4.3: Operaciones sobre Límites. Funciones racionales
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I.\(f : A \rightarrow T\) Se dice que una función es real si su rango\(D_{f}^{\prime}\) se encuentra en\(E^{1},\) complejo si el\(D_{f}^{\prime} \subseteq C,\) vector se valora si\(D_{f}^{\prime}\) es un subconjunto de\(E^{n},\) y el valor escalar si\(D_{f}^{\prime}\) se encuentra en el campo escalar de\(E^{n} .(\text { 'ln the latter two cases, we use the same terminology if }\)\(E^{n}\) es reemplazado por algún otro (fijo) normado espacio en consideración.) El dominio\(A\) puede ser arbitrario.
Para tales funciones se pueden definir diversas operaciones siempre que se definan para elementos de sus rangos, a los que\(f(x)\) pertenecen los valores de las funciones. Así como en el Capítulo 3, §9, definimos las funciones\(f \pm g, f g,\) y el ajuste\(f / g\) “puntual”
\[(f \pm g)(x)=f(x) \pm g(x), \quad(f g)(x)=f(x) g(x), \text{ and } \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\]
siempre que se definan las expresiones del lado derecho. También definimos\(|f| : A \rightarrow E^{1}\) por
\[(\forall x \in A) \quad|f|(x)=|f(x)|.\]
En particular,\(f \pm g\) se define si\(f\) y\(g\) son ambos valores vectoriales o ambos valores escalares, y\(f g\) se define si\(f\) se valora vector mientras que\(g\) es valorada escalar; de manera similar para\(f / g .\) (Sin embargo, el dominio de\(f / g\) consiste en aquellos\(x \in A\) solo para que\(g(x) \neq 0 . )\)
En los teoremas a continuación, todos los límites están en algún punto (arbitrario, pero fijo)\(p\) del espacio de dominio.\((S, \rho) .\) Por brevedad, a menudo omitimos\(" x \rightarrow p."\)
Para cualquier función\(f, g, h : A \rightarrow E^{1}(C), A \subseteq(S, \rho),\) contamos con lo siguiente:
- (i) Si\(f, g, h\) son continuos en\(p(p \in A),\) así son\(f \pm g\) y fh. Así también se\(f / h,\) proporciona de\(h(p) \neq 0 ;\) manera similar para la continuidad relativa sobre\(B \subseteq A\).
- ii) Si\(f(x) \rightarrow q, g(x) \rightarrow r,\) y\(h(x) \rightarrow a(\text { all, as } x \rightarrow p \text { over } B \subseteq A),\) luego
- \(f(x) \pm g(x) \rightarrow q \pm r\)
- \(f(x) h(x) \rightarrow q a ;\)y
- \(\frac{f(x)}{h(x)} \rightarrow \frac{q}{a},\)siempre\(a \neq 0\)
Todo esto se mantiene también si\(f\) y\(g\) son vectoriales valorados y\(h\) se valoran escalar.
Para una prueba simple, se puede usar el Teorema 1 del Capítulo 3, §15. (Una prueba independiente se esboza en Problemas 1-7 a continuación).
También podemos utilizar el criterio secuencial (Teorema 1 en §2). Para probar (ii), tomar cualquier secuencia
\[\left\{x_{m}\right\} \subseteq B-\{p\}, x_{m} \rightarrow p\]
Entonces por las suposiciones hechas,
\[ f\left(x_{m}\right) \rightarrow q, g\left(x_{m}\right) \rightarrow r, \text{ and } h\left(x_{m}\right) \rightarrow a \]
Así, por el Teorema 1 del Capítulo 3, §15,
\[f\left(x_{m}\right) \pm g\left(x_{m}\right) \rightarrow q \pm r, f\left(x_{m}\right) g\left(x_{m}\right) \rightarrow q a, \text{ and } \frac{f\left(x_{m}\right)}{g\left(x_{m}\right)} \rightarrow \frac{q}{a}\]
Como esto se sostiene para cualquier secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq B-\{p\}\) con\(x_{m} \rightarrow p,\) nuestra aserción (ii) sigue por el criterio secuencial; de manera similar para (i).
Nota 1. Por inducción, el teorema también se mantiene para sumas y productos de cualquier número finito de funciones (siempre que se definan dichos productos).
Nota 2. La parte (ii) no se aplica a límites infinitos\(q, r, a ;\) pero sí aplica a límites en\(p=\pm \infty\) (tomar\(E^{*}\) con una métrica adecuada para el espacio\(S )\).
Nota 3. El supuesto\(h(x) \rightarrow a \neq 0(\text { as } x \rightarrow p \text { over } B)\) implica que\(h(x) \neq 0\) para\(x\) en\(B \cap G_{\neg p}(\delta)\) para algunos\(\delta>0 ;\) ver Problema 5 a continuación. Así la función de cociente\(f / h\) se define en al\(B \cap G_{\neg p}(\delta)\) menos.
