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# 6.3.E: Problemas en Funciones Diferenciables

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Complete los detalles faltantes en las pruebas de esta sección.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verificar Nota 1. Describa$$\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]$$ para$$f : E^{1} \rightarrow E^{m},$$ también. Dar ejemplos.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\Rightarrow$$$$A \operatorname{map} f : E^{\prime} \rightarrow E$$se dice que satisface una condición de orden$$(L)$$ de Lipschitz$$\alpha>0$$ en$$\vec{p}$$ iff
$(\exists \delta>0)\left(\exists K \in E^{1}\right)\left(\forall \vec{x} \in G_{\neg \vec{p}}(\delta)\right) \quad|f(\vec{x})-f(\vec{p})| \leq K|\vec{x}-\vec{p}|^{\alpha}.$
Probar lo siguiente.
(i) Esto implica continuidad en$$\vec{p}$$ (pero no a la inversa; ver Problema 7 en el Capítulo 5, §1).
(ii)$$L$$ de orden$$>1$$ implica diferenciabilidad a$$\vec{p},$$ con$$d f(\vec{p} ; \cdot)=0$$ on$$E^{\prime}.$$
(iii) Diferenciabilidad a$$\vec{p}$$ implica$$L$$ de orden 1 (aplicar Teorema 1 en §2 a$$\phi=d f$$).
iv) Si$$f$$ y$$g$$ son diferenciables en$$\vec{p},$$ ese momento
$\lim _{\vec{x} \rightarrow \vec{p}} \frac{1}{|\Delta \vec{x}|}|\Delta f||\Delta g|=0.$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Para las funciones del Problema 5 en §1, encuentra aquellas$$\vec{p}$$ en las que$$f$$ es diferenciable. Encuentra
$\nabla f(\vec{p}), d f(\vec{p} ; \cdot), \text { and }\left[f^{\prime}(\vec{p})\right].$
[Pista: Usa el Teorema 3 y el Corolario 1.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) Si$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es constante en un globo abierto$$G \subset E^{\prime},$$ es diferenciable en cada uno$$\vec{p} \in G,$$ y$$d f(\vec{p}, \cdot)=0$$ en$$E^{\prime}.$$
(ii) Si este último se mantiene para cada$$\vec{p} \in G-Q$$ ($$Q$$contable), entonces$$f$$ es constante on$$G$$ (even on$$\overline{G}$$) siempre que $$f$$es relativamente continuo allí.
[Pista: Dado$$\vec{p}, \vec{q} \in G,$$ el uso Teorema 2 en §1 para obtener$$f(\vec{p})=f(\vec{q})$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Hacer Problema 5 en caso de$$G$$ que haya algún conjunto conectado a polígonos abiertos en$$E^{\prime}.$$ (Ver Capítulo 4, §9.)

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar lo siguiente.
(i) Si$$f, g : E^{\prime} \rightarrow E$$ son diferenciables en$$\vec{p},$$ lo que es
$h=a f+b g,$
para cualquier escalar$$a, b$$ (si$$f$$ y$$g$$ son de valor escalar,$$a$$ y$$b$$ pueden ser vectores; además,
$d(a f+b g)=a d f+b d g,$
es decir,
$d h(\vec{p} ; \vec{t})=a d f(\vec{p} ; \vec{t})+b d g(\vec{p} ; \vec{t}), \quad \vec{t} \in E^{\prime}.$
ii) En caso$$f, g : E^{m} \rightarrow E^{1}$$ o$$C^{m} \rightarrow C,$$ deducir también que
$\nabla h(\vec{p})=a \nabla f(\vec{p})+b \nabla g(\vec{p}).$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar que si$$f, g : E^{\prime} \rightarrow E^{1}(C)$$ son diferenciables en$$\vec{p},$$ entonces también lo son
$h=g f \text { and } k=\frac{g}{f}.$
(este último, si$$f(\vec{p}) \neq 0).$$ Por otra parte, con$$a=f(\vec{p})$$ y$$b=g(\vec{p}),$$ mostrar que
(i)$$d h=a d g+b d f$$ y
(ii)$$d k=(a d g-b d f) / a^{2}$$.
En caso de$$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),$$ verificar además que
(iii)$$\nabla h(\vec{p})=a \nabla g(\vec{p})+b \nabla f(\vec{p})$$ y
(iv)$$\nabla k(\vec{p})=(a \nabla g(\vec{p})-b \nabla f(\vec{p})) / a^{2}$$.
Probar (i) y (ii) para valores vectoriales$$g,$$ también.
[Consejos: (i) Establecer$$\phi=a d g+b d f,$$ con$$a$$ y$$b$$ como arriba. Verificar que
$\Delta h-\phi(\vec{t})=g(\vec{p})(\Delta f-d f(\vec{t}))+f(\vec{p})(\Delta g-d g(\vec{t}))+(\Delta f)(\Delta g).$
Use Problema 3 (iv) y Definición 1.
(ii) Dejar$$F(\vec{t})=1 / f(\vec{t}).$$ Mostrar eso$$d F=-d f / a^{2}.$$ Luego aplicar (i) a$$g F.$$]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$\Rightarrow$$Dejar$$f : E^{\prime} \rightarrow E^{m}\left(C^{m}\right), f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right).$$ Probar que
(i)$$f$$ es lineal iff todos sus$$m$$ componentes$$f_{k}$$ son;
(ii)$$f$$ es diferenciable en$$\vec{p}$$ iff todos$$f_{k}$$ son, y entonces$$d f=\left(d f_{1}, \ldots, d f_{m}\right)$$. De ahí$$f$$ que si es complejo,$$d f=d f_{re} + i \cdot d f_{im}.$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) Si$$f \in L\left(E^{\prime}, E\right)$$ entonces$$f$$ es diferenciable sobre$$E^{\prime},$$ y$$d f(\vec{p} ; \cdot)=f$$,$$\vec{p} \in E^{\prime}.$$
(ii) Tal es cualquier monomio de primer grado, de ahí cualquier suma de tales monomios.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Cualquier función racional es diferenciable en su dominio.
[Pista: Utilice los problemas 10 (i), 7 y 8. Proceder como en el Teorema 3 en el Capítulo 4, §3.]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Hacer el Problema 8 (i) en caso de$$g$$ que solo sea continuo en$$\vec{p},$$ y$$f(\vec{p})=0.$$ Encontrar$$d h.$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Do Problem 8 (i) para productos dot$$h=f \cdot g$$ de funciones$$f, g : E^{\prime} \rightarrow E^{m}$$$$(C^{m}).$$

