cualquier función$$f, g, h : A \rightarrow E^{1}(C), A \subseteq(S, \rho),$$ contamos con lo siguiente:

1. (i) Si$$f, g, h$$ son continuos en$$p(p \in A),$$ así son$$f \pm g$$ y fh. Así también se$$f / h,$$ proporciona de$$h(p) \neq 0 ;$$ manera similar para la continuidad relativa sobre$$B \subseteq A$$.
2. ii) Si$$f(x) \rightarrow q, g(x) \rightarrow r,$$ y$$h(x) \rightarrow a(\text { all, as } x \rightarrow p \text { over } B \subseteq A),$$ luego
1. $$f(x) \pm g(x) \rightarrow q \pm r$$
2. $$f(x) h(x) \rightarrow q a ;$$y
3. $$\frac{f(x)}{h(x)} \rightarrow \frac{q}{a},$$siempre$$a \neq 0$$

Todo esto se mantiene también si$$f$$ y$$g$$ son vectoriales valorados y$$h$$ se valoran escalar.

Para una prueba simple, se puede usar el Teorema 1 del Capítulo 3, §15. (Una prueba independiente se esboza en Problemas 1-7 a continuación).

También podemos utilizar el criterio secuencial (Teorema 1 en §2). Para probar (ii), tomar cualquier secuencia

$\left\{x_{m}\right\} \subseteq B-\{p\}, x_{m} \rightarrow p$

Entonces por las suposiciones hechas,

$f\left(x_{m}\right) \rightarrow q, g\left(x_{m}\right) \rightarrow r, \text{ and } h\left(x_{m}\right) \rightarrow a$

Así, por el Teorema 1 del Capítulo 3, §15,

$f\left(x_{m}\right) \pm g\left(x_{m}\right) \rightarrow q \pm r, f\left(x_{m}\right) g\left(x_{m}\right) \rightarrow q a, \text{ and } \frac{f\left(x_{m}\right)}{g\left(x_{m}\right)} \rightarrow \frac{q}{a}$

Como esto se sostiene para cualquier secuencia$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq B-\{p\}$$ con$$x_{m} \rightarrow p,$$ nuestra aserción (ii) sigue por el criterio secuencial; de manera similar para (i).

Nota 1. Por inducción, el teorema también se mantiene para sumas y productos de cualquier número finito de funciones (siempre que se definan dichos productos).

Nota 2. La parte (ii) no se aplica a límites infinitos$$q, r, a ;$$ pero sí aplica a límites en$$p=\pm \infty$$ (tomar$$E^{*}$$ con una métrica adecuada para el espacio$$S )$$.

Nota 3. El supuesto$$h(x) \rightarrow a \neq 0(\text { as } x \rightarrow p \text { over } B)$$ implica que$$h(x) \neq 0$$ para$$x$$ en$$B \cap G_{\neg p}(\delta)$$ para algunos$$\delta>0 ;$$ ver Problema 5 a continuación. Así la función de cociente$$f / h$$ se define en al$$B \cap G_{\neg p}(\delta)$$ menos.

II. Si el espacio de rango de$$f$$ es$$E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right),$$ entonces cada valor de función$$f(x)$$ es un vector en ese espacio; por lo tanto, componentes$$n$$ reales (* respectivamente, complejos), denotados

$f_{k}(x), \quad k=1,2, \ldots, n.$

Aquí podemos tratar$$f_{k}$$ como un mapeo de$$A=D_{f}$$ en$$E^{1}(* \text { or } C) ;$$ él lleva cada punto$$x \in A$$$$f_{k}(x),$$ al$$k$$ th componente de$$f(x) .$$ De esta manera, cada función

$f : A \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$

determina de forma única mapas de$$n$$ valor escalar

$f_{k} : A \rightarrow E^{1}(C)$

llamado los componentes de$$f .$$ Notación:$$f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$$.