II. Si el espacio de rango de\(f\) es\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right),\) entonces cada valor de función\(f(x)\) es un vector en ese espacio; por lo tanto, componentes\(n\) reales (* respectivamente, complejos), denotados
\[f_{k}(x), \quad k=1,2, \ldots, n.\]
Aquí podemos tratar\(f_{k}\) como un mapeo de\(A=D_{f}\) en\(E^{1}(* \text { or } C) ;\) él lleva cada punto\(x \in A\)\(f_{k}(x),\) al\(k\) th componente de\(f(x) .\) De esta manera, cada función
\[f : A \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\]
determina de forma única mapas de\(n\) valor escalar
\[f_{k} : A \rightarrow E^{1}(C)\]
llamado los componentes de\(f .\) Notación:\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)\).
Por el contrario, dadas las funciones\(n\) arbitrarias
\[f_{k} : A \rightarrow E^{1}(C), \quad k=1,2, \ldots, n,\]
uno puede definir\(f : A \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) configurando
\[f(x)=\left(f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)\right).\]
Entonces obviamente\(f=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) .\) Así los a\(f_{k}\) su vez determinan de\(f\) manera única. Definir una función\(f : A \rightarrow E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) significa dar sus n componentes\(f_{k} .\) Tenga en cuenta que
\[f(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{n}(x)\right)=\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}(x), \quad \text{ i.e., } f=\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}\]
donde los\(\overline{e}_{k}\) son los vectores unitarios\(n\) básicos; ver Capítulo 3, §1-3, Teorema 2. Nuestro siguiente teorema muestra que los límites y la continuidad de\(f\) reducir a los de la\(f_{k} .\)
(continuidad y límites componentwise). Para cualquier función\(f : A \rightarrow E^{n}\left(* C^{n}\right),\) con\(A \subseteq(S, \rho)\) y con\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right),\) tenemos eso
(i)\(f\) es continuo\(p(p \in A)\) si todos sus componentes\(f_{k}\) son, y
ii)\(f(x) \rightarrow \overline{q}\) como\(x \rightarrow p(p \in S)\) iff
\[f_{k}(x) \rightarrow q_{k} \text{ as } x \rightarrow p \quad(k=1,2, \ldots, n),\]
es decir, iff cada uno\(f_{k}\) tiene, como su límite en\(p,\) el componente correspondiente de\(\overline{q} .\)
Se mantienen resultados similares para continuidad relativa y límites sobre una trayectoria\(B \subseteq A\).
Demostramos (ii). Si\(f(x) \rightarrow \overline{q}\) como\(x \rightarrow p\) entonces, por definición,
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad \varepsilon>|f(x)-\overline{q}|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}(x)-q_{k}\right|^{2}};\]
a su vez, el lado derecho de la desigualdad dada anteriormente no es menor que cada
\[\left|f_{k}(x)-q_{k}\right|, \quad k=1,2, \ldots, n.\]
Así
\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad\left|f_{k}(x)-q_{k}\right|<\varepsilon;\]
es decir,\(f_{k}(x) \rightarrow q_{k}, k=1, \ldots, n.\)
Por el contrario, si cada\(f_{k}(x) \rightarrow q_{k},\) entonces el Teorema 1 (ii) rinde
\[\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}(x) \rightarrow \sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} q_{k}.\]
Por fórmula\((1),\) entonces,\(f(x) \rightarrow \overline{q}\) (para\(\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} q_{k}=\overline{q} ) .\) Así (ii) se prueba; de manera similar para (i) y para límites relativos y continuidad.
Nota 4. Nuevamente, el Teorema 2 sostiene también para\(p=\pm \infty\) (pero no para infinito\(q )\).
Nota 5. Una función compleja\(f : A \rightarrow C\) puede ser tratada como\(f : A \rightarrow E^{2}\). Así tiene dos componentes reales:\(f=\left(f_{1}, f_{2}\right) .\) Tradicionalmente,\(f_{1}\) y\(f_{2}\) se llaman las partes reales e imaginarias de\(f,\) también denotadas por\(f_{\text { re }}\) y\(f_{\text { im }},\) así
\[f=f_{\mathrm{re}}+i \cdot f_{\mathrm{im}}.\]
Por teorema\(2, f\) es continuo en\(p\) iff\(f_{\text { re }}\) y\(f_{\text { im }}\) son.
El exponencial complejo es la función\(f : E^{1} \rightarrow C\) definida por
\[f(x)=\cos x+i \cdot \sin x, \text{ also written } f(x)=e^{x i}.\]
Como veremos más adelante, las funciones seno y coseno son continuas. De ahí que así sea\(f\) por teorema\(2 .\)
III. A continuación, considere funciones cuyo dominio es un conjunto en Las\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right) .\) llamamos funciones de\(n\) real\(\left(* \text { or complex) variables, treating } \overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \text { as }\right.\) una variable\(n\) -tupla. El espacio de alcance puede ser arbitrario.