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Demostrar lo siguiente.
(i) Si$$\phi \in L\left(E^{n}, E^{1}\right)$$ o$$\phi \in L\left(C^{n}, C\right),$$ entonces$$\|\phi\|=|\vec{v}|,$$ con$$\vec{v}$$ como en §2, Teorema 2 (ii).
(ii) Si$$f : E^{n} \rightarrow E^{1}\left(f : C^{n} \rightarrow C^{1}\right)$$ es diferenciable en$$\vec{p},$$ entonces
$\|d f(\vec{p} ; \cdot)\|=|\nabla f(\vec{p})|.$
Por otra parte, en el caso$$f : E^{n} \rightarrow E^{1}$$,
$|\nabla f(\vec{p})| \geq D_{\vec{u}} f(\vec{p}) \quad \text {if }|\vec{u}|=1$
y
$|\nabla f(\vec{p})|=D_{\vec{u}} f(\vec{p}) \quad \text {when } \vec{u}=\frac{\nabla f(\vec{p})}{|\nabla f(\vec{p})|;}$
por lo tanto
$|\nabla f(\vec{p})|=\max _{|\vec{u}|=1} D_{\vec{u}} f(\vec{p}).$
[Consejos: Utilice el caso de igualdad en el Teorema 4 (c') del Capítulo 3, §§1-3. Utilice la fórmula (7), Corolario 2 y Teorema 2 (ii).]

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Demostrar que el Teorema 3$$D_{1} f$$ se mantiene aunque
(i) sea discontinuo en$$\vec{p},$$ y
(ii)$$f$$ tenga parciales$$A-Q$$ solo$$(Q$$ contables,$$\vec{p} \notin Q),$$ siempre que$$f$$ sea continuo$$A$$ en cada una de las últimas$$n-1$$ variables.
[Pista: Para la$$k=1,$$ fórmula (13) todavía resulta por definición de$$D_{1} f,$$ si se$$\delta$$ ha elegido un adecuado.]

## Ejercicio$$\PageIndex{16*}$$

Demostrar que el Teorema 3 y el Problema 15 aplican también a cualquier$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ donde$$E^{\prime}$$ sea$$n$$ -dimensional con base$$\left\{\vec{u}_{1}, \ldots, \vec{u}_{n}\right\}$$ (ver Problema 12 en §2) si escribimos$$D_{k} f$$ para$$D_{\vec{u}_{k}} f$$.
[Consejos: Supongamos$$\left|\vec{u}_{k}\right|=1,1 \leq k \leq n$$ (si no, reemplace$$\vec{u}_{k}$$ por$$\vec{u}_{k} /\left|\vec{u}_{k}\right|;$$ mostrar que esto arroja otra base). Modifique la prueba para que$$\vec{p}_{k}$$ los sigan en$$G_{\vec{p}}(\delta).$$ Precaución: Aquí$$E^{n}$$ no se aplica la norma estándar de.]

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Dejar$$f_{k} : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ ser diferenciables en$$p_{k} (k=1, \ldots, n).$$ Para$$\vec{x}=(x_{1}, \ldots, x_{n}) \in E^{n},$$ establecer
$F(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} f_{k}\left(x_{k}\right) \text { and } G(\vec{x})=\prod_{k=1}^{n} f_{k}\left(x_{k}\right).$
Mostrar eso$$F$$ y$$G$$ son diferenciables en$$\vec{p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right).$$ Express$$\nabla F(\vec{p})$$ y$$\nabla G(\vec{p})$$ en cuanto a la$$f_{k}^{\prime}\left(p_{k}\right)$$.
[Pista: Para usar los Problemas 7 y 8, reemplace el$$f_{k}$$ por las funciones adecuadas definidas en$$E^{n}.$$ Para$$\nabla G(\vec{p}),$$ “imitar” Problema 6 en el Capítulo 5, §1.]

6.3.E: Problemas en Funciones Diferenciables is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.