Por el contrario, dadas las funciones$$n$$ arbitrarias

$f_{k} : A \rightarrow E^{1}(C), \quad k=1,2, \ldots, n,$

uno puede definir$$f : A \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ configurando

$f(x)=\left(f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)\right).$

Entonces obviamente$$f=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) .$$ Así los a$$f_{k}$$ su vez determinan de$$f$$ manera única. Definir una función$$f : A \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ significa dar sus n componentes$$f_{k} .$$ Tenga en cuenta que

$f(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{n}(x)\right)=\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}(x), \quad \text{ i.e., } f=\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}$

donde los$$\overline{e}_{k}$$ son los vectores unitarios$$n$$ básicos; ver Capítulo 3, §1-3, Teorema 2. Nuestro siguiente teorema muestra que los límites y la continuidad de$$f$$ reducir a los de la$$f_{k} .$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(continuidad y límites componentwise). Para cualquier función$$f : A \rightarrow E^{n}\left(* C^{n}\right),$$ con$$A \subseteq(S, \rho)$$ y con$$f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right),$$ tenemos eso

(i)$$f$$ es continuo$$p(p \in A)$$ si todos sus componentes$$f_{k}$$ son, y

ii)$$f(x) \rightarrow \overline{q}$$ como$$x \rightarrow p(p \in S)$$ iff

$f_{k}(x) \rightarrow q_{k} \text{ as } x \rightarrow p \quad(k=1,2, \ldots, n),$

es decir, iff cada uno$$f_{k}$$ tiene, como su límite en$$p,$$ el componente correspondiente de$$\overline{q} .$$

Se mantienen resultados similares para continuidad relativa y límites sobre una trayectoria$$B \subseteq A$$.

Demostramos (ii). Si$$f(x) \rightarrow \overline{q}$$ como$$x \rightarrow p$$ entonces, por definición,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad \varepsilon>|f(x)-\overline{q}|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}(x)-q_{k}\right|^{2}};$

$\left|f_{k}(x)-q_{k}\right|, \quad k=1,2, \ldots, n.$

Así

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad\left|f_{k}(x)-q_{k}\right|<\varepsilon;$

es decir,$$f_{k}(x) \rightarrow q_{k}, k=1, \ldots, n.$$

Por el contrario, si cada$$f_{k}(x) \rightarrow q_{k},$$ entonces el Teorema 1 (ii) rinde

$\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}(x) \rightarrow \sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} q_{k}.$

Por fórmula$$(1),$$ entonces,$$f(x) \rightarrow \overline{q}$$ (para$$\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} q_{k}=\overline{q} ) .$$ Así (ii) se prueba; de manera similar para (i) y para límites relativos y continuidad.

Nota 4. Nuevamente, el Teorema 2 sostiene también para$$p=\pm \infty$$ (pero no para infinito$$q )$$.

Nota 5. Una función compleja$$f : A \rightarrow C$$ puede ser tratada como$$f : A \rightarrow E^{2}$$. Así tiene dos componentes reales:$$f=\left(f_{1}, f_{2}\right) .$$ Tradicionalmente,$$f_{1}$$ y$$f_{2}$$ se llaman las partes reales e imaginarias de$$f,$$ también denotadas por$$f_{\text { re }}$$ y$$f_{\text { im }},$$ así

$f=f_{\mathrm{re}}+i \cdot f_{\mathrm{im}}.$

Por teorema$$2, f$$ es continuo en$$p$$ iff$$f_{\text { re }}$$ y$$f_{\text { im }}$$ son.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

El exponencial complejo es la función$$f : E^{1} \rightarrow C$$ definida por

$f(x)=\cos x+i \cdot \sin x, \text{ also written } f(x)=e^{x i}.$

Como veremos más adelante, las funciones seno y coseno son continuas. De ahí que así sea$$f$$ por teorema$$2 .$$

III. A continuación, considere funciones cuyo dominio es un conjunto en Las$$E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right) .$$ llamamos funciones de$$n$$ real$$\left(* \text { or complex) variables, treating } \overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \text { as }\right.$$ una variable$$n$$ -tupla. El espacio de alcance puede ser arbitrario.

