6.3.E: Problemas en Funciones Diferenciables
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Complete los detalles faltantes en las pruebas de esta sección.
Verificar Nota 1. Describa\(\left[f^{\prime}(\vec{p})\right]\) para\(f : E^{1} \rightarrow E^{m},\) también. Dar ejemplos.
\(\Rightarrow\)\(A \operatorname{map} f : E^{\prime} \rightarrow E\)se dice que satisface una condición de orden\((L)\) de Lipschitz\(\alpha>0\) en\(\vec{p}\) iff
\[(\exists \delta>0)\left(\exists K \in E^{1}\right)\left(\forall \vec{x} \in G_{\neg \vec{p}}(\delta)\right) \quad|f(\vec{x})-f(\vec{p})| \leq K|\vec{x}-\vec{p}|^{\alpha}.\]
Probar lo siguiente.
(i) Esto implica continuidad en\(\vec{p}\) (pero no a la inversa; ver Problema 7 en el Capítulo 5, §1).
(ii)\(L\) de orden\(>1\) implica diferenciabilidad a\(\vec{p},\) con\(d f(\vec{p} ; \cdot)=0\) on\(E^{\prime}.\)
(iii) Diferenciabilidad a\(\vec{p}\) implica\(L\) de orden 1 (aplicar Teorema 1 en §2 a\(\phi=d f\)).
iv) Si\(f\) y\(g\) son diferenciables en\(\vec{p},\) ese momento
\[\lim _{\vec{x} \rightarrow \vec{p}} \frac{1}{|\Delta \vec{x}|}|\Delta f||\Delta g|=0.\]
Para las funciones del Problema 5 en §1, encuentra aquellas\(\vec{p}\) en las que\(f\) es diferenciable. Encuentra
\[\nabla f(\vec{p}), d f(\vec{p} ; \cdot), \text { and }\left[f^{\prime}(\vec{p})\right].\]
[Pista: Usa el Teorema 3 y el Corolario 1.]
\(\Rightarrow\)Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es constante en un globo abierto\(G \subset E^{\prime},\) es diferenciable en cada uno\(\vec{p} \in G,\) y\(d f(\vec{p}, \cdot)=0\) en\(E^{\prime}.\)
(ii) Si este último se mantiene para cada\(\vec{p} \in G-Q\) (\(Q\)contable), entonces\(f\) es constante on\(G\) (even on\(\overline{G}\)) siempre que \(f\)es relativamente continuo allí.
[Pista: Dado\(\vec{p}, \vec{q} \in G,\) el uso Teorema 2 en §1 para obtener\(f(\vec{p})=f(\vec{q})\).]
Hacer Problema 5 en caso de\(G\) que haya algún conjunto conectado a polígonos abiertos en\(E^{\prime}.\) (Ver Capítulo 4, §9.)
\(\Rightarrow\)Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(f, g : E^{\prime} \rightarrow E\) son diferenciables en\(\vec{p},\) lo que es
\[h=a f+b g,\]
para cualquier escalar\(a, b\) (si\(f\) y\(g\) son de valor escalar,\(a\) y\(b\) pueden ser vectores; además,
\[d(a f+b g)=a d f+b d g,\]
es decir,
\[d h(\vec{p} ; \vec{t})=a d f(\vec{p} ; \vec{t})+b d g(\vec{p} ; \vec{t}), \quad \vec{t} \in E^{\prime}.\]
ii) En caso\(f, g : E^{m} \rightarrow E^{1}\) o\(C^{m} \rightarrow C,\) deducir también que
\[\nabla h(\vec{p})=a \nabla f(\vec{p})+b \nabla g(\vec{p}).\]
\(\Rightarrow\)Demostrar que si\(f, g : E^{\prime} \rightarrow E^{1}(C)\) son diferenciables en\(\vec{p},\) entonces también lo son
\[h=g f \text { and } k=\frac{g}{f}.\]
(este último, si\(f(\vec{p}) \neq 0).\) Por otra parte, con\(a=f(\vec{p})\) y\(b=g(\vec{p}),\) mostrar que
(i)\(d h=a d g+b d f\) y
(ii)\(d k=(a d g-b d f) / a^{2}\).
En caso de\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right),\) verificar además que
(iii)\(\nabla h(\vec{p})=a \nabla g(\vec{p})+b \nabla f(\vec{p})\) y
(iv)\(\nabla k(\vec{p})=(a \nabla g(\vec{p})-b \nabla f(\vec{p})) / a^{2}\).
Probar (i) y (ii) para valores vectoriales\(g,\) también.
[Consejos: (i) Establecer\(\phi=a d g+b d f,\) con\(a\) y\(b\) como arriba. Verificar que
\[\Delta h-\phi(\vec{t})=g(\vec{p})(\Delta f-d f(\vec{t}))+f(\vec{p})(\Delta g-d g(\vec{t}))+(\Delta f)(\Delta g).\]
Use Problema 3 (iv) y Definición 1.