En particular, un monomio en\(n\) variables es un mapa\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right)\) dado por una fórmula de la forma
\[f(\overline{x})=a x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} \cdots x_{n}^{m_{n}}=a \cdot \prod_{k=1}^{n} x_{k}^{m_{k}},\]
donde los\(m_{k}\) son enteros fijos\(\geq 0\) y\(a \in E^{1}\left(^{*} \text { or } a \in C\right) .^{2}\) Si\(a \neq 0\), el
\(\operatorname{sum} m=\sum_{k=1}^{n} m_{k}\) se llama el grado del monomio. Así
\[f(x, y, z)=3 x^{2} y z^{3}=3 x^{2} y^{1} z^{3}\]
define un monomio de grado\(6,\) en tres variables reales (o complejas)\(x, y, z\). (A menudo escribimos\(x, y, z\) para\(x_{1}, x_{2}, x_{3} . )\)
Un polinomio es cualquier suma de un número finito de monomios; su grado es, por definición, el de su término principal, es decir, el de mayor grado. (Puede haber varios términos de este tipo, de igual grado.) Por ejemplo,
\[f(x, y, z)=3 x^{2} y z^{3}-2 x y^{7}\]
define un polinomio de grado 8 en Los\(x, y, z .\) polinomios de grado 1 a veces se llaman lineales.
Una función racional es el cociente\(f / g\) de dos polinomios\(f\) y\(g\) on\(E^{n}\)\(\left(^{*} \mathrm{or} C^{n}\right)\). Su dominio consiste en aquellos puntos en los que\(g\) no se desvanece. Por ejemplo,
\[h(x, y)=\frac{x^{2}-3 x y}{x y-1}\]
define una función racional en puntos\((x, y),\) con\(x y \neq 1 .\) polinomios y los monomios son funciones racionales con denominador\(1 .\)
Cualquier función racional (en particular, cada polinomio) en una o varias variables es continua en todo su dominio.
- Prueba
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Considera primero un monomio de la forma
\[f(\overline{x})=x_{k} \quad(k \text{ fixed });\]
se llama el\(k\) th mapa de proyección porque “proyecta” cada uno\(\overline{x} \in E^{n}\left(^{*} C^{n}\right)\) en su\(k\) th componente\(x_{k}\).
Dado cualquiera\(\varepsilon>0\) y\(\overline{p},\) elija\(\delta=\varepsilon .\) Entonces
\[\left(\forall \overline{x} \in G_{\overline{p}}(\delta)\right) \quad|f(\overline{x})-f(\overline{p})|=\left|x_{k}-p_{k}\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-p_{i}\right|^{2}}=\rho(\overline{x}, \overline{p})<\varepsilon.\]
De ahí que por definición,\(f\) sea continuo en cada\(\overline{p} .\) Así el teorema se sostiene para mapas de proyección.
Sin embargo, cualquier otro monomio, dado por
\[f(\overline{x})=a x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} \cdots x_{n}^{m_{n}},\]
es el producto de finitamente muchos (es decir, de mapas de\(m=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n} )\) proyección multiplicados por una constante\(a\). Así por Teorema\(1,\) es continuo. Así también lo es cualquier suma finita de monomios (es decir, cualquier polinomio), y de ahí también lo es el cociente\(f / g\) de dos polinomios (es decir, cualquier función racional) dondequiera que se defina, es decir, donde el denominador no se desvanezca. \(\square\)
IV. Para las funciones en, a menudo\(E^{n}\left(^{*} \text { or } C^{n}\right),\) consideramos límites relativos sobre la\(a\) línea del formulario
\[\overline{x}=\overline{p}+t \vec{e}_{k} \text{ (parallel to the } k^{th} \text{ axis, through } \overline{p} );\]
ver Capítulo 3, §§4-6, Definición\(1 .\) Si\(f\) es relativamente continuo\(\overline{p}\) sobre esa línea, decimos que\(f\) es continuo\(\overline{p}\) en la variable\(k\) th\(x_{k}\) (porque los demás componentes de\(\overline{x}\) permanecen constantes, es decir, iguales a los de\(\overline{p},\) as \(\overline{x}\)corre sobre esa línea). A diferencia de esto, decimos que\(f\) es continuo\(\overline{p}\) en todas\(n\) las variables conjuntamente si es continuo\(\overline{p}\) en el sentido ordinario (no relativo). De igual manera, hablamos de límites en una variable, o en todos ellos conjuntamente.
ya que la continuidad ordinaria implica continuidad relativa sobre cualquier trayectoria, la continuidad conjunta en todas\(n\) las variables siempre implica que en cada variable por separado, pero lo contrario falla (ver Problemas 9 y 10 a continuación de\() ;\) manera similar para los límites en\(\overline{p}\).