En particular, un monomio en$$n$$ variables es un mapa$$E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)$$ dado por una fórmula de la forma

$f(\overline{x})=a x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} \cdots x_{n}^{m_{n}}=a \cdot \prod_{k=1}^{n} x_{k}^{m_{k}},$

donde los$$m_{k}$$ son enteros fijos$$\geq 0$$ y$$a \in E^{1}\left(^{*} \text { or } a \in C\right) .^{2}$$ Si$$a \neq 0$$, el
$$\operatorname{sum} m=\sum_{k=1}^{n} m_{k}$$ se llama el grado del monomio. Así

$f(x, y, z)=3 x^{2} y z^{3}=3 x^{2} y^{1} z^{3}$

define un monomio de grado$$6,$$ en tres variables reales (o complejas)$$x, y, z$$. (A menudo escribimos$$x, y, z$$ para$$x_{1}, x_{2}, x_{3} . )$$

Un polinomio es cualquier suma de un número finito de monomios; su grado es, por definición, el de su término principal, es decir, el de mayor grado. (Puede haber varios términos de este tipo, de igual grado.) Por ejemplo,

$f(x, y, z)=3 x^{2} y z^{3}-2 x y^{7}$

define un polinomio de grado 8 en Los$$x, y, z .$$ polinomios de grado 1 a veces se llaman lineales.

Una función racional es el cociente$$f / g$$ de dos polinomios$$f$$ y$$g$$ on$$E^{n}$$$$\left(^{*} \mathrm{or} C^{n}\right)$$. Su dominio consiste en aquellos puntos en los que$$g$$ no se desvanece. Por ejemplo,

$h(x, y)=\frac{x^{2}-3 x y}{x y-1}$

define una función racional en puntos$$(x, y),$$ con$$x y \neq 1 .$$ polinomios y los monomios son funciones racionales con denominador$$1 .$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Cualquier función racional (en particular, cada polinomio) en una o varias variables es continua en todo su dominio.

Prueba

Considera primero un monomio de la forma

$f(\overline{x})=x_{k} \quad(k \text{ fixed });$

se llama el$$k$$ th mapa de proyección porque “proyecta” cada uno$$\overline{x} \in E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)$$ en su$$k$$ th componente$$x_{k}$$.

Dado cualquiera$$\varepsilon>0$$ y$$\overline{p},$$ elija$$\delta=\varepsilon .$$ Entonces

$\left(\forall \overline{x} \in G_{\overline{p}}(\delta)\right) \quad|f(\overline{x})-f(\overline{p})|=\left|x_{k}-p_{k}\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-p_{i}\right|^{2}}=\rho(\overline{x}, \overline{p})<\varepsilon.$

De ahí que por definición,$$f$$ sea continuo en cada$$\overline{p} .$$ Así el teorema se sostiene para mapas de proyección.

Sin embargo, cualquier otro monomio, dado por

$f(\overline{x})=a x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} \cdots x_{n}^{m_{n}},$

es el producto de finitamente muchos (es decir, de mapas de$$m=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n} )$$ proyección multiplicados por una constante$$a$$. Así por Teorema$$1,$$ es continuo. Así también lo es cualquier suma finita de monomios (es decir, cualquier polinomio), y de ahí también lo es el cociente$$f / g$$ de dos polinomios (es decir, cualquier función racional) dondequiera que se defina, es decir, donde el denominador no se desvanezca. $$\square$$

IV. Para las funciones en, a menudo$$E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right),$$ consideramos límites relativos sobre la$$a$$ línea del formulario

$\overline{x}=\overline{p}+t \vec{e}_{k} \text{ (parallel to the } k^{th} \text{ axis, through } \overline{p} );$

ver Capítulo 3, §§4-6, Definición$$1 .$$ Si$$f$$ es relativamente continuo$$\overline{p}$$ sobre esa línea, decimos que$$f$$ es continuo$$\overline{p}$$ en la variable$$k$$ th$$x_{k}$$ (porque los demás componentes de$$\overline{x}$$ permanecen constantes, es decir, iguales a los de$$\overline{p},$$ as $$\overline{x}$$corre sobre esa línea). A diferencia de esto, decimos que$$f$$ es continuo$$\overline{p}$$ en todas$$n$$ las variables conjuntamente si es continuo$$\overline{p}$$ en el sentido ordinario (no relativo). De igual manera, hablamos de límites en una variable, o en todos ellos conjuntamente.

ya que la continuidad ordinaria implica continuidad relativa sobre cualquier trayectoria, la continuidad conjunta en todas$$n$$ las variables siempre implica que en cada variable por separado, pero lo contrario falla (ver Problemas 9 y 10 a continuación de$$) ;$$ manera similar para los límites en$$\overline{p}$$.

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