(ii) Dejar\(F(\vec{t})=1 / f(\vec{t}).\) Mostrar eso\(d F=-d f / a^{2}.\) Luego aplicar (i) a\(g F.\)]
\(\Rightarrow\)Dejar\(f : E^{\prime} \rightarrow E^{m}\left(C^{m}\right), f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right).\) Probar que
(i)\(f\) es lineal iff todos sus\(m\) componentes\(f_{k}\) son;
(ii)\(f\) es diferenciable en\(\vec{p}\) iff todos\(f_{k}\) son, y entonces\(d f=\left(d f_{1}, \ldots, d f_{m}\right)\). De ahí\(f\) que si es complejo,\(d f=d f_{re} + i \cdot d f_{im}.\)
Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) Si\(f \in L\left(E^{\prime}, E\right)\) entonces\(f\) es diferenciable sobre\(E^{\prime},\) y\(d f(\vec{p} ; \cdot)=f\),\(\vec{p} \in E^{\prime}.\)
(ii) Tal es cualquier monomio de primer grado, de ahí cualquier suma de tales monomios.
Cualquier función racional es diferenciable en su dominio.
[Pista: Utilice los problemas 10 (i), 7 y 8. Proceder como en el Teorema 3 en el Capítulo 4, §3.]
Hacer el Problema 8 (i) en caso de\(g\) que solo sea continuo en\(\vec{p},\) y\(f(\vec{p})=0.\) Encontrar\(d h.\)
Do Problem 8 (i) para productos dot\(h=f \cdot g\) de funciones\(f, g : E^{\prime} \rightarrow E^{m}\)\((C^{m}).\)
Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(\phi \in L\left(E^{n}, E^{1}\right)\) o\(\phi \in L\left(C^{n}, C\right),\) entonces\(\|\phi\|=|\vec{v}|,\) con\(\vec{v}\) como en §2, Teorema 2 (ii).
(ii) Si\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\left(f : C^{n} \rightarrow C^{1}\right)\) es diferenciable en\(\vec{p},\) entonces
\[\|d f(\vec{p} ; \cdot)\|=|\nabla f(\vec{p})|.\]
Por otra parte, en el caso\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\),
\[|\nabla f(\vec{p})| \geq D_{\vec{u}} f(\vec{p}) \quad \text {if }|\vec{u}|=1\]
y
\[|\nabla f(\vec{p})|=D_{\vec{u}} f(\vec{p}) \quad \text {when } \vec{u}=\frac{\nabla f(\vec{p})}{|\nabla f(\vec{p})|;}\]
por lo tanto
\[|\nabla f(\vec{p})|=\max _{|\vec{u}|=1} D_{\vec{u}} f(\vec{p}).\]
[Consejos: Utilice el caso de igualdad en el Teorema 4 (c') del Capítulo 3, §§1-3. Utilice la fórmula (7), Corolario 2 y Teorema 2 (ii).]
Demostrar que el Teorema 3\(D_{1} f\) se mantiene aunque
(i) sea discontinuo en\(\vec{p},\) y
(ii)\(f\) tenga parciales\(A-Q\) solo\((Q\) contables,\(\vec{p} \notin Q),\) siempre que\(f\) sea continuo\(A\) en cada una de las últimas\(n-1\) variables.
[Pista: Para la\(k=1,\) fórmula (13) todavía resulta por definición de\(D_{1} f,\) si se\(\delta\) ha elegido un adecuado.]
Demostrar que el Teorema 3 y el Problema 15 aplican también a cualquier\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) donde\(E^{\prime}\) sea\(n\) -dimensional con base\(\left\{\vec{u}_{1}, \ldots, \vec{u}_{n}\right\}\) (ver Problema 12 en §2) si escribimos\(D_{k} f\) para\(D_{\vec{u}_{k}} f\).
[Consejos: Supongamos\(\left|\vec{u}_{k}\right|=1,1 \leq k \leq n\) (si no, reemplace\(\vec{u}_{k}\) por\(\vec{u}_{k} /\left|\vec{u}_{k}\right|;\) mostrar que esto arroja otra base). Modifique la prueba para que\(\vec{p}_{k}\) los sigan en\(G_{\vec{p}}(\delta).\) Precaución: Aquí\(E^{n}\) no se aplica la norma estándar de.]
Dejar\(f_{k} : E^{1} \rightarrow E^{1}\) ser diferenciables en\(p_{k} (k=1, \ldots, n).\) Para\(\vec{x}=(x_{1}, \ldots, x_{n}) \in E^{n},\) establecer
\[F(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} f_{k}\left(x_{k}\right) \text { and } G(\vec{x})=\prod_{k=1}^{n} f_{k}\left(x_{k}\right).\]
Mostrar eso\(F\) y\(G\) son diferenciables en\(\vec{p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right).\) Express\(\nabla F(\vec{p})\) y\(\nabla G(\vec{p})\) en cuanto a la\(f_{k}^{\prime}\left(p_{k}\right)\).
[Pista: Para usar los Problemas 7 y 8, reemplace el\(f_{k}\) por las funciones adecuadas definidas en\(E^{n}.\) Para\(\nabla G(\vec{p}),\) “imitar” Problema 6 en el Capítulo 5, §